【力扣周赛题解】Count Number of Trapezoids II
📚 本文用最简单的方式，带你理解这道力扣周赛几何题！
📌 什么是梯形？
在开始之前，让我们先回忆一下初中数学：
上底
┌─────────┐
/ \
/ \
/ \
└─────────────────┘
下底梯形 = 有且只有一对平行边的四边形
但这道题更宽松一点：只要有至少一对平行边就算梯形（包括平行四边形）
🎯 题目说了啥？
简单版本：给你一堆点，从中选 4 个点，看能组成多少个梯形？
举个例子：平面上有这些点
●A ●B
●C ●D
●E ●F我们要找出所有能组成梯形的 4 点组合！
🤔 怎么判断两条线平行？
还记得初中学的吗？斜率相同的两条线平行！
斜率 = 上升的高度 ÷ 水平移动的距离
= (y₂ - y₁) ÷ (x₂ - x₁)看图理解：
●B(4,3)
/
/ ↑ 上升2格
/ |
●A(2,1) ────→
水平走2格
斜率 = 2 ÷ 2 = 1如果两条线段的斜率一样，它们就是平行的！
线段1：斜率 = 1
●───────●
← 这两条线平行！
●───────●
线段2：斜率 = 1💡 解题思路（大白话版）
第一步：找出所有的线段
假设有 4 个点 A、B、C、D，那我们可以画出 6 条线段：
AB AC AD BC BD CD
就像这样：
A●─────────●B
|\ /|
| \ / |
| \ / |
| \ / |
| X |
| / \ |
| / \ |
| / \ |
|/ \|
C●─────────●D第二步：把斜率相同的线段放一起
就像整理书架一样，把"方向相同"的线段归类：
📁 斜率 = 0 的文件夹（水平线）
├── 线段 AB（上边）
└── 线段 CD（下边）
📁 斜率 = ∞ 的文件夹（垂直线）
├── 线段 AC（左边）
└── 线段 BD（右边）
📁 斜率 = -1 的文件夹（↘ 方向）
└── 线段 AD（左上到右下的对角线）
📁 斜率 = 1 的文件夹（↗ 方向）
└── 线段 BC（右上到左下的对角线，反过来看就是↗）第三步：在每个文件夹里找"配对"
同一个文件夹里的线段都是平行的！
每选 2 条线段，就可能组成一个梯形的"上底和下底"！
从"斜率=0"文件夹里选 AB 和 CD：
A●───────────●B ← 上底
| |
| |
C●───────────●D ← 下底
👆 这就是一个梯形（其实是长方形）！⚠️ 但是！有些情况不能算
情况1：两条线段在同一条直线上 ❌
●────●────●────●
A B C D
线段 AB 和 CD 虽然平行，但在同一条线上！
这样选 4 个点，它们排成一排，组不成四边形！情况2：两条线段共用一个端点 ❌
●B
/
●A
\
●C
线段 AB 和 AC 共用了点 A
这样只有 3 个点，组不成四边形！情况3：平行四边形会被数两次 ⚠️
●───────────●
| |
| |
●───────────●
这个图形有两对平行边！
- 上下两条边平行 → 数了 1 次
- 左右两条边平行 → 又数了 1 次
所以要减掉重复的！🧮 完整计算步骤
让我们一步步算出答案：
第 1 步：在每个斜率文件夹里数配对
假设某个文件夹里有 k 条线段，从中选 2 条的方法数是：
C(k,2) = k × (k-1) ÷ 2
例如：有 4 条线段，选 2 条 = 4 × 3 ÷ 2 = 6 种选法第 2 步：减掉不合法的情况
❌ 减掉「共线」的配对
（两条线段在同一条直线上）
❌ 减掉「共端点」的配对
（两条线段共用一个点）
✅ 但是！如果既共线又共端点，被减了两次，要加回来一次第 3 步：减掉平行四边形的重复计数
平行四边形有 2 对平行边，被数了 2 次
所以最后要 - 平行四边形数量📐 最终公式
┌────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ │
│ 对于每个斜率文件夹： │
│ │
│ 有效配对数 = C(k,2) │
│ - 共线的配对数 │
│ - 共端点的配对数 │
│ + 既共线又共端点的配对数（加回来） │
│ │
│ ───────────────────────────────────────────── │
│ │
│ 答案 = 所有文件夹的有效配对数之和 - 平行四边形数量 │
│ │
└────────────────────────────────────────────────────────────────┘💡 这个"减了又加回来"的技巧叫做容斥原理，是组合数学中常用的方法！
🎨 完整例子
假设有 5 个点：
●(0,2) ●(4,2)
●(0,0) ●(2,0) ●(4,0)Step 1: 找所有线段并分类
| 线段 | 斜率 |
|---|---|
| (0,0)-(4,0) | 0（水平） |
| (0,0)-(2,0) | 0（水平） |
| (2,0)-(4,0) | 0（水平） |
| (0,2)-(4,2) | 0（水平） |
| (0,0)-(0,2) | ∞（垂直） |
| (4,0)-(4,2) | ∞（垂直） |
| ... | ... |
Step 2: 在"水平线"文件夹里找配对
排除掉在同一条直线上的（比如下面那 3 条线段都在 y=0 这条线上）
有效配对：上面那条线 + 下面某条线 = 梯形！
Step 3: 数一数，得出答案！
🔑 编程小技巧
怎么避免小数？
斜率可能是 0.333333... 这样的无限小数，计算机算不准！
解决方法：用分数表示斜率！
比如斜率 = 2/6
不要算成 0.333...
而是约分成 1/3，存成 (1, 3) 这对数字怎么判断平行四边形？
平行四边形有个特点：两条对角线的中点重合！
A●─────────────●B
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
\ /
● ← 对角线 AD 和 BC 在此相交，中点重合！
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
C●─────────────●D换一种方式理解：
对角线 AD 的中点 = ( (Ax+Dx)/2, (Ay+Dy)/2 )
对角线 BC 的中点 = ( (Bx+Cx)/2, (By+Cy)/2 )
如果这两个中点相同 → 这 4 个点组成平行四边形！所以我们只要：
- 算出每对点的中点
- 如果有两对点中点相同，它们就能组成平行四边形！
⏱️ 这个方法快吗？
| 点的数量 | 大约要算多少次 |
|---|---|
| 10 个点 | 100 次 |
| 100 个点 | 10,000 次 |
| 500 个点 | 250,000 次 |
对计算机来说，25 万次计算简直是小菜一碟！✅
📝 总结
解题三步走：
┌──────────────┐
│ 1️⃣ 枚举线段 │
│ 找出所有两点 │
│ 组成的线段 │
└──────┬───────┘
↓
┌──────────────┐
│ 2️⃣ 按斜率分组 │
│ 斜率相同的 │
│ 放一起 │
└──────┬───────┘
↓
┌──────────────┐
│ 3️⃣ 配对计数 │
│ 排除不合法的 │
│ 减去重复的 │
└──────────────┘🎉 恭喜你看完了！
这道题结合了：
- 📐 几何知识：斜率、平行、中点
- 🧠 算法思维：分类、配对、去重
- 💻 编程技巧：避免小数、用哈希表分组
是不是没有想象中那么难呢？😄
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