LeetCode 每日一题笔记
0. 前言
- 日期：2025.12.02
- 题目：3623. 统计梯形的数目 I
- 难度：中等
- 标签：数组 哈希表 组合数学
1. 题目理解
问题描述 ：
给定二维整数数组 points（每个元素为平面上的点 [x_i, y_i]），统计可以从中选择四个不同点组成的水平梯形数量。水平梯形是至少有一对平行于 x 轴的边的凸四边形。结果需对 (10^9 + 7) 取余。
示例：
输入：
points = [[1,0],[2,0],[3,0],[2,2],[3,2]]输出：
3解释：y=0的点选2个（3种组合），y=2的点选2个（1种组合），乘积为 (3 \times 1 = 3)。
2. 解题思路
核心观察
水平梯形的核心是选择两条不同的水平线（y坐标不同），并从每条线上各选2个点，这4个点即可构成梯形。因此问题转化为：
- 按 y 坐标分组，统计每个 y 对应的点数量；
- 计算每个 y 对应的"选2个点"的组合数 (C(n,2) = \frac{n(n-1)}{2})；
- 计算所有不同 y 组合数的两两乘积和（即最终梯形数量）。
算法步骤
- 用哈希表统计每个 y 对应的点数量；
- 遍历哈希表，计算每个 y 的组合数，并维护"组合数总和"和"组合数平方和"；
- 利用公式 (\frac{(\sum c_i)^2 - \sum c_i^2}{2}) 计算两两乘积和（避免双重循环）；
- 对结果取模并处理负数、除法（用模逆元）。
3. 代码实现
java
class Solution {
private static final int MOD = 1000000007;
public static int countTrapezoids(int[][] points) {
long res = 0;
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
// 1. 统计每个y对应的点数量
for (int[] p : points) {
int y = p[1];
map.put(y, map.getOrDefault(y, 0) + 1);
}
long sumC = 0; // 组合数的总和
long sumC2 = 0; // 组合数的平方和
// 2. 计算每个y的组合数，维护总和与平方和
for (int cnt : map.values()) {
long c = (long) cnt * (cnt - 1) / 2; // C(cnt,2)
sumC = (sumC + c) % MOD;
sumC2 = (sumC2 + c * c) % MOD;
}
// 3. 公式计算两两乘积和：(sumC² - sumC2)/2
res = (sumC * sumC - sumC2) % MOD;
res = (res + MOD) % MOD; // 处理负数
res = res * 500000004 % MOD; // 乘以2的模逆元（替代除法）
return (int) res;
}
}4. 代码优化说明
官方题解采用累加累乘的方式，避免公式推导和模逆元，逻辑更简洁：
java
class Solution {
public int countTrapezoids(int[][] points) {
Map<Integer, Integer> pointNum = new HashMap<>();
final int mod = 1000000007;
long ans = 0, sum = 0;
// 统计每个y的点数量
for (int[] point : points) {
pointNum.put(point[1], pointNum.getOrDefault(point[1], 0) + 1);
}
// 遍历每个y的组合数，累加两两乘积和
for (int pNum : pointNum.values()) {
long edge = (long) pNum * (pNum - 1) / 2;
ans = (ans + edge * sum) % mod; // 当前组合数 × 已遍历组合数的总和
sum = (sum + edge) % mod; // 更新已遍历组合数的总和
}
return (int) ans;
}
}优化点：
- 无需公式推导，通过动态维护
sum（已遍历组合数的总和），直接累加当前组合数与之前所有组合数的乘积； - 避免模逆元，仅用加法和乘法的模运算，逻辑更直观。
5. 复杂度分析
- 时间复杂度：(O(n + k))，其中 (n) 是点的数量，(k) 是不同 y 的数量（遍历点和哈希表各一次）；
- 空间复杂度：(O(k))，哈希表存储不同 y 的点数量。
6. 总结
本题的核心是组合数学 + 哈希表分组，通过将问题转化为"不同 y 组合数的两两乘积和"，利用数学公式或累加技巧避免双重循环，实现高效计算。官方题解的累加方式更简洁易写，而公式法更偏数学推导，两者时间复杂度一致。