B树的定义以及插入和删除

一、引入
在二叉查找树中，我们在树中每一个节点内存一个关键字，每次将要查找的数域分为两部分，为了查找更快捷，我们可以依据二叉查找树来建立一个m叉查找树，将树中节点内的关键字增加，将正无穷到负无穷的数域分成更多的部分，增加查找速度

而为了避免树过高或不平衡，影响查找效率，我们在构建m叉查找树时，应满足下面两条要求：

1.在m叉查找树中，规定除了根节点外，任何节点都应至少有m/2个分叉，即至少有( $m/2$ -1)个关键字

2.对树中任意一个节点，其所有子树的高度都要相同(即叶子节点(失败节点)都在同一层)

二、B树(多路平衡查找树)

B树中所有节点的孩子个数的最大值为B树的阶，通常用m表示。一颗m阶B树要么为空树，要么满足如下的性质：

1.树中的每个节点至多有m颗树，至多有m-1个关键字

2.若树的根节点不是终端节点，那么根节点至少有俩颗子树3.除根节点外，所有非叶子节点至少有 $m/2$ 颗子树，至少有 $m/2$ -1个关键字

4.所有叶子节点都出现在同一层次上，且不含有信息

5.所有非叶子节点的结构如下

n P0 K1 P1 K2 P1 ......Kn Pn

其中Ki为关键字，K1<K2<......<Kn

Pi为所指向子树根节点的指针，Pi-1所指子树中的所有节点的关键字均小于Ki；Pi所指向子树中所有节点的关键字均大于Ki；n为节点中关键字个数

m阶B树的核心性质：

1.根节点子树数∈ $2,m$ ，关键字数∈ $1,m-1$

非根节点子树数∈ $\[m/2$ ,m]，关键字数∈ $\[m/2$ -1,m-1]

2.对任意节点，其所有子树高度相同

3.关键字值：子树0＜关键字1＜子树1......

B树的高度计算

含有n个关键字的m阶B树，它的最小高度和最大高度？

最小高度：让每个节点尽可能满，即有m-1个关键字，m个分叉

那么h层高的B树的关键字最大值=(m-1)×(1+m+m²+......+m^h-1)=m^h-1≥n

所以，h≥logm(n+1)

最大高度：

方法一：让每个节点的分支尽可能少，即刚刚满足B树对每个节点的基本要求

根节点有2个分支，其他节点有 $m/2$ 个分支，每一层节点至少有：

第一层：1

第二层：2

第三层：2 $m/2$

............

第h层：2 $m/2$ ^h-2

第h+1层：2 $m/2$ ^h-1(叶子节点所在层)

根据B树的一个特性：n个关键字的B树必有n+1个叶子节点

所以：n+1≥2 $m/2$ ^h-1，h≤log $m/2$ ^n+1/2+1。

n个关键字将(-∞,+∞)分为n+1个区间，所以会有n+1个失败节点

方法二：令k= $m/2$

节点数	关键字数
1	1
2	2(k-1)
2k	2k(k-1)
.........
2k^h-2	2k^h-2(k-1)

所以，1+2(k-1)+......+2k^h-2(k-1)=1+2(k^h-1-1) ≤ n

所以，h≤log $m/2$ ^n+1/2+1

三、B树的插入和删除

B树的插入

在插入关键字key后，若导致原节点的关键字数超过上限，则从中间位置( $m/2$ )将关键字分为两部分，左部分包含的关键字放在原节点中，右部分包含的关键字放入新节点中，中间位置的节点插入原节点的父节点，满足节点内关键字的顺序排列，若此时导致其父节点的关键字个数超过上限，则继续操作，直到传到根节点为止

新元素一定插入的是底层的终端节点，用查找来确定插入的位置

B树的删除

若被删除关键字在非终端节点，用直接前驱或直接后继来代替被删除关键字

若被删除关键字在终端节点：

1.若删除后节点关键字数满足要求(≥ $m/2$ -1)，直接删去

2.若删除后不满足，分为两种情况：

1.兄弟够借：若被删除关键字所在节点的兄弟节点的关键字数还有富裕，则调整该节点，兄弟节点以及父节点：右兄弟富裕，用该节点的后继，后继的后继来补空；左兄弟富裕，用该节点的前驱，前驱的前驱来补空

2.兄弟不够借：若该节点的兄弟节点的关键字个数都等于下限，则将关键字删除后，与它的兄弟节点和父节点进行合并：在合并过程中父节点中的关键字-1，若父节点是根节点且关键字个数减为0，则根节点直接删除，合并后的新节点为根节点；若父节点不是根节点，且关键字个数减少到 $m/2$ -2,则该父节点要与它的兄弟节点进行调整，直到完全满足B树的性质

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