【码道初阶】一道经典简单题：多数元素（LeetCode 169）｜Boyer-Moore 投票算法详解

多数元素问题是算法面试中最经典的题之一：

给定数组 nums，其中一个元素的出现次数 超过 n/2 ，找出它。

要求：

• 时间复杂度 O(n)
• 空间复杂度 O(1)

示例：

输入： [2,2,1,1,1,2,2]
输出： 2

题目保证多数元素一定存在。

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一、核心思想：成对抵消

把数组看成选票，每个数字代表一个候选人。当两个不同的元素相遇时，可以视为一张支持票和一张反对票抵消了。

这就是把直接找最多的元素这个问题，转化成了数组间元素互相竞争计票的问题，思想上能转过这个弯来想到这个点，这便是一道Easy题。

由于多数元素（majority element）的票数大于其它所有元素票数的总和，它无法被完全抵消，因此最终剩下的候选人一定是多数元素。

这个思想催生了著名的 ------ Boyer--Moore Majority Vote Algorithm

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二、实现步骤

首先我们要创建两个变量：

• candidate：当前候选人
• count：候选人当前的"净票数"

遍历数组的每个元素 num：

1. 如果 count == 0：

   说明之前的票已经两两抵消完，可以重选候选人：

   candidate = num
   count = 1

2. 如果 num == candidate：

   count++

3. 否则：

   count--

最终的 candidate 就是多数元素。

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三、正确 Java 实现（O(n) 时间 + O(1) 空间）

class Solution {
    public int majorityElement(int[] nums) {
        int candidate = 0;
        int count = 0;

        for (int num : nums) {
            if (count == 0) {
                candidate = num;
                count = 1;
            } else if (num == candidate) {
                count++;
            } else {
                count--;
            }
        }

        return candidate;
    }
}

这段代码能通过所有测试用例，是多数投票算法的标准写法。

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四、特别提醒（⚠ 初学者最常犯的致命错误）

在实现多数投票算法时，许多同学会错误地写出下面这种版本：

if (count == 0) {
    candidate = num;
    count = 0;      // ❌ 致命错误！
}

这段代码的问题是：

当 count == 0 且选中新候选人时，却不给它加上当前这一票。

结果是：

• count 一直保持为 0
• 根本没有进行投票累积
• 每次都只是不断更换候选人
• 于是算法最终返回的是数组的最后一个元素
• 在测试用例 [3,3,4] 中错误返回 4

正确做法必须是：

count = 1;   // 当前元素至少贡献一票

这是 Boyer-Moore 算法最关键的地方。

如果这一点写错，整个算法将完全失效。

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五、为什么算法可靠？

多数元素出现次数 > n/2，因此：

• 它的票数比所有其他元素加起来还多
• 在"抵消"过程中，成对消掉的都是多数元素与非多数元素的票
• 多数元素永远不可能被完全抵消
• 并且当 count 归零时，多数元素在数组后面部分必然还会再次出现，重新成为 candidate

因此，算法仅需一次遍历即可确定结果。

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六、总结

Boyer-Moore 投票算法是一种极其优雅的线性时间算法，特点：

• 时间复杂度：O(n)（单次遍历）
• 空间复杂度：O(1)（仅用两个变量）
• 适用场景：明确存在多数元素

并且务必牢记：

⚠ 实现时 count = 0 分支必须写成 count = 1，否则算法彻底失效。

掌握了这个技巧，许多相关问题（比如"找出现超过 n/3 的元素"、"找出现 k 次的元素"）都能顺藤摸瓜继续拓展。

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另一种思路（更简洁）：

因为存在一定出现>n/2次的元素，那么对数组进行排序后，在中间的元素就是要找的多数元素。

import java.util.Arrays;
class Solution {
    public int majorityElement(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);
        return nums[nums.length/2];
    }
}