树（Tree）
1.1 树的基本概念
定义
树是n（n≥0）个结点的有限集合。
n = 0：空树
n > 0：满足以下条件：
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有且仅有一个特定的根结点
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其余结点可分为m个互不相交的有限集合T₁,T₂,...,Tₘ，每个集合又是一棵树，称为子树
术语
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结点的度：结点拥有的子树个数
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叶结点：度为0的结点
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分支结点：度不为0的结点
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树的度：树中最大的结点度数
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结点的层次：根为第1层，孩子为第2层，以此类推
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树的高度/深度：树中结点的最大层次
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有序树 vs 无序树：子树有顺序为有序树，否则为无序树
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森林：m(m≥0)棵互不相交的树的集合
树的特征
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动态储存：O(1)的插入和删除（在已知位置）
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查找速度：O(log n)（平衡树）
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层次结构：天然表达层次关系
1.2 树的存储结构
1. 双亲表示法（顺序存储）
#define MAXSIZE 100
typedef char DataType;
typedef struct {
DataType data;
int parent; // 双亲位置，根为-1
} PTNode;
typedef struct {
PTNode nodes[MAXSIZE];
int n; // 结点数
} PTree;
特点：
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查找双亲快：O(1)
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查找孩子慢：需要遍历整个数组
2. 孩子表示法（链式+顺序）：
// 孩子结点
typedef struct CTNode {
int child; // 孩子在数组中的位置
struct CTNode *next; // 下一个孩子
} *ChildPtr;
// 表头结构
typedef struct {
DataType data;
ChildPtr firstchild; // 第一个孩子
} CTBox;
typedef struct {
CTBox nodes[MAXSIZE];
int n, root; // 结点数和根位置
} CTree;
特点：
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查找孩子快
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查找双亲慢
3. 孩子兄弟表示法（二叉树表示法）
typedef struct CSNode {
DataType data;
struct CSNode *firstchild; // 第一个孩子
struct CSNode *nextsibling; // 右兄弟
} CSNode, *CSTree;
特点：
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将树转换为二叉树
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便于操作和遍历
二、二叉树（Binary Tree）
2.1 二叉树定义
n个结点的有限集合，该集合：
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要么为空树（n=0）
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要么由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成
2.2 二叉树特点
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每个结点最多有两个子树
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左子树和右子树有顺序，不能颠倒
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即使只有一个子树，也要区分左/右
2.3 特殊二叉树
1. 斜树
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左斜树：所有结点都只有左子树
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右斜树：所有结点都只有右子树
相当于线性表
2. 满二叉树
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所有分支结点都有左右子树
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所有叶子结点都在同一层
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深度为k的满二叉树有 2ᵏ - 1 个结点
3. 完全二叉树
对n个结点按层序编号（1~n）
编号i的结点与同样深度的满二叉树中编号i的结点位置完全相同
特点：
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叶子结点只能出现在最下两层
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最下层叶子结点集中在左侧连续位置
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如果有度为1的结点，只能有一个，且只有左孩子
2.4 二叉树性质
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性质1：第i层上最多有 2ⁱ⁻¹ 个结点（i≥1）
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性质2：深度为k的二叉树至多有 2ᵏ - 1 个结点（k≥1）
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性质3：对任何二叉树，如果叶子结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则：n₀ = n₂ + 1
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性质4：具有n个结点的完全二叉树深度为 ⌊log₂n⌋ + 1
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性质5：对完全二叉树编号（1~n）：
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i=1：根结点
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i>1：双亲为 ⌊i/2⌋
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2i≤n：左孩子为2i
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2i+1≤n：右孩子为2i+1
2.5 二叉树存储
1. 顺序存储：
#define MAXSIZE 100
typedef char DataType;
// 完全二叉树用数组存储
DataType tree[MAXSIZE + 1]; // 下标从1开始
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适用：完全二叉树
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不适用：斜树（空间浪费）
2. 链式存储（二叉链表）：
typedef struct BiTNode {
DataType data;
struct BiTNode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;
2.6 二叉树遍历
深度优先遍历（DFS）
1. 先序遍历（根左右）：
void PreOrder(BiTree T) {
if (T == NULL) return;
printf("%c ", T->data); // 访问根
PreOrder(T->lchild); // 遍历左子树
PreOrder(T->rchild); // 遍历右子树
}
2. 中序遍历（左根右）：
void InOrder(BiTree T) {
if (T == NULL) return;
InOrder(T->lchild); // 遍历左子树
printf("%c ", T->data); // 访问根
InOrder(T->rchild); // 遍历右子树
}
3. 后序遍历（左右根）：
void PostOrder(BiTree T) {
if (T == NULL) return;
PostOrder(T->lchild); // 遍历左子树
PostOrder(T->rchild); // 遍历右子树
printf("%c ", T->data); // 访问根
}
广度优先遍历（层序遍历）
void LevelOrder(BiTree T) {
if (T == NULL) return;
BiTree queue[MAXSIZE]; // 队列
int front = 0, rear = 0;
queue[rear++] = T; // 根结点入队
while (front < rear) {
BiTree node = queue[front++];
printf("%c ", node->data);
if (node->lchild != NULL)
queue[rear++] = node->lchild;
if (node->rchild != NULL)
queue[rear++] = node->rchild;
}
}
2.7 遍历序列确定二叉树
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先序+中序：可唯一确定二叉树
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后序+中序：可唯一确定二叉树
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先序+后序：不能唯一确定（除非是满二叉树）