C++进阶必备：红黑树从 0 到 1：手撕底层，带你搞懂平衡二叉树的平衡逻辑与黑高检验

6.最短路径bh（blackheight，黑高。全黑，不用黑红交替，就是最短，所以是黑高），最长路径不会超过（可以等于）2bh（全部红黑交替）（注意，算黑高，算路径，必须包含NULL结点，算普通的层数高度，不需要算NULL结点），易推导：任意一条路径高h（包含NULL），bh<=h<=2bh

7.红黑树中所有路径的统计必须以黑色的 NULL 叶子结点为终点，它必须是黑色的。

7.图示

4.图示

1.2红黑树的效率

假设N为红黑树中结点数，h为最短路径，可推出：。由此：，那红黑树增删查，最差也就是，那它的时间复杂度就是。

红黑树相比AVL树更抽象，AVL树通过控制高度差，直观地控制了平衡。红黑树通过多条规则约束，间接的实现了平衡。他们的效率都是同一档次，log N，但是相对的，插入结点数相同，红黑树旋转次数更少，因为它可以避免不必要的旋转（单纯修改颜色就行，实现底层具体说明）

2.红黑树的底层实现

2.1红黑树的基本框架

这里用枚举来定义颜色，在类中加入一个新的变量，用来存储结点颜色，其余类似。

复制代码

//枚举表示颜色
enum Colour
{
    BLACK,
    RED

};

// 这里我们默认按key/value结构实现
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
    // 这里更新控制平衡也要加入parent指针
    pair<K, V> _kv;
    RBTreeNode<K, V>* _left;
    RBTreeNode<K, V>* _right;
    RBTreeNode<K, V>* _parent;
    Colour _col;

    RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
        :_kv(kv)
        , _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
        , _parent(nullptr)
    {}
};

template<class K, class V>
class RBTree
{
    typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
private:
    Node* _root = nullptr;
};

2.2红黑树的插入

红黑树插入一个值的过程：

1.因为底层是二叉搜索树，所以插入过程与二叉搜索树一致。插入后观察是否符合红黑树规则

2.如果是空树插入，新增结点是黑色结点。若是非空树插入，新增结点必须是红色结点。若新增黑色结点，会破坏规则，并且黑色结点很难处理（黑高失衡，增加一个黑色，会影响经过这结点的所有路径的黑高，牵一发而动全身，一个个去修复，很难。）。

3.非空树，新增结点必须是红色结点，若父亲是黑色结点，则没违反规则，插入结束。

4.非空树，新增结点必须是红色结点，若父亲是红色结点 ，因为有连续红色结点 ，所以破坏了规则 ，进一步分析：c是红色，p是红色，那g必为黑（插入此节点之前，肯定是满足之前规则的，所以g和p不能构成连续红色），这三个颜色都固定了，此时只需要关注u的颜色变化：

情况1：变色：条件：u存在且为红

情况1：变色：条件：u存在且为红 ，只需要将p，u变黑色，g变红色（g往下的路径，黑色结点数量还是不变，子树整体不受到影响，外层视作无变化，内部结构变了）。若g的p为黑色，无连续红色，结束更新。反之继续往上更新（c变成g，对应关系都变化）。若更新到了根，则不需要向上更新（g->p为空），把（g）根节点改为黑色。

无论c是p的左右，p是g的左右，变色处理方式一致。因为本质是处理连续的红色结点和黑色结点数量不平衡问题，不需要旋转，无关左右。

下图是抽象图，子树内部情况有多种，bh为2时，情况已组合到上百亿级别，所以既然处理方式一样，那就不徒增麻烦了。

情况2：单旋+变色：条件：u不存在或存在且为黑

u不存在，则c一定是新增结点（如果u不存在，那c存在的话，c之前肯定是符合要求的，导致c是黑色结点，但是如果c是黑色，左子树多了一个黑色结点数量，导致黑高失衡，所以c肯定是新增结点）

u存在且为黑，c一定不是新增结点（如果已存在，c必然是黑色结点,但却是红色，所以：c一定是之前符合情况1，向上更新的途中，由g变为c的，变色过后的。）

分析：p必须变黑，才能解决连续红色结点。u不存在，或存在且为黑，也就是无法变黑，那必然导致黑高失衡。此时单纯变色（怎么变色，都是少一个黑高）无法解决问题，需要旋转+变色：

旋转又分左旋，右旋：（左右镜像，只讲一种）

对g结点进行右旋或左旋，"压下去"一层高度，再把p变黑，g变红。

当u存在且为红，c是黑色变来的。之前分析过，该子树黑高是不变的，c的黑色转移到抽象的子树中了（pu变黑，g变红，通过g的黑高没变化），所以别看具体是右边黑结点多一个，其实左边的转移到抽象子树中了。

下图证明一下：

情况3：双旋+变色：条件：情况2的基础上，不是单纯的一边高

一图知晓：

先对p左旋，再对g右旋。第一个左旋的目的是恢复成情况2。

插入的完成代码展示：

2.3红黑树的查找

与二叉搜索树完全一致。效率O(log N)

2.4红黑树的常用接口：size，height，InOrder

递归实现，十分简单。

2.5红黑树的平衡验证

可不可以通过获取**：最短路径bh与最长路径2bh验证平衡** ？答案是不行。因为满足这个不一定是红黑树，但是红黑树一定满足。所以要利用红黑树的根本逻辑（颜色）

1**.前序遍历，递归检查每个节点左右子树的黑高。**

2.还可以检查是否有连续红色：root为红，root父存在且为红，直接返回false（查找孩子是否是红色结点很难，因为可能不存在，但是查找父亲就容易，所以查找父亲来判断）

3.当前root是黑结点，定义变量记录黑结点++root_cur_bn

4.根据：从根到任意叶子结点的路径上，黑色结点数量必须相同 ，记录最左路径，作为基准，传参，当前序遍历，走完一条路径时，当前路径黑结点也统计完，比较一下基准，看看是否相同，不相同返回false，不满足规则。

为啥递归到空，就可以检查基准，并且确保了每条路径都检查到了呢？

因为第一次递归肯定是最左路径，然后又会递归最左的结点的右结点，此时是新路径，这两条递归会去最左结点的父亲结点p，然后p结点递归右，那就是每次递归到空，都是遍历了一个路径，所以可以在为空时判断，并且判断的很全面，会覆盖每条路径。

当然这样性能损耗也不小，要遍历全部，时间复杂度O(N).

前中后序递归，都会递归遍历全部路径，只是顺序不同。

前序适合这个检查校验，因为前序是先统计，校验后，再逐次往下检查。

但是中序和后序，都需要"折返"，先折腾，然后回来统计，所以不适合这里的校验。

内容结束

C++进阶必备：红黑树从 0 到 1： 手撕底层，带你搞懂平衡二叉树的平衡逻辑与黑高检验

1.红黑树的概念（定义，规则，效率）

1.1红黑树的规则