二分算法及常见用法

文章目录

定义
过程
写法
常见用法
- 二分答案
- 最大值最小化

定义

二分查找是一种高效的搜索算法，适用于在一组有序数据中查找某个特定元素 ，其基本思路是通过不断将查找范围减半来快速定位目标元素

过程

以在一个升序数组中查找一个数为例。

它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需到右侧查找；如果中间元素大于所查找的值同理，只需到左侧查找。

写法

cpp 复制代码

//在a数组中寻找第一个>=x的数，并返回其下标
int find(int l, int r)
{
	int res=1e9//可以先将res设置为一个很大的数，如果while循环终止后res没变，便没找到
    while (l <= r)//初始化l=1,r=n
    {
        int mid = l + r >> 1;//或写成(l+r)/2
        if (a[mid]>=x){
        	r = mid-1;
        	res=mid;
        } 
        else l = mid + 1;
    }
    return res;
}

题目练习：查找最后一个出现的位置

常见用法

二分答案

解题的时候往往会考虑枚举答案然后检验枚举的值是否正确。若满足单调性，则满足使用二分法的条件。

例题：砍树

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,m,a[N];
bool check(int x){
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]>x) sum+=a[i]-x;
        if(sum>=m) return true;
    }
    return sum>=m;
}
void solve() {
    cin>>n>>m;
    int l=0,r=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        r=max(r,a[i]);
    }
    //二分的是锯片的高度
    int res=-1;
    while(l<=r){
        int mid=l+r>>1;
        if(check(mid)){
            l=mid+1;
            res=mid;
        }else{
            r=mid-1;
        }
    }
    cout<<res<<'\n';
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int T=1;
//    cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}

最大值最小化

二分答案解决最大值最小化（或最小值最大化）的问题

要求满足某种条件的最大值的最小可能情况（最大值最小化），首先的想法是从小到大枚举这个作为答案的「最大值」，然后去判断是否合法。若答案单调，就可以使用二分搜索法来更快地找到答案。因此，要想使用二分搜索法来解这种「最大值最小化」的题目，需要满足以下三个条件：

答案在一个固定区间内；
可能查找一个符合条件的值不是很容易，但是要求能比较容易地判断某个值是否是符合条件的；
可行解对于区间满足一定的单调性。换言之，如果 x 是符合条件的，那么有 x+1 或者 x-1 也符合条件。（这样下来就满足了上面提到的单调性）

最小值最大化是同理的。

例题：数列分段 Section II

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,a[N];
bool check(int x){
    int cnt=1,sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(x<a[i]) return false;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(sum+a[i]<=x){
            sum+=a[i];
        }else{
            sum=0;
            cnt++;
            sum+=a[i];
        }
    }
    return cnt<=m;
}
void solve() {
    cin>>n>>m;
    int l=0,r=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i],r+=a[i];
    }
    int res=-1;
    while(l<=r){
        int mid=l+r>>1;
        if(check(mid)){
            r=mid-1;
            res=mid;
        }else{
            l=mid+1;
        }
    }
    cout<<res<<'\n';
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int T=1;
//    cin>>T;
    while(T--) solve();
    return 0;
}