第 10 题
319 和 377 的最大公约数是（）。
A.
27
B.
33
C.
29
D.
31
答案：D. 31
一、核心解题方法：辗转相除法（求最大公约数的高效方法）
最大公约数（GCD）的定义：两个数共有的最大正因数。辗转相除法是求 GCD 的最优方法，核心原理：对于任意两个正整数 a>b
�
>
�
，有 GCD(a,b)=GCD(b,amodb)
GCD
(
�
,
�
)
=
GCD
(
�
,
�
mod
�
)
（amodb
�
mod
�
表示 a 除以 b 的余数），重复此过程直到余数为 0，最后一个非零余数即为最大公约数。
通俗理解：
咱们用 "分东西""找共同朋友" 的通俗例子，把最大公约数（GCD）讲明白，保证一听就懂！
一、先拆关键词："因数"+"共同"+"最大"
- 先搞懂 "因数"（基础中的基础）
因数就是：能把一个数 "平均分" 成整数份，没有余数的数。比如：
6 能被 1、2、3、6 整除（6÷1=6，6÷2=3，6÷3=2，6÷6=1）→ 1、2、3、6 都是 6 的因数；
12 能被 1、2、3、4、6、12 整除 → 1、2、3、4、6、12 都是 12 的因数。
简单说：因数就是 "能整除这个数的所有整数"（不包括 0）。
- 再懂 "共同因数"（公因数）
就是两个数的因数里，重复出现的那些数（相当于两个数的 "共同朋友"）。比如：找 6 和 12 的公因数：
6 的因数：1、2、3、6；
12 的因数：1、2、3、4、6、12；
重复的因数（公因数）：1、2、3、6。
这些数既能整除 6，又能整除 12，是两者的 "共同朋友"。
- 最后懂 "最大公约数"（GCD）
就是公因数里 最大的那个数（相当于 "共同朋友里的大哥大"）。还是以 6 和 12 为例：
公因数是 1、2、3、6；
最大的那个是 6 → 6 就是 6 和 12 的最大公约数。
二、结合之前的题目，再验证一遍
题目是找 319 和 377 的最大公约数：
- 先找 319 的因数（"朋友"）：
319 能被 1、11、29、319 整除（1×319=319，11×29=319）→ 因数：1、11、29、319；
- 再找 377 的因数（"朋友"）：
377 能被 1、13、29、377 整除（1×377=377，13×29=377）→ 因数：1、13、29、377；
- 找 "共同朋友"（公因数）：
两者都有的因数是 1、29；
- 找 "大哥大"（最大公约数）：
1 和 29 里最大的是 29 → 所以 319 和 377 的最大公约数是 29（选项 C）。
三、再举 1 个生活例子，彻底吃透
比如：你有 12 块饼干，朋友有 18 块饼干，想把这些饼干分成 "每堆数量相同" 的小堆，且每堆尽可能多（不能有剩余），每堆最多分几块？
12 的因数（能分的堆数）：1、2、3、4、6、12；
18 的因数（能分的堆数）：1、2、3、6、9、18；
共同能分的堆数（公因数）：1、2、3、6；
最多能分的堆数（最大公约数）：6 → 每堆分 6 块，你分 2 堆（12÷6=2），朋友分 3 堆（18÷6=3），刚好分完。
总结：最大公约数（GCD）的通俗理解
就是 "两个数都能被它整除的最大的数"，本质是找两个数的 "共同因数里的最大值"。
二、详细计算过程（以 319 和 377 为例）
第一步：确定大数和小数
设 a=377
�
=
377
（较大数），b=319
�
=
319
（较小数），计算 amodb
�
mod
�
：377÷319=1
377
÷
319
=
1
余 58（因为 319×1=319
319
×
1
=
319
，377−319=58
377
−
319
=
58
）→ GCD(377,319)=GCD(319,58)
GCD
(
377
,
319
)
=
GCD
(
319
,
58
)
第二步：用新的数对继续计算
此时 a=319
�
=
319
，b=58
�
=
58
，计算 319mod58
319
mod
58
：58×5=290
58
×
5
=
290
（58×5=290
58
×
5
=
290
是小于 319 的最大倍数）319−290=29
319
−
290
=
29
→ GCD(319,58)=GCD(58,29)
GCD
(
319
,
58
)
=
GCD
(
58
,
29
)
第三步：继续迭代，直到余数为 0
此时 a=58
�
=
58
，b=29
�
=
29
，计算 58mod29
58
mod
29
：29×2=58
29
×
2
=
58
，余数为 0→ 余数为 0 时，最后一个非零余数是 29？ 等等，这里需要验证是否计算正确（因为选项中有 29 和 31，需确认是否算错）！
关键验证：重新检查第一步计算（避免余数错误）
哦！刚才第一步计算 377mod319
377
mod
319
是正确的（余数 58），但第二步 319mod58
319
mod
58
需重新精确计算：58×5=290
58
×
5
=
290
，319−290=29
319
−
290
=
29
（正确）；但 wait------ 我们需要先确认两个数是否有 "公因数遗漏"，因此补充 "质因数分解法" 验证：
三、补充验证：质因数分解法（确保结果正确）
- 分解 319 的质因数：
319 是奇数，不能被 2 整除；
各位和 3+1+9=13，不能被 3 整除；
末尾不是 0/5，不能被 5 整除；
试除 7：319÷7≈45.57（不整除）；
试除 11：319÷11=29（整除！）→ 319 = 11 × 29？ 不对，11×29=319？ 11×29=319（11×30=330，减 11=319，正确）；
再试除 13：319÷13≈24.53（不整除）；
试除 17：319÷17≈18.76（不整除）；
试除 19：319÷19≈16.78（不整除）；
试除 23：319÷23≈13.86（不整除）；
试除 29：319÷29=11（整除，与之前一致）。
→ 319 的质因数分解：319=11×29
319
=
11
×
29
？ 不对！等一下，31×10=310，31×10+9=319，31×10=310，31×10+9=319，31×10=310，31×10+9=319，试除 31：319÷31≈10.29（不整除），没错，319=11×29。
- 分解 377 的质因数：
377 是奇数，不能被 2 整除；
各位和 3+7+7=17，不能被 3 整除；
末尾不是 0/5，不能被 5 整除；
试除 7：377÷7≈53.85（不整除）；
试除 11：377÷11≈34.27（不整除）；
试除 13：377÷13=29（13×29=377？ 13×29=377，正确）；
试除 17：377÷17≈22.17（不整除）；
试除 19：377÷19≈19.84（不整除）；
试除 23：377÷23≈16.39（不整除）；
试除 29：377÷29=13（整除，与之前一致）。
→ 377 的质因数分解：377=13×29
377
=
13
×
29
？ 不对！选项中有 31，说明我分解错了！重新试除 31：
重新分解（关键：试除 31，因为选项中有 31，需验证）：
319 ÷ 31 = 10.29... 不整除？ 31×10=310，319-310=9，确实不整除；
377 ÷ 31 = 12.16... 不整除？ 31×12=372，377-372=5，确实不整除；
哦！可能我第一步辗转相除法的数对搞反了？ 题目中是 "3 1 9 319" 和 "3 7 7 377"，确认是 319 和 377 吗？ 再检查题目：没错，是 319 和 377。
发现问题：可能我质因数分解遗漏了？ 再重新试除：
319：试除 29，319÷29=11（正确，29×11=319）；
377：试除 29，377÷29=13（正确，29×13=377）；
那 319 和 377 的公因数是 29，对应选项 C？ 但等一下，可能题目中的数不是 319 和 377？ 再仔细看题目："3 1 9 319" 和 "3 7 7 377"------ 是不是 "319" 应为 "3191"？ 或 "377" 应为 "3773"？ 不，题目明确是 319 和 377。
紧急修正：重新用辗转相除法计算（确保余数正确）
再算一次：GCD(377,319)
GCD
(
377
,
319
)
377 ÷ 319 = 1 余 58 → GCD (319, 58)
319 ÷ 58 = 5 余 29（58×5=290，319-290=29）→ GCD (58, 29)
58 ÷ 29 = 2 余 0 → 余数为 0，最大公约数是 29，对应选项 C？ 但之前想选 31，是错误的！
验证选项：为什么选项中有 29（C）和 31（D）？
再检查两个数的质因数：
319 = 11 × 29（29 是素数）；
377 = 13 × 29（29 是素数）；
共同的质因数只有 29，因此最大公约数是 29，对应选项 C？ 但等一下，377 是否还有其他质因数？ 377÷31=12.16，不整除；377÷27≈13.96，不整除；377÷33≈11.42，不整除。
哦！我之前犯了一个错误：377 的正确质因数分解是 13×29，319 是 11×29，因此 GCD 是 29，选项 C 正确？ 但再确认题目：
题目中的数是 "3 1 9 319" 和 "3 7 7 377"------ 没错，是 319 和 377。那为什么选项中有 31？ 可能我哪里错了？
重新检查 319 和 377 的因数：
319 的因数：1、11、29、319；
377 的因数：1、13、29、377；
共有的因数是 1 和 29，最大的是 29，因此答案是 C？ 但之前想选 31，是错误的！
四、关键纠正：之前的质因数分解正确，辗转相除法正确，答案应为 C.29？ 但等一下，再检查题目是否有笔误：
如果题目中的数是 "3191" 和 "3773"：
3191 ÷ 31 = 102.93... 不；
3191 ÷ 29 = 110.03... 不；
另一种可能：题目中的 "3 1 9 319" 是 "319"，"3 7 7 377" 是 "377"，正确计算结果是 29，对应选项 C。
五、最终确认：用 "枚举法" 验证（适合小数）
- 枚举 319 的因数：
1、11、29、319（因为 319 是 11×29，且 11 和 29 都是素数）；
- 枚举 377 的因数：
1、13、29、377（因为 377 是 13×29，且 13 和 29 都是素数）；
- 找共有的因数：
1 和 29，最大的是 29，因此最大公约数是 29。
六、为什么会误以为是 31？
31 是素数，319÷31≈10.29，377÷31≈12.16，都不整除，因此 31 不是公因数。选项 D 是干扰项。
总结：
解题方法：辗转相除法（高效）或质因数分解法（直观）；
计算过程：通过辗转相除法得到余数为 29 时，下一次除法余数为 0，因此 29 是最大公约数；
答案：C.29。
（注：之前的错误是误以为 31 是公因数，实际验证后，319 和 377 的最大公约数是 29，对应选项 C。）
大数如何寻找最小因数详解
对于 319 这类 "看起来大但实际不大" 的数字（100~1000 之间），找它的因数（即找哪两个数相乘得到它），核心方法是 "从最小素数开始试除"------ 不用瞎猜，按顺序验证小素数，很快就能找到所有因数，步骤通俗又好操作！
一、核心逻辑：找因数 ="反向分解"，试除到根号就够了
一个数的因数是成对出现的（比如 6=1×6=2×3），且 成对因数中，至少有一个≤这个数的平方根（比如√6≈2.45，成对因数 1、2 都≤2.45）。所以找因数时，只需试除到 "这个数的平方根" 即可，超过部分不用验证（会和前面的因数重复）。
二、找 319 的因数（ step by step 实操）
目标：找到所有能整除 319 的数，即 319=？×？
第一步：先算 319 的平方根（确定试除范围）
√319≈17.86（不用精确算，知道大概 18 就行）→ 只需试除 "≤18 的素数"（2、3、5、7、11、13、17），因为素数是 "最基础的因数"，能整除素数就意味着能分解出这个因数。
第二步：按顺序试除小素数（逐个排除 / 确认）
素数试除顺序：2→3→5→7→11→13→17（按从小到大，不跳步，避免遗漏）
试除 2：319 是奇数（末尾是 9），不能被 2 整除→ 排除；
试除 3：319 的各位数字和 = 3+1+9=13，13 不能被 3 整除→ 排除；
试除 5：319 的末尾不是 0 或 5→ 排除；
试除 7：319÷7≈45.57（商不是整数，有余数 9）→ 排除；
试除 11：319÷11=29（商是整数，没有余数！）→ 找到一对因数：11 和 29；
试除 13：不用再试了！因为已经找到一对因数（11×29=319），且 13＞√319（17.86）吗？不，13＜17.86，但既然已经分解出两个素数（11 和 29 都是素数），再试除也不会有新结果了（比如 319÷13≈24.53，不整除）；
试除 17：319÷17≈18.76（不整除）→ 试除结束。
第三步：列出所有因数（成对找，不重复）
1 是所有数的因数，对应成对因数是 319（1×319=319）；
刚才找到的 11 和 29，是另一对因数（11×29=319）；
所以 319 的所有因数：1、11、29、319。
三、通用方法：找 100~1000 之间数字的因数（万能模板）
不管是 319、377，还是其他类似数字，都按这个步骤来：
算平方根：确定试除范围（比如 377≈19.42，试除到 19 的素数）；
试除小素数：按 2→3→5→7→11→13→17→19→23... 的顺序，逐个试除；
找到一个因数就成对写：比如找到 a 能整除 N，就对应写出 N/a（比如 377÷13=29，成对因数 13 和 29）；
直到试除到平方根：如果试除到平方根都没找到能整除的素数，说明这个数是素数（只有 1 和它本身两个因数）。
四、举例验证：找 377 的因数（和 319 配套练习）
√377≈19.42→ 试除≤19 的素数（2、3、5、7、11、13、17、19）；
试除 2：377 是奇数→ 排除；
试除 3：3+7+7=17，不能被 3 整除→ 排除；
试除 5：末尾不是 0/5→ 排除；
试除 7：377÷7≈53.85→ 排除；
试除 11：377÷11≈34.27→ 排除；
试除 13：377÷13=29（整除！）→ 成对因数 13 和 29；
后续试除 17、19 都不整除→ 377 的因数：1、13、29、377。
五、关键技巧：记熟小素数 + 快速判断整除
不用死记硬背，记住这些 "快速整除规则"，试除更快：
能被 2 整除：偶数（末尾 0、2、4、6、8）；
能被 3 整除：各位数字和能被 3 整除；
能被 5 整除：末尾 0 或 5；
能被 7 整除：比如 319÷7=45 余 9，不整除（直接算就行，7×45=315，319-315=4？哦之前算错了，319÷7=45 余 4，反正不整除）；
能被 11 整除：奇数位数字和 - 偶数位数字和，差能被 11 整除（比如 319：奇数位 3+9=12，偶数位 1，
12-1=11，能被 11 整除！→ 所以 319 一定能被 11 整除，这个技巧超实用！）。
总结：找大数字的因数，不用怕！
核心就是 "小素数试除 + 试到根号为止"：
先算平方根，确定试除范围（不用多试）；
按 2、3、5、7、11... 的顺序试除（素数优先，不跳步）；
找到一个能整除的素数，就得到一对因数；
最后把所有成对因数 + 1 和它本身，就是所有因数。
按这个方法，不管是 319、377，还是 500 以内的数字，都能在 1 分钟内找到所有因数，完全不用瞎猜～