线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.1 矩阵运算(1)

练习题

因 Rn\mathbb{R}^nRn 中向量可以看作 n×1n \times 1n×1 矩阵，故转置矩阵的性质也适用于向量。令
A=[1−3−24]A = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}A=[1−2−34] 和 x=[53]x = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}x=[53]，
计算 (Ax)T(Ax)^T(Ax)T, xTATx^T A^TxTAT, xxTxx^TxxT 和 xTxx^T xxTx。ATxTA^T x^TATxT 是否有定义？

解答：

计算 AxAxAx：
Ax=[1−3−24][53]=[1⋅5+(−3)⋅3(−2)⋅5+4⋅3]=[−42] Ax = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 \\ (-2) \cdot 5 + 4 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} Ax=[1−2−34][53]=[1⋅5+(−3)⋅3(−2)⋅5+4⋅3]=[−42]

因此 (Ax)T=[−42](Ax)^T = \begin{bmatrix} -4 & 2 \end{bmatrix}(Ax)T=[−42]。
计算 xTATx^T A^TxTAT：
xTAT=[53][1−2−34]=[5⋅1+3⋅(−3)5⋅(−2)+3⋅4]=[−42] x^T A^T = \begin{bmatrix} 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) & 5 \cdot (-2) + 3 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \end{bmatrix} xTAT=[53][1−3−24]=[5⋅1+3⋅(−3)5⋅(−2)+3⋅4]=[−42]

验证 (Ax)T=xTAT(Ax)^T = x^T A^T(Ax)T=xTAT，符合转置性质。
计算 xxTxx^TxxT：
xxT=[53][53]=[2515159] xx^T = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & 15 \\ 15 & 9 \end{bmatrix} xxT=[53][53]=[2515159]
计算 xTxx^T xxTx：
xTx=[53][53]=25+9=34 x^T x = \begin{bmatrix} 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = 25 + 9 = 34 xTx=[53][53]=25+9=34
判断 ATxTA^T x^TATxT 是否定义：
ATA^TAT 为 2×22 \times 22×2 矩阵，xTx^TxT 为 1×21 \times 21×2 矩阵。矩阵乘法要求前者的列数等于后者的行数，但 ATA^TAT 的列数为 2，xTx^TxT 的行数为 1，维度不匹配，因此 ATxTA^T x^TATxT 无定义。

结论：
(Ax)T=[−42](Ax)^T = \begin{bmatrix} -4 & 2 \end{bmatrix}(Ax)T=[−42]，xTAT=[−42]x^T A^T = \begin{bmatrix} -4 & 2 \end{bmatrix}xTAT=[−42]，xxT=[2515159]xx^T = \begin{bmatrix} 25 & 15 \\ 15 & 9 \end{bmatrix}xxT=[2515159]，xTx=34x^T x = 34xTx=34，ATxTA^T x^TATxT 无定义。

设 AAA 为 4×44 \times 44×4 矩阵，xxx 是 R4\mathbb{R}^4R4 中向量。计算 A2xA^2 xA2x 的最快方法是什么？计算乘法的次数。

解答：

方法对比：
- 直接计算 A2xA^2 xA2x ：先计算 A2A^2A2（4×44 \times 44×4 矩阵相乘），再计算 A2xA^2 xA2x（矩阵乘向量）。
- 分步计算 A(Ax)A(Ax)A(Ax) ：先计算 AxAxAx（矩阵乘向量），再计算 A(Ax)A(Ax)A(Ax)（矩阵乘向量）。
乘法次数分析：
- 直接计算 A2xA^2 xA2x ：
  - A2A^2A2 需 43=644^3 = 6443=64 次乘法（4×44 \times 44×4 矩阵相乘）。
  - A2xA^2 xA2x 需 4×4=164 \times 4 = 164×4=16 次乘法（矩阵乘向量）。
  - 总计：64+16=8064 + 16 = 8064+16=80 次。
- 分步计算 A(Ax)A(Ax)A(Ax) ：
  - AxAxAx 需 4×4=164 \times 4 = 164×4=16 次乘法。
  - A(Ax)A(Ax)A(Ax) 需 161616 次乘法。
  - 总计：16+16=3216 + 16 = 3216+16=32 次。
结论：

分步计算 A(Ax)A(Ax)A(Ax) 更快，仅需 32 次乘法。

结论：

最快方法是分步计算 A(Ax)A(Ax)A(Ax)，乘法次数为 32 次。

假设 AAA 是一个 m×nm \times nm×n 矩阵，所有行是相同的。BBB 是一个 n×pn \times pn×p 矩阵，所有列是相同的。ABABAB 中的元素是怎样的呢？

解答：

结构分析：
- 设 AAA 的每一行均为行向量 a=[a1,a2,...,an]\mathbf{a} = [a_1, a_2, \dots, a_n]a=[a1,a2,...,an]，则 A=[aa⋮a]A = \begin{bmatrix} \mathbf{a} \\ \mathbf{a} \\ \vdots \\ \mathbf{a} \end{bmatrix}A= aa⋮a 。
- 设 BBB 的每一列为列向量 b=[b1b2⋮bn]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}b= b1b2⋮bn ，则 B=[bb⋯b]B = \begin{bmatrix} \mathbf{b} & \mathbf{b} & \cdots & \mathbf{b} \end{bmatrix}B=[bb⋯b]。
矩阵乘法推导 ：
ABABAB 的任意元素 (i,j)(i,j)(i,j) 为：
(AB)ij=a⋅b=∑k=1nakbk (AB){ij} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum{k=1}^n a_k b_k (AB)ij=a⋅b=k=1∑nakbk

由于 AAA 的所有行和 BBB 的所有列均相同，对任意 i,ji,ji,j，(AB)ij(AB)_{ij}(AB)ij 恒等于 a⋅b\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}a⋅b。
一致性验证：
- 行相同性 ：ABABAB 的每一行均为 [a⋅b,...,a⋅b][\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}, \dots, \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}][a⋅b,...,a⋅b]。
- 列相同性 ：ABABAB 的每一列均为 [a⋅b⋮a⋅b]\begin{bmatrix} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \\ \vdots \\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \end{bmatrix} a⋅b⋮a⋅b 。

结论：
ABABAB 的所有元素均相等，且等于 a⋅b\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}a⋅b。

习题2.1

计算 −2A-2A−2A, B−2AB - 2AB−2A, ACACAC, CDCDCD，其中
A=[20−14−52]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 4 & -5 & 2 \end{bmatrix}A=[240−5−12], B=[7−511−4−3]B = \begin{bmatrix} 7 & -5 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{bmatrix}B=[71−5−41−3], C=[12−21]C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}C=[1−221], D=[35−14]D = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}D=[3−154].

解答：

计算 −2A-2A−2A：
−2A=(−2)[20−14−52]=[−402−810−4] -2A = (-2) \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 4 & -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 & 2 \\ -8 & 10 & -4 \end{bmatrix} −2A=(−2)[240−5−12]=[−4−80102−4]
计算 B−2AB - 2AB−2A：
B−2A=[7−511−4−3]+[−402−810−4]=[3−53−76−7] B - 2A = \begin{bmatrix} 7 & -5 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 0 & 2 \\ -8 & 10 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5 & 3 \\ -7 & 6 & -7 \end{bmatrix} B−2A=[71−5−41−3]+[−4−80102−4]=[3−7−563−7]
判断 ACACAC 是否定义：
AAA 是 2×32 \times 32×3 矩阵，CCC 是 2×22 \times 22×2 矩阵。矩阵乘法要求 AAA 的列数等于 CCC 的行数，但 3≠23 \neq 23=2，因此 ACACAC 未定义。
计算 CDCDCD：
CD=[12−21][35−14]=[1⋅3+2⋅(−1)1⋅5+2⋅4(−2)⋅3+1⋅(−1)(−2)⋅5+1⋅4]=[113−7−6] CD = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) & 1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 \\ (-2) \cdot 3 + 1 \cdot (-1) & (-2) \cdot 5 + 1 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 13 \\ -7 & -6 \end{bmatrix} CD=[1−221][3−154]=[1⋅3+2⋅(−1)(−2)⋅3+1⋅(−1)1⋅5+2⋅4(−2)⋅5+1⋅4]=[1−713−6]

结论：
−2A=[−402−810−4]-2A = \begin{bmatrix} -4 & 0 & 2 \\ -8 & 10 & -4 \end{bmatrix}−2A=[−4−80102−4], B−2A=[3−53−76−7]B - 2A = \begin{bmatrix} 3 & -5 & 3 \\ -7 & 6 & -7 \end{bmatrix}B−2A=[3−7−563−7], ACACAC 未定义, CD=[113−7−6]CD = \begin{bmatrix} 1 & 13 \\ -7 & -6 \end{bmatrix}CD=[1−713−6].

计算 A+2BA + 2BA+2B, 3C−E3C - E3C−E, CBCBCB, EBEBEB，其中
A=[20−14−52]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 4 & -5 & 2 \end{bmatrix}A=[240−5−12], B=[7−511−4−3]B = \begin{bmatrix} 7 & -5 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{bmatrix}B=[71−5−41−3], C=[12−21]C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}C=[1−221], E=[−53]E = \begin{bmatrix} -5 \\ 3 \end{bmatrix}E=[−53].

解答：

计算 A+2BA + 2BA+2B：
2B=2[7−511−4−3]=[14−1022−8−6] 2B = 2 \begin{bmatrix} 7 & -5 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & -10 & 2 \\ 2 & -8 & -6 \end{bmatrix} 2B=2[71−5−41−3]=[142−10−82−6]

A+2B=[20−14−52]+[14−1022−8−6]=[16−1016−13−4] A + 2B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 4 & -5 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 14 & -10 & 2 \\ 2 & -8 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -10 & 1 \\ 6 & -13 & -4 \end{bmatrix} A+2B=[240−5−12]+[142−10−82−6]=[166−10−131−4]
判断 3C−E3C - E3C−E 是否定义：
3C3C3C 是 2×22 \times 22×2 矩阵，EEE 是 2×12 \times 12×1 矩阵。矩阵减法要求维度相同，但 2×2≠2×12 \times 2 \neq 2 \times 12×2=2×1，因此 3C−E3C - E3C−E 未定义。
计算 CBCBCB：
CB=[12−21][7−511−4−3]=[1⋅7+2⋅11⋅(−5)+2⋅(−4)1⋅1+2⋅(−3)(−2)⋅7+1⋅1(−2)⋅(−5)+1⋅(−4)(−2)⋅1+1⋅(−3)]=[9−13−5−136−5] CB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & -5 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot (-5) + 2 \cdot (-4) & 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) \\ (-2) \cdot 7 + 1 \cdot 1 & (-2) \cdot (-5) + 1 \cdot (-4) & (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -13 & -5 \\ -13 & 6 & -5 \end{bmatrix} CB=[1−221][71−5−41−3]=[1⋅7+2⋅1(−2)⋅7+1⋅11⋅(−5)+2⋅(−4)(−2)⋅(−5)+1⋅(−4)1⋅1+2⋅(−3)(−2)⋅1+1⋅(−3)]=[9−13−136−5−5]
判断 EBEBEB 是否定义：
EEE 是 2×12 \times 12×1 矩阵，BBB 是 2×32 \times 32×3 矩阵。矩阵乘法要求 EEE 的列数等于 BBB 的行数，但 1≠21 \neq 21=2，因此 EBEBEB 未定义。

结论：
A+2B=[16−1016−13−4]A + 2B = \begin{bmatrix} 16 & -10 & 1 \\ 6 & -13 & -4 \end{bmatrix}A+2B=[166−10−131−4], 3C−E3C - E3C−E 未定义, CB=[9−13−5−136−5]CB = \begin{bmatrix} 9 & -13 & -5 \\ -13 & 6 & -5 \end{bmatrix}CB=[9−13−136−5−5], EBEBEB 未定义.

设 A=[4−15−2]A = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}A=[45−1−2]，计算 3I2−A3I_2 - A3I2−A 及 (3I2)A(3I_2)A(3I2)A.

解答：

计算 3I2−A3I_2 - A3I2−A：
I2=[1001],3I2=[3003] I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad 3I_2 = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} I2=[1001],3I2=[3003]

3I2−A=[3003]−[4−15−2]=[3−40−(−1)0−53−(−2)]=[−11−55] 3I_2 - A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-4 & 0-(-1) \\ 0-5 & 3-(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 5 \end{bmatrix} 3I2−A=[3003]−[45−1−2]=[3−40−50−(−1)3−(−2)]=[−1−515]
计算 (3I2)A(3I_2)A(3I2)A：
(3I2)A=[3003][4−15−2]=[3⋅4+0⋅53⋅(−1)+0⋅(−2)0⋅4+3⋅50⋅(−1)+3⋅(−2)]=[12−315−6] (3I_2)A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 4 + 0 \cdot 5 & 3 \cdot (-1) + 0 \cdot (-2) \\ 0 \cdot 4 + 3 \cdot 5 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & -3 \\ 15 & -6 \end{bmatrix} (3I2)A=[3003][45−1−2]=[3⋅4+0⋅50⋅4+3⋅53⋅(−1)+0⋅(−2)0⋅(−1)+3⋅(−2)]=[1215−3−6]

结论：
3I2−A=[−11−55]3I_2 - A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 5 \end{bmatrix}3I2−A=[−1−515], (3I2)A=[12−315−6](3I_2)A = \begin{bmatrix} 12 & -3 \\ 15 & -6 \end{bmatrix}(3I2)A=[1215−3−6].

计算 A−5I3A - 5I_3A−5I3 及 (5I3)A(5I_3)A(5I3)A，其中 A=[9−13−87−6−418]A = \begin{bmatrix} 9 & -1 & 3 \\ -8 & 7 & -6 \\ -4 & 1 & 8 \end{bmatrix}A= 9−8−4−1713−68 .

解答：

计算 A−5I3A - 5I_3A−5I3：
I3=[100010001],5I3=[500050005] I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad 5I_3 = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} I3= 100010001 ,5I3= 500050005

A−5I3=[9−13−87−6−418]−[500050005]=[4−13−82−6−413] A - 5I_3 = \begin{bmatrix} 9 & -1 & 3 \\ -8 & 7 & -6 \\ -4 & 1 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ -8 & 2 & -6 \\ -4 & 1 & 3 \end{bmatrix} A−5I3= 9−8−4−1713−68 − 500050005 = 4−8−4−1213−63
计算 (5I3)A(5I_3)A(5I3)A：
(5I3)A=[500050005][9−13−87−6−418]=[45−515−4035−30−20540] (5I_3)A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 & -1 & 3 \\ -8 & 7 & -6 \\ -4 & 1 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 & -5 & 15 \\ -40 & 35 & -30 \\ -20 & 5 & 40 \end{bmatrix} (5I3)A= 500050005 9−8−4−1713−68 = 45−40−20−535515−3040

结论：
A−5I3=[4−13−82−6−413]A - 5I_3 = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ -8 & 2 & -6 \\ -4 & 1 & 3 \end{bmatrix}A−5I3= 4−8−4−1213−63 , (5I3)A=[45−515−4035−30−20540](5I_3)A = \begin{bmatrix} 45 & -5 & 15 \\ -40 & 35 & -30 \\ -20 & 5 & 40 \end{bmatrix}(5I3)A= 45−40−20−535515−3040 .

A=[−12542−3]A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 4 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}A= −15224−3 , B=[3−2−21]B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}B=[3−2−21]，用两种方法计算乘积 ABABAB：(a) 根据定义分别计算 Ab1Ab_1Ab1 及 Ab2Ab_2Ab2；(b) 利用计算 ABABAB 的行列法则。

解答：
(a) 方法一：计算 Ab1Ab_1Ab1 和 Ab2Ab_2Ab2

b1=[3−2]b_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}b1=[3−2], b2=[−21]b_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}b2=[−21]
Ab1=[−12542−3][3−2]=[(−1)(3)+(2)(−2)(5)(3)+(4)(−2)(2)(3)+(−3)(−2)]=[−7712]Ab_1 = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 4 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(3) + (2)(-2) \\ (5)(3) + (4)(-2) \\ (2)(3) + (-3)(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 7 \\ 12 \end{bmatrix}Ab1= −15224−3 [3−2]= (−1)(3)+(2)(−2)(5)(3)+(4)(−2)(2)(3)+(−3)(−2) = −7712
Ab2=[−12542−3][−21]=[(−1)(−2)+(2)(1)(5)(−2)+(4)(1)(2)(−2)+(−3)(1)]=[4−6−7]Ab_2 = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 4 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(-2) + (2)(1) \\ (5)(-2) + (4)(1) \\ (2)(-2) + (-3)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \\ -7 \end{bmatrix}Ab2= −15224−3 [−21]= (−1)(−2)+(2)(1)(5)(−2)+(4)(1)(2)(−2)+(−3)(1) = 4−6−7
因此 AB=[Ab1Ab2]=[−747−612−7]AB = \begin{bmatrix} Ab_1 & Ab_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 4 \\ 7 & -6 \\ 12 & -7 \end{bmatrix}AB=[Ab1Ab2]= −77124−6−7

(b) 方法二：行列法则
AB=[−12542−3][3−2−21]=[(−1)(3)+(2)(−2)(−1)(−2)+(2)(1)(5)(3)+(4)(−2)(5)(−2)+(4)(1)(2)(3)+(−3)(−2)(2)(−2)+(−3)(1)]=[−747−612−7] AB = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 4 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(3) + (2)(-2) & (-1)(-2) + (2)(1) \\ (5)(3) + (4)(-2) & (5)(-2) + (4)(1) \\ (2)(3) + (-3)(-2) & (2)(-2) + (-3)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 4 \\ 7 & -6 \\ 12 & -7 \end{bmatrix} AB= −15224−3 [3−2−21]= (−1)(3)+(2)(−2)(5)(3)+(4)(−2)(2)(3)+(−3)(−2)(−1)(−2)+(2)(1)(5)(−2)+(4)(1)(2)(−2)+(−3)(1) = −77124−6−7

结论：
AB=[−747−612−7]AB = \begin{bmatrix} -7 & 4 \\ 7 & -6 \\ 12 & -7 \end{bmatrix}AB= −77124−6−7 .

A=[4−2−3035]A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 0 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}A= 4−33−205 , B=[132−1]B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}B=[123−1]，用两种方法计算乘积 ABABAB：(a) 根据定义分别计算 Ab1Ab_1Ab1 及 Ab2Ab_2Ab2；(b) 利用计算 ABABAB 的行列法则。

解答：
(a) 方法一：计算 Ab1Ab_1Ab1 和 Ab2Ab_2Ab2

b1=[12]b_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}b1=[12], b2=[3−1]b_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}b2=[3−1]
Ab1=[4−2−3035][12]=[4⋅1+(−2)⋅2(−3)⋅1+0⋅23⋅1+5⋅2]=[0−313]Ab_1 = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 0 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \\ (-3) \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 13 \end{bmatrix}Ab1= 4−33−205 [12]= 4⋅1+(−2)⋅2(−3)⋅1+0⋅23⋅1+5⋅2 = 0−313
Ab2=[4−2−3035][3−1]=[4⋅3+(−2)⋅(−1)(−3)⋅3+0⋅(−1)3⋅3+5⋅(−1)]=[14−94]Ab_2 = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 0 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) \\ (-3) \cdot 3 + 0 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ -9 \\ 4 \end{bmatrix}Ab2= 4−33−205 [3−1]= 4⋅3+(−2)⋅(−1)(−3)⋅3+0⋅(−1)3⋅3+5⋅(−1) = 14−94
因此 AB=[Ab1Ab2]=[014−3−9134]AB = \begin{bmatrix} Ab_1 & Ab_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 14 \\ -3 & -9 \\ 13 & 4 \end{bmatrix}AB=[Ab1Ab2]= 0−31314−94

(b) 方法二：行列法则
AB=[4−2−3035][132−1]=[4⋅1+(−2)⋅24⋅3+(−2)⋅(−1)(−3)⋅1+0⋅2(−3)⋅3+0⋅(−1)3⋅1+5⋅23⋅3+5⋅(−1)]=[014−3−9134] AB = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 0 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 & 4 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) \\ (-3) \cdot 1 + 0 \cdot 2 & (-3) \cdot 3 + 0 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 14 \\ -3 & -9 \\ 13 & 4 \end{bmatrix} AB= 4−33−205 [123−1]= 4⋅1+(−2)⋅2(−3)⋅1+0⋅23⋅1+5⋅24⋅3+(−2)⋅(−1)(−3)⋅3+0⋅(−1)3⋅3+5⋅(−1) = 0−31314−94

结论：
AB=[014−3−9134]AB = \begin{bmatrix} 0 & 14 \\ -3 & -9 \\ 13 & 4 \end{bmatrix}AB= 0−31314−94 .

若 AAA 是 5×35 \times 35×3 矩阵，乘积 ABABAB 是 5×75 \times 75×7 矩阵，BBB 的维度是多少？

解答：

矩阵乘法 ABABAB 要求 AAA 的列数等于 BBB 的行数。
AAA 是 5×35 \times 35×3 矩阵，因此 BBB 必须有 3 行。
ABABAB 是 5×75 \times 75×7 矩阵，因此 BBB 必须有 7 列。
综上，BBB 的维度为 3×73 \times 73×7。

结论：
BBB 的维度是 3×73 \times 73×7.

若 BCBCBC 是 3×43 \times 43×4 矩阵，BBB 有几行？

解答：

矩阵乘法 BCBCBC 的结果维度由 BBB 的行数和 CCC 的列数决定。
设 BBB 为 m×nm \times nm×n 矩阵，CCC 为 n×pn \times pn×p 矩阵，则 BCBCBC 为 m×pm \times pm×p 矩阵。
给定 BCBCBC 是 3×43 \times 43×4 矩阵，因此 m=3m = 3m=3，即 BBB 的行数为 3。

结论：
BBB 有 3 行。

设 A=[25−31]A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}A=[2−351] 和 B=[4−53k]B = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ 3 & k \end{bmatrix}B=[43−5k]，kkk 取什么值时 AB=BAAB = BAAB=BA？

解答：

计算 ABABAB：
AB=[25−31][4−53k]=[2⋅4+5⋅32⋅(−5)+5⋅k−3⋅4+1⋅3−3⋅(−5)+1⋅k]=[23−10+5k−915+k] AB = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ 3 & k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 4 + 5 \cdot 3 & 2 \cdot (-5) + 5 \cdot k \\ -3 \cdot 4 + 1 \cdot 3 & -3 \cdot (-5) + 1 \cdot k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 & -10 + 5k \\ -9 & 15 + k \end{bmatrix} AB=[2−351][43−5k]=[2⋅4+5⋅3−3⋅4+1⋅32⋅(−5)+5⋅k−3⋅(−5)+1⋅k]=[23−9−10+5k15+k]

计算 BABABA：
BA=[4−53k][25−31]=[4⋅2+(−5)⋅(−3)4⋅5+(−5)⋅13⋅2+k⋅(−3)3⋅5+k⋅1]=[23156−3k15+k] BA = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ 3 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) & 4 \cdot 5 + (-5) \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 + k \cdot (-3) & 3 \cdot 5 + k \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 & 15 \\ 6 - 3k & 15 + k \end{bmatrix} BA=[43−5k][2−351]=[4⋅2+(−5)⋅(−3)3⋅2+k⋅(−3)4⋅5+(−5)⋅13⋅5+k⋅1]=[236−3k1515+k]

设 AB=BAAB = BAAB=BA，则对应元素相等：

−10+5k=15-10 + 5k = 15−10+5k=15 ⇒ 5k=255k = 255k=25 ⇒ k=5k = 5k=5
−9=6−3k-9 = 6 - 3k−9=6−3k ⇒ −3k=−15-3k = -15−3k=−15 ⇒ k=5k = 5k=5
两个方程均得 k=5k = 5k=5，故当 k=5k = 5k=5 时 AB=BAAB = BAAB=BA。

结论：
k=5k = 5k=5。

设 A=[2−3−46]A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 6 \end{bmatrix}A=[2−4−36], B=[8455]B = \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}B=[8545], C=[5−231]C = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}C=[53−21]，证明 AB=ACAB = ACAB=AC 但 B≠CB \neq CB=C。

解答：

计算 ABABAB：
AB=[2−3−46][8455]=[2⋅8+(−3)⋅52⋅4+(−3)⋅5−4⋅8+6⋅5−4⋅4+6⋅5]=[1−7−214] AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 5 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 8 + (-3) \cdot 5 & 2 \cdot 4 + (-3) \cdot 5 \\ -4 \cdot 8 + 6 \cdot 5 & -4 \cdot 4 + 6 \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -7 \\ -2 & 14 \end{bmatrix} AB=[2−4−36][8545]=[2⋅8+(−3)⋅5−4⋅8+6⋅52⋅4+(−3)⋅5−4⋅4+6⋅5]=[1−2−714]

计算 ACACAC：
AC=[2−3−46][5−231]=[2⋅5+(−3)⋅32⋅(−2)+(−3)⋅1−4⋅5+6⋅3−4⋅(−2)+6⋅1]=[1−7−214] AC = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 & 2 \cdot (-2) + (-3) \cdot 1 \\ -4 \cdot 5 + 6 \cdot 3 & -4 \cdot (-2) + 6 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -7 \\ -2 & 14 \end{bmatrix} AC=[2−4−36][53−21]=[2⋅5+(−3)⋅3−4⋅5+6⋅32⋅(−2)+(−3)⋅1−4⋅(−2)+6⋅1]=[1−2−714]

可见 AB=ACAB = ACAB=AC。

但 B=[8455]B = \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}B=[8545], C=[5−231]C = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}C=[53−21]，显然 B≠CB \neq CB=C。

结论：
AB=ACAB = ACAB=AC 但 B≠CB \neq CB=C。

设 A=[111123145]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}A= 111124135 , D=[200030005]D = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}D= 200030005 ，计算 ADADAD 和 DADADA，说明当 AAA 右乘或左乘以 DDD 时，AAA 的行或列如何变化。求 3×33 \times 33×3 矩阵 BBB，不是单位矩阵或零矩阵，使 AB=BAAB = BAAB=BA。

解答：

计算 ADADAD：
AD=[111123145][200030005]=[235261521225] AD = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 15 \\ 2 & 12 & 25 \end{bmatrix} AD= 111124135 200030005 = 222361251525

计算 DADADA：
DA=[200030005][111123145]=[22236952025] DA = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 9 \\ 5 & 20 & 25 \end{bmatrix} DA= 200030005 111124135 = 23526202925

右乘 DDD ：ADADAD 的每一列是 AAA 对应列乘以 DDD 的对角元（即第一列乘 2，第二列乘 3，第三列乘 5）。
左乘 DDD ：DADADA 的每一行是 AAA 对应行乘以 DDD 的对角元（即第一行乘 2，第二行乘 3，第三行乘 5）。

求 BBB 使 AB=BAAB = BAAB=BA：

取 B=4I3=[400040004]B = 4I_3 = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}B=4I3= 400040004 （非单位矩阵且非零矩阵）。

则 AB=A(4I3)=4AAB = A(4I_3) = 4AAB=A(4I3)=4A，BA=(4I3)A=4ABA = (4I_3)A = 4ABA=(4I3)A=4A，故 AB=BAAB = BAAB=BA。

结论：
AD=[235261521225]AD = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 15 \\ 2 & 12 & 25 \end{bmatrix}AD= 222361251525 , DA=[22236952025]DA = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 9 \\ 5 & 20 & 25 \end{bmatrix}DA= 23526202925 ；右乘 DDD 缩放列，左乘 DDD 缩放行；B=[400040004]B = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}B= 400040004 满足 AB=BAAB = BAAB=BA。

设 A=[3−6−12]A = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}A=[3−1−62]，求 2×22 \times 22×2 矩阵 BBB 使 AB=0AB = 0AB=0，要求 BBB 有两个不同的非零列。

解答：

设 B=[b11b12b21b22]B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}B=[b11b21b12b22]，则 AB=0AB = 0AB=0 要求 Ab1=0A \mathbf{b}_1 = \mathbf{0}Ab1=0 和 Ab2=0A \mathbf{b}_2 = \mathbf{0}Ab2=0，其中 b1,b2\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2b1,b2 为 BBB 的列。

解 Ax=0A \mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0：

3−6−12\]\[x1x2\]=\[00\]  ⟹  3x1−6x2=0  ⟹  x1=2x2 \\begin{bmatrix} 3 \& -6 \\\\ -1 \& 2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} \\implies 3x_1 - 6x_2 = 0 \\implies x_1 = 2x_2 \[3−1−62\]\[x1x2\]=\[00\]⟹3x1−6x2=0⟹x1=2x2 故解向量为 x=t\[21\]\\mathbf{x} = t \\begin{bmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}x=t\[21\]，t∈Rt \\in \\mathbb{R}t∈R。 取 b1=\[21\]\\mathbf{b}_1 = \\begin{bmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}b1=\[21\]，b2=\[63\]\\mathbf{b}_2 = \\begin{bmatrix} 6 \\\\ 3 \\end{bmatrix}b2=\[63\]（不同非零列，且均为解）。 则 B=\[2613\]B = \\begin{bmatrix} 2 \& 6 \\\\ 1 \& 3 \\end{bmatrix}B=\[2163\]。 验证： AB=\[3−6−12\]\[2613\]=\[0000\] AB = \\begin{bmatrix} 3 \& -6 \\\\ -1 \& 2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 2 \& 6 \\\\ 1 \& 3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix} AB=\[3−1−62\]\[2163\]=\[0000

结论：
B=[2613]B = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}B=[2163]。

设 r1,...,rpr_1, \dots, r_pr1,...,rp 为 Rn\mathbb{R}^nRn 中向量，QQQ 为 m×nm \times nm×n 矩阵，把矩阵 [Qr1⋯Qrp][Q r_1 \cdots Q r_p][Qr1⋯Qrp] 写成两个矩阵的积（任何一个矩阵都不是单位矩阵）。

解答：

设 R=[r1r2⋯rp]R = \begin{bmatrix} r_1 & r_2 & \cdots & r_p \end{bmatrix}R=[r1r2⋯rp]，则 RRR 是 n×pn \times pn×p 矩阵。

由矩阵乘法定义：
QR=Q[r1⋯rp]=[Qr1⋯Qrp] Q R = Q \begin{bmatrix} r_1 & \cdots & r_p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Q r_1 & \cdots & Q r_p \end{bmatrix} QR=Q[r1⋯rp]=[Qr1⋯Qrp]
QQQ 是 m×nm \times nm×n 矩阵，RRR 是 n×pn \times pn×p 矩阵，两者均非单位矩阵（因 m,n,pm,n,pm,n,p 一般不满足单位矩阵条件）。

结论：

Qr1⋯Qrp\]=QR\[Q r_1 \\cdots Q r_p\] = Q R\[Qr1⋯Qrp\]=QR，其中 R=\[r1⋯rp\]R = \\begin{bmatrix} r_1 \& \\cdots \& r_p \\end{bmatrix}R=\[r1⋯rp\]。 *** ** * ** *** > 15. a. 若 A,BA,BA,B 为 2×22 \\times 22×2 矩阵，它们的列分别为 a1,a2a_1, a_2a1,a2 和 b1,b2b_1, b_2b1,b2，则 AB=\[a1b1 a2b2\]AB = \[a_1 b_1 \\ a_2 b_2\]AB=\[a1b1 a2b2\]。 > b. ABABAB 的每一列是 BBB 的列的线性组合，并以 AAA 的对应列作为权重。 > **c. AB+AC=A(B+C)AB + AC = A(B + C)AB+AC=A(B+C)。 > d. AT+BT=(A+B)TA\^T + B\^T = (A + B)\^TAT+BT=(A+B)T。** > e. 矩阵的乘积的转置等于相同顺序它们的转置的乘积。 **解答** ： a. **假命题** ： ABABAB 的列是 AAA 的列的线性组合，权重由 BBB 的列提供。例如，ABABAB 的第一列为 b11a1+b21a2b_{11}a_1 + b_{21}a_2b11a1+b21a2，而非 a1b1a_1 b_1a1b1（a1,b1a_1, b_1a1,b1 为列向量，无法直接相乘）。 b. **假命题** ： ABABAB 的每一列是 AAA 的列的线性组合，权重由 BBB 的对应列提供。题目中将 AAA 与 BBB 的角色颠倒，应表述为"ABABAB 的每一列是 AAA 的列的线性组合"。 c. **真命题** ： 由矩阵乘法对加法的**分配律** ： A(B+C)=AB+AC A(B + C) = AB + AC A(B+C)=AB+AC 该等式恒成立。 d. **真命题** ： 转置运算满足线性性： (A+B)T=AT+BT (A + B)\^T = A\^T + B\^T (A+B)T=AT+BT 逐元素验证即可确认。 e. **假命题** ： **矩阵乘积的转置需反转顺序** ： (AB)T=BTAT (AB)\^T = B\^T A\^T (AB)T=BTAT 题目中"相同顺序"表述错误，应为"逆序"。 **结论** ： a. 假；b. 假；c. 真；d. 真；e. 假。 *** ** * ** *** > 16. a. 若 AAA 与 BBB 为 3×33 \\times 33×3 矩阵，B=\[b1 b2 b3\]B = \[b_1 \\ b_2 \\ b_3\]B=\[b1 b2 b3\]，则 AB=\[Ab1+Ab2+Ab3\]AB = \[Ab_1 + Ab_2 + Ab_3\]AB=\[Ab1+Ab2+Ab3\]。 > b. ABABAB 的第 2 行是 AAA 的第 2 行被 BBB 右乘。 > c. (AB)C=A(CB)(AB)C = A(CB)(AB)C=A(CB)。 > d. (AB)T=ATBT(AB)\^T = A\^T B\^T(AB)T=ATBT。 > e. 矩阵和等于它们的转置的和。 **解答** ： a. **假命题** ： ABABAB 的列应为 \[Ab1 Ab2 Ab3\]\[Ab_1 \\ Ab_2 \\ Ab_3\]\[Ab1 Ab2 Ab3\]，而非列的和。矩阵乘法中 BBB 的每一列独立作用于 AAA。 b. **真命题** ： 设 AAA 的第 2 行为 a2T\\mathbf{a}_2\^Ta2T，则 ABABAB 的第 2 行为 a2TB\\mathbf{a}_2\^T Ba2TB，即 AAA 的第 2 行右乘 BBB。 c. **假命题** ： 不能调换BCBCBC的相对位置 d. **假命题** ： 转置性质为 (AB)T=BTAT(AB)\^T = B\^T A\^T(AB)T=BTAT，而非 ATBTA\^T B\^TATBT。顺序必须反转。 e. **真命题** ： 转置运算满足线性性： (A+B)T=AT+BT (A + B)\^T = A\^T + B\^T (A+B)T=AT+BT 与第 15 题 (d) 一致。 **结论** ： a. 假；b. 真；c. 假；d. 假；e. 真。 *** ** * ** *** > 17. 若 A=\[1−2−25\]A = \\begin{bmatrix} 1 \& -2 \\\\ -2 \& 5 \\end{bmatrix}A=\[1−2−25\] 和 AB=\[−12−16−93\]AB = \\begin{bmatrix} -1 \& 2 \& -1 \\\\ 6 \& -9 \& 3 \\end{bmatrix}AB=\[−162−9−13\]，确定 BBB 的第一列与第二列。 **解答** ： 设 B=\[b1 b2 b3\]B = \[b_1 \\ b_2 \\ b_3\]B=\[b1 b2 b3\]，其中 b1,b2b_1, b_2b1,b2 为 BBB 的第一列和第二列。根据矩阵乘法性质，ABABAB 的每一列是 AAA 与 BBB 对应列的乘积，即： AB=\[Ab1 Ab2 Ab3\] AB = \[Ab_1 \\ Ab_2 \\ Ab_3\] AB=\[Ab1 Ab2 Ab3

因此，Ab1=[−16]Ab_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \end{bmatrix}Ab1=[−16]，Ab2=[2−9]Ab_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -9 \end{bmatrix}Ab2=[2−9]。

步骤 1：求解 b1b_1b1

解方程 Ab1=[−16]A b_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \end{bmatrix}Ab1=[−16]，构造增广矩阵：

1−2−1−256\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& -2 \& -1 \\\\ -2 \& 5 \& 6 \\end{array}\\right\] \[1−2−25−16

行变换过程：

R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1R2←R2+2R1：
$1−2−1014\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& -2 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& 4 \\end{array}\\right\] \[10−21−14$
R1←R1+2R2R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2R1←R1+2R2：
$107014\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& 0 \& 7 \\\\ 0 \& 1 \& 4 \\end{array}\\right\] \[100174$
解得 b1=[74]b_1 = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \end{bmatrix}b1=[74]。

步骤 2：求解 b2b_2b2

解方程 Ab2=[2−9]A b_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -9 \end{bmatrix}Ab2=[2−9]，构造增广矩阵：

1−22−25−9\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& -2 \& 2 \\\\ -2 \& 5 \& -9 \\end{array}\\right\] \[1−2−252−9

行变换过程：

R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1R2←R2+2R1：
$1−2201−5\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& -2 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& -5 \\end{array}\\right\] \[10−212−5$
R1←R1+2R2R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2R1←R1+2R2：
$10−801−5\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& 0 \& -8 \\\\ 0 \& 1 \& -5 \\end{array}\\right\] \[1001−8−5$
解得 b2=[−8−5]b_2 = \begin{bmatrix} -8 \\ -5 \end{bmatrix}b2=[−8−5]。

结论：
BBB 的第一列为 [74]\begin{bmatrix} 7 \\ 4 \end{bmatrix}[74]，第二列为 [−8−5]\begin{bmatrix} -8 \\ -5 \end{bmatrix}[−8−5]。

设 BBB 的前两列 b1b_1b1 和 b2b_2b2 相等，那么 ABABAB 的各列如何？（假设 ABABAB 有定义。）为什么？

解答：

列关系 ：
ABABAB 的第 1 列为 Ab1Ab_1Ab1，第 2 列为 Ab2Ab_2Ab2。

由 b1=b2b_1 = b_2b1=b2，得 Ab1=Ab2Ab_1 = Ab_2Ab1=Ab2，故 ABABAB 的前两列相等。
推广：

若 BBB 的第 iii 列与第 jjj 列相等，则 ABABAB 的第 iii 列与第 jjj 列也相等。

这是因矩阵乘法保持列的线性关系：Abi=Abj ⟺ bi=bjAb_i = Ab_j \iff b_i = b_jAbi=Abj⟺bi=bj。

结论：
ABABAB 的前两列相等，其余列保持原对应关系。

设 BBB 的第 3 列是前 2 列的和，那么 ABABAB 的第 3 列如何？为什么？

解答：

列关系 ：

设 b3=b1+b2b_3 = b_1 + b_2b3=b1+b2，则 ABABAB 的第 3 列为：
Ab3=A(b1+b2)=Ab1+Ab2 Ab_3 = A(b_1 + b_2) = Ab_1 + Ab_2 Ab3=A(b1+b2)=Ab1+Ab2

即 ABABAB 的第 3 列是其前两列的和。
一般性 ：

矩阵乘法保持线性组合关系：若 bk=∑i=1ncibib_k = \sum_{i=1}^n c_i b_ibk=∑i=1ncibi，则 Abk=∑i=1nciAbiAb_k = \sum_{i=1}^n c_i Ab_iAbk=∑i=1nciAbi。

结论：
ABABAB 的第 3 列是其前两列的和。

设 BBB 的第 2 列全是零，那么 ABABAB 的第 2 列如何？

解答：

零列性质 ：
BBB 的第 2 列为 0\mathbf{0}0，则 ABABAB 的第 2 列为：
A⋅0=0 A \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} A⋅0=0

因矩阵乘零向量结果为零向量。
直观解释 ：

矩阵乘法中，零列对结果无贡献，故 ABABAB 的对应列全为零。

结论：
ABABAB 的第 2 列全为零。

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章 矩阵代数 2.1 矩阵运算(1)

练习题

习题2.1

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.1 矩阵运算(1)