1. 平面参数曲线的曲率定义
对于平面曲线 r(t) = (x(t), y(t))，其曲率 κ(t) 为：
κ(t) = |x′(t)·y″(t) − y′(t)·x″(t)| / x′(t)² + y′(t)²^(3/2)
2. 三次 Bezier 曲线的导数表达式
给定控制点 P₀, P₁, P₂, P₃（每个为二维点），定义：
A = 3(P₁ − P₀)
B = 6(P₂ − 2P₁ + P₀)
C = 6(P₃ − 3P₂ + 3P₁ − P₀)
则：
r′(t) = A + B·t + (1/2)·C·t²
r″(t) = B + C·t
将 r′(t) = (x′(t), y′(t))，r″(t) = (x″(t), y″(t)) 代入曲率公式。
3. 曲率极值的必要条件（无绝对值处理）
令分子（有向曲率）为：
N(t) = x′(t)·y″(t) − y′(t)·x″(t)
令速度平方为：
S(t) = x′(t)² + y′(t)²
则曲率 κ(t) = |N(t)| / S(t)^(3/2)
为求极值，对 κ(t) 求导并令导数为零。等价于求解以下方程（当 N(t) ≠ 0 时）：
N′(t)·S(t) − 3·N(t)·x′(t)·x″(t) + y′(t)·y″(t) = 0
该方程是关于 t 的多项式方程（三次 Bezier 曲线下最高为 5 次），需在区间 0, 1 内数值求解。
4. 实用计算步骤（三次 Bezier）
-
计算差分向量：
d₀ = P₁ − P₀
d₁ = P₂ − P₁
d₂ = P₃ − P₂
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速度向量（一阶导数）：
v(t) = 3(1−t)²·d₀ + 2(1−t)t·d₁ + t²·d₂
-
加速度向量（二阶导数）：
a(t) = 6(1−t)(d₁ − d₀) + t(d₂ − d₁)
-
曲率分子：
N(t) = vₓ(t)·aᵧ(t) − vᵧ(t)·aₓ(t)
-
构造极值方程：
F(t) = N′(t)·vₓ(t)² + vᵧ(t)² − 3·N(t)·vₓ(t)·aₓ(t) + vᵧ(t)·aᵧ(t) = 0
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求解 F(t) = 0 在 t ∈ 0, 1 的实根，并与端点 t = 0, 1 一起比较 κ(t)，得到曲率最大值和最小值。
5. 二次 Bezier 曲线（简化情形）
控制点：P₀, P₁, P₂
速度：
v(t) = 2(1−t)(P₁ − P₀) + t(P₂ − P₁)
加速度（常数）：
a = 2(P₂ − 2P₁ + P₀)
曲率分子 N(t) 是 t 的一次函数，S(t) 是 t 的二次函数，极值方程 F(t) = 0 退化为一个三次多项式，可解析或数值求解。