线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章 矩阵代数 2.1 矩阵运算(1)

练习题

1. 因 Rn\mathbb{R}^nRn 中向量可以看作 n×1n \times 1n×1 矩阵，故转置矩阵的性质也适用于向量。令
   A=1−3−24A = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}A=1−2−34 和 x=53x = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}x=53，
   计算 (Ax)T(Ax)^T(Ax)T, xTATx^T A^TxTAT, xxTxx^TxxT 和 xTxx^T xxTx。ATxTA^T x^TATxT 是否有定义？

解答：

1. 计算 AxAxAx：
   Ax=1−3−2453=1⋅5+(−3)⋅3(−2)⋅5+4⋅3=−42 Ax = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 \\ (-2) \cdot 5 + 4 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix} Ax=1−2−3453=1⋅5+(−3)⋅3(−2)⋅5+4⋅3=−42

   因此 (Ax)T=−42(Ax)^T = \begin{bmatrix} -4 & 2 \end{bmatrix}(Ax)T=−42。

2. 计算 xTATx^T A^TxTAT：
   xTAT=531−2−34=5⋅1+3⋅(−3)5⋅(−2)+3⋅4=−42 x^T A^T = \begin{bmatrix} 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) & 5 \cdot (-2) + 3 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \end{bmatrix} xTAT=531−3−24=5⋅1+3⋅(−3)5⋅(−2)+3⋅4=−42

   验证 (Ax)T=xTAT(Ax)^T = x^T A^T(Ax)T=xTAT，符合转置性质。

3. 计算 xxTxx^TxxT：
   xxT=5353=2515159 xx^T = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & 15 \\ 15 & 9 \end{bmatrix} xxT=5353=2515159

4. 计算 xTxx^T xxTx：
   xTx=5353=25+9=34 x^T x = \begin{bmatrix} 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = 25 + 9 = 34 xTx=5353=25+9=34

5. 判断 ATxTA^T x^TATxT 是否定义：
   ATA^TAT 为 2×22 \times 22×2 矩阵，xTx^TxT 为 1×21 \times 21×2 矩阵。矩阵乘法要求前者的列数等于后者的行数，但 ATA^TAT 的列数为 2，xTx^TxT 的行数为 1，维度不匹配，因此 ATxTA^T x^TATxT 无定义。

结论 ：
(Ax)T=−42(Ax)^T = \begin{bmatrix} -4 & 2 \end{bmatrix}(Ax)T=−42，xTAT=−42x^T A^T = \begin{bmatrix} -4 & 2 \end{bmatrix}xTAT=−42，xxT=2515159xx^T = \begin{bmatrix} 25 & 15 \\ 15 & 9 \end{bmatrix}xxT=2515159，xTx=34x^T x = 34xTx=34，ATxTA^T x^TATxT 无定义。

---

2. 设 AAA 为 4×44 \times 44×4 矩阵，xxx 是 R4\mathbb{R}^4R4 中向量。计算 A2xA^2 xA2x 的最快方法是什么？计算乘法的次数。

解答：

1. 方法对比：

   • 直接计算 A2xA^2 xA2x ：先计算 A2A^2A2（4×44 \times 44×4 矩阵相乘），再计算 A2xA^2 xA2x（矩阵乘向量）。
   • 分步计算 A(Ax)A(Ax)A(Ax) ：先计算 AxAxAx（矩阵乘向量），再计算 A(Ax)A(Ax)A(Ax)（矩阵乘向量）。

2. 乘法次数分析：

   • 直接计算 A2xA^2 xA2x ：
     • A2A^2A2 需 43=644^3 = 6443=64 次乘法（4×44 \times 44×4 矩阵相乘）。
     • A2xA^2 xA2x 需 4×4=164 \times 4 = 164×4=16 次乘法（矩阵乘向量）。
     • 总计 ：64+16=8064 + 16 = 8064+16=80 次。
   • 分步计算 A(Ax)A(Ax)A(Ax) ：
     • AxAxAx 需 4×4=164 \times 4 = 164×4=16 次乘法。
     • A(Ax)A(Ax)A(Ax) 需 161616 次乘法。
     • 总计 ：16+16=3216 + 16 = 3216+16=32 次。

3. 结论 ：

   分步计算 A(Ax)A(Ax)A(Ax) 更快，仅需 32 次乘法。

结论 ：

最快方法是分步计算 A(Ax)A(Ax)A(Ax)，乘法次数为 32 次。

---

3. 假设 AAA 是一个 m×nm \times nm×n 矩阵，所有行是相同的。BBB 是一个 n×pn \times pn×p 矩阵，所有列是相同的。ABABAB 中的元素是怎样的呢？

解答：

1. 结构分析：

   • 设 AAA 的每一行均为行向量 a=a1,a2,...,an\mathbf{a} = a_1, a_2, \\dots, a_na=a1,a2,...,an，则 A=aa⋮aA = \begin{bmatrix} \mathbf{a} \\ \mathbf{a} \\ \vdots \\ \mathbf{a} \end{bmatrix}A= aa⋮a 。
   • 设 BBB 的每一列为列向量 b=b1b2⋮bn\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}b= b1b2⋮bn ，则 B=bb⋯bB = \begin{bmatrix} \mathbf{b} & \mathbf{b} & \cdots & \mathbf{b} \end{bmatrix}B=bb⋯b。

2. 矩阵乘法推导 ：
   ABABAB 的任意元素 (i,j)(i,j)(i,j) 为：
   (AB)ij=a⋅b=∑k=1nakbk (AB){ij} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum{k=1}^n a_k b_k (AB)ij=a⋅b=k=1∑nakbk

   由于 AAA 的所有行和 BBB 的所有列均相同，对任意 i,ji,ji,j，(AB)ij(AB)_{ij}(AB)ij 恒等于 a⋅b\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}a⋅b。

3. 一致性验证：

   • 行相同性 ：ABABAB 的每一行均为 a⋅b,...,a⋅b\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}, \\dots, \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}a⋅b,...,a⋅b。
   • 列相同性 ：ABABAB 的每一列均为 a⋅b⋮a⋅b\begin{bmatrix} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \\ \vdots \\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \end{bmatrix} a⋅b⋮a⋅b 。

结论 ：
ABABAB 的所有元素均相等，且等于 a⋅b\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}a⋅b。

---

习题2.1

1. 计算 −2A-2A−2A, B−2AB - 2AB−2A, ACACAC, CDCDCD，其中
   A=20−14−52A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 4 & -5 & 2 \end{bmatrix}A=240−5−12, B=7−511−4−3B = \begin{bmatrix} 7 & -5 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{bmatrix}B=71−5−41−3, C=12−21C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}C=1−221, D=35−14D = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}D=3−154.

解答：

1. 计算 −2A-2A−2A：
   −2A=(−2)20−14−52=−402−810−4 -2A = (-2) \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 4 & -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 & 2 \\ -8 & 10 & -4 \end{bmatrix} −2A=(−2)240−5−12=−4−80102−4

2. 计算 B−2AB - 2AB−2A：
   B−2A=7−511−4−3+−402−810−4=3−53−76−7 B - 2A = \begin{bmatrix} 7 & -5 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 0 & 2 \\ -8 & 10 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5 & 3 \\ -7 & 6 & -7 \end{bmatrix} B−2A=71−5−41−3+−4−80102−4=3−7−563−7

3. 判断 ACACAC 是否定义：
   AAA 是 2×32 \times 32×3 矩阵，CCC 是 2×22 \times 22×2 矩阵。矩阵乘法要求 AAA 的列数等于 CCC 的行数，但 3≠23 \neq 23=2，因此 ACACAC 未定义。

4. 计算 CDCDCD：
   CD=12−2135−14=1⋅3+2⋅(−1)1⋅5+2⋅4(−2)⋅3+1⋅(−1)(−2)⋅5+1⋅4=113−7−6 CD = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) & 1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 \\ (-2) \cdot 3 + 1 \cdot (-1) & (-2) \cdot 5 + 1 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 13 \\ -7 & -6 \end{bmatrix} CD=1−2213−154=1⋅3+2⋅(−1)(−2)⋅3+1⋅(−1)1⋅5+2⋅4(−2)⋅5+1⋅4=1−713−6

结论 ：
−2A=−402−810−4-2A = \begin{bmatrix} -4 & 0 & 2 \\ -8 & 10 & -4 \end{bmatrix}−2A=−4−80102−4, B−2A=3−53−76−7B - 2A = \begin{bmatrix} 3 & -5 & 3 \\ -7 & 6 & -7 \end{bmatrix}B−2A=3−7−563−7, ACACAC 未定义, CD=113−7−6CD = \begin{bmatrix} 1 & 13 \\ -7 & -6 \end{bmatrix}CD=1−713−6.

---

2. 计算 A+2BA + 2BA+2B, 3C−E3C - E3C−E, CBCBCB, EBEBEB，其中
   A=20−14−52A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 4 & -5 & 2 \end{bmatrix}A=240−5−12, B=7−511−4−3B = \begin{bmatrix} 7 & -5 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{bmatrix}B=71−5−41−3, C=12−21C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}C=1−221, E=−53E = \begin{bmatrix} -5 \\ 3 \end{bmatrix}E=−53.

解答：

1. 计算 A+2BA + 2BA+2B：
   2B=27−511−4−3=14−1022−8−6 2B = 2 \begin{bmatrix} 7 & -5 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & -10 & 2 \\ 2 & -8 & -6 \end{bmatrix} 2B=271−5−41−3=142−10−82−6

   A+2B=20−14−52+14−1022−8−6=16−1016−13−4 A + 2B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 4 & -5 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 14 & -10 & 2 \\ 2 & -8 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -10 & 1 \\ 6 & -13 & -4 \end{bmatrix} A+2B=240−5−12+142−10−82−6=166−10−131−4

2. 判断 3C−E3C - E3C−E 是否定义：
   3C3C3C 是 2×22 \times 22×2 矩阵，EEE 是 2×12 \times 12×1 矩阵。矩阵减法要求维度相同，但 2×2≠2×12 \times 2 \neq 2 \times 12×2=2×1，因此 3C−E3C - E3C−E 未定义。

3. 计算 CBCBCB：
   CB=12−217−511−4−3=1⋅7+2⋅11⋅(−5)+2⋅(−4)1⋅1+2⋅(−3)(−2)⋅7+1⋅1(−2)⋅(−5)+1⋅(−4)(−2)⋅1+1⋅(−3)=9−13−5−136−5 CB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & -5 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot (-5) + 2 \cdot (-4) & 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) \\ (-2) \cdot 7 + 1 \cdot 1 & (-2) \cdot (-5) + 1 \cdot (-4) & (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -13 & -5 \\ -13 & 6 & -5 \end{bmatrix} CB=1−22171−5−41−3=1⋅7+2⋅1(−2)⋅7+1⋅11⋅(−5)+2⋅(−4)(−2)⋅(−5)+1⋅(−4)1⋅1+2⋅(−3)(−2)⋅1+1⋅(−3)=9−13−136−5−5

4. 判断 EBEBEB 是否定义：
   EEE 是 2×12 \times 12×1 矩阵，BBB 是 2×32 \times 32×3 矩阵。矩阵乘法要求 EEE 的列数等于 BBB 的行数，但 1≠21 \neq 21=2，因此 EBEBEB 未定义。

结论 ：
A+2B=16−1016−13−4A + 2B = \begin{bmatrix} 16 & -10 & 1 \\ 6 & -13 & -4 \end{bmatrix}A+2B=166−10−131−4, 3C−E3C - E3C−E 未定义, CB=9−13−5−136−5CB = \begin{bmatrix} 9 & -13 & -5 \\ -13 & 6 & -5 \end{bmatrix}CB=9−13−136−5−5, EBEBEB 未定义.

---

3. 设 A=4−15−2A = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}A=45−1−2，计算 3I2−A3I_2 - A3I2−A 及 (3I2)A(3I_2)A(3I2)A.

解答：

1. 计算 3I2−A3I_2 - A3I2−A：
   I2=1001,3I2=3003 I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad 3I_2 = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} I2=1001,3I2=3003

   3I2−A=3003−4−15−2=3−40−(−1)0−53−(−2)=−11−55 3I_2 - A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-4 & 0-(-1) \\ 0-5 & 3-(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 5 \end{bmatrix} 3I2−A=3003−45−1−2=3−40−50−(−1)3−(−2)=−1−515

2. 计算 (3I2)A(3I_2)A(3I2)A：
   (3I2)A=30034−15−2=3⋅4+0⋅53⋅(−1)+0⋅(−2)0⋅4+3⋅50⋅(−1)+3⋅(−2)=12−315−6 (3I_2)A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 4 + 0 \cdot 5 & 3 \cdot (-1) + 0 \cdot (-2) \\ 0 \cdot 4 + 3 \cdot 5 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & -3 \\ 15 & -6 \end{bmatrix} (3I2)A=300345−1−2=3⋅4+0⋅50⋅4+3⋅53⋅(−1)+0⋅(−2)0⋅(−1)+3⋅(−2)=1215−3−6

结论 ：
3I2−A=−11−553I_2 - A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 5 \end{bmatrix}3I2−A=−1−515, (3I2)A=12−315−6(3I_2)A = \begin{bmatrix} 12 & -3 \\ 15 & -6 \end{bmatrix}(3I2)A=1215−3−6.

---

4. 计算 A−5I3A - 5I_3A−5I3 及 (5I3)A(5I_3)A(5I3)A，其中 A=9−13−87−6−418A = \begin{bmatrix} 9 & -1 & 3 \\ -8 & 7 & -6 \\ -4 & 1 & 8 \end{bmatrix}A= 9−8−4−1713−68 .

解答：

1. 计算 A−5I3A - 5I_3A−5I3：
   I3=100010001,5I3=500050005 I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad 5I_3 = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} I3= 100010001 ,5I3= 500050005

   A−5I3=9−13−87−6−418−500050005=4−13−82−6−413 A - 5I_3 = \begin{bmatrix} 9 & -1 & 3 \\ -8 & 7 & -6 \\ -4 & 1 & 8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ -8 & 2 & -6 \\ -4 & 1 & 3 \end{bmatrix} A−5I3= 9−8−4−1713−68 − 500050005 = 4−8−4−1213−63

2. 计算 (5I3)A(5I_3)A(5I3)A：
   (5I3)A=5000500059−13−87−6−418=45−515−4035−30−20540 (5I_3)A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 & -1 & 3 \\ -8 & 7 & -6 \\ -4 & 1 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 & -5 & 15 \\ -40 & 35 & -30 \\ -20 & 5 & 40 \end{bmatrix} (5I3)A= 500050005 9−8−4−1713−68 = 45−40−20−535515−3040

结论 ：
A−5I3=4−13−82−6−413A - 5I_3 = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 3 \\ -8 & 2 & -6 \\ -4 & 1 & 3 \end{bmatrix}A−5I3= 4−8−4−1213−63 , (5I3)A=45−515−4035−30−20540(5I_3)A = \begin{bmatrix} 45 & -5 & 15 \\ -40 & 35 & -30 \\ -20 & 5 & 40 \end{bmatrix}(5I3)A= 45−40−20−535515−3040 .

---

5. A=−12542−3A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 4 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}A= −15224−3 , B=3−2−21B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}B=3−2−21，用两种方法计算乘积 ABABAB：(a) 根据定义分别计算 Ab1Ab_1Ab1 及 Ab2Ab_2Ab2；(b) 利用计算 ABABAB 的行列法则。

解答 ：
(a) 方法一：计算 Ab1Ab_1Ab1 和 Ab2Ab_2Ab2

• b1=3−2b_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}b1=3−2, b2=−21b_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}b2=−21
• Ab1=−12542−33−2=(−1)(3)+(2)(−2)(5)(3)+(4)(−2)(2)(3)+(−3)(−2)=−7712Ab_1 = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 4 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(3) + (2)(-2) \\ (5)(3) + (4)(-2) \\ (2)(3) + (-3)(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 7 \\ 12 \end{bmatrix}Ab1= −15224−3 3−2= (−1)(3)+(2)(−2)(5)(3)+(4)(−2)(2)(3)+(−3)(−2) = −7712
• Ab2=−12542−3−21=(−1)(−2)+(2)(1)(5)(−2)+(4)(1)(2)(−2)+(−3)(1)=4−6−7Ab_2 = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 4 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(-2) + (2)(1) \\ (5)(-2) + (4)(1) \\ (2)(-2) + (-3)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -6 \\ -7 \end{bmatrix}Ab2= −15224−3 −21= (−1)(−2)+(2)(1)(5)(−2)+(4)(1)(2)(−2)+(−3)(1) = 4−6−7
• 因此 AB=Ab1Ab2=−747−612−7AB = \begin{bmatrix} Ab_1 & Ab_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 4 \\ 7 & -6 \\ 12 & -7 \end{bmatrix}AB=Ab1Ab2= −77124−6−7

(b) 方法二：行列法则
AB=−12542−33−2−21=(−1)(3)+(2)(−2)(−1)(−2)+(2)(1)(5)(3)+(4)(−2)(5)(−2)+(4)(1)(2)(3)+(−3)(−2)(2)(−2)+(−3)(1)=−747−612−7 AB = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 5 & 4 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(3) + (2)(-2) & (-1)(-2) + (2)(1) \\ (5)(3) + (4)(-2) & (5)(-2) + (4)(1) \\ (2)(3) + (-3)(-2) & (2)(-2) + (-3)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 4 \\ 7 & -6 \\ 12 & -7 \end{bmatrix} AB= −15224−3 3−2−21= (−1)(3)+(2)(−2)(5)(3)+(4)(−2)(2)(3)+(−3)(−2)(−1)(−2)+(2)(1)(5)(−2)+(4)(1)(2)(−2)+(−3)(1) = −77124−6−7

结论 ：
AB=−747−612−7AB = \begin{bmatrix} -7 & 4 \\ 7 & -6 \\ 12 & -7 \end{bmatrix}AB= −77124−6−7 .

---

6. A=4−2−3035A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 0 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}A= 4−33−205 , B=132−1B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}B=123−1，用两种方法计算乘积 ABABAB：(a) 根据定义分别计算 Ab1Ab_1Ab1 及 Ab2Ab_2Ab2；(b) 利用计算 ABABAB 的行列法则。

解答 ：
(a) 方法一：计算 Ab1Ab_1Ab1 和 Ab2Ab_2Ab2

• b1=12b_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}b1=12, b2=3−1b_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}b2=3−1
• Ab1=4−2−303512=4⋅1+(−2)⋅2(−3)⋅1+0⋅23⋅1+5⋅2=0−313Ab_1 = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 0 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \\ (-3) \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 13 \end{bmatrix}Ab1= 4−33−205 12= 4⋅1+(−2)⋅2(−3)⋅1+0⋅23⋅1+5⋅2 = 0−313
• Ab2=4−2−30353−1=4⋅3+(−2)⋅(−1)(−3)⋅3+0⋅(−1)3⋅3+5⋅(−1)=14−94Ab_2 = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 0 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) \\ (-3) \cdot 3 + 0 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ -9 \\ 4 \end{bmatrix}Ab2= 4−33−205 3−1= 4⋅3+(−2)⋅(−1)(−3)⋅3+0⋅(−1)3⋅3+5⋅(−1) = 14−94
• 因此 AB=Ab1Ab2=014−3−9134AB = \begin{bmatrix} Ab_1 & Ab_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 14 \\ -3 & -9 \\ 13 & 4 \end{bmatrix}AB=Ab1Ab2= 0−31314−94

(b) 方法二：行列法则
AB=4−2−3035132−1=4⋅1+(−2)⋅24⋅3+(−2)⋅(−1)(−3)⋅1+0⋅2(−3)⋅3+0⋅(−1)3⋅1+5⋅23⋅3+5⋅(−1)=014−3−9134 AB = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 0 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 & 4 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) \\ (-3) \cdot 1 + 0 \cdot 2 & (-3) \cdot 3 + 0 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 14 \\ -3 & -9 \\ 13 & 4 \end{bmatrix} AB= 4−33−205 123−1= 4⋅1+(−2)⋅2(−3)⋅1+0⋅23⋅1+5⋅24⋅3+(−2)⋅(−1)(−3)⋅3+0⋅(−1)3⋅3+5⋅(−1) = 0−31314−94

结论 ：
AB=014−3−9134AB = \begin{bmatrix} 0 & 14 \\ -3 & -9 \\ 13 & 4 \end{bmatrix}AB= 0−31314−94 .

---

7. 若 AAA 是 5×35 \times 35×3 矩阵，乘积 ABABAB 是 5×75 \times 75×7 矩阵，BBB 的维度是多少？

解答：

• 矩阵乘法 ABABAB 要求 AAA 的列数等于 BBB 的行数。
• AAA 是 5×35 \times 35×3 矩阵，因此 BBB 必须有 3 行。
• ABABAB 是 5×75 \times 75×7 矩阵，因此 BBB 必须有 7 列。
• 综上，BBB 的维度为 3×73 \times 73×7。

结论 ：
BBB 的维度是 3×73 \times 73×7.

---

8. 若 BCBCBC 是 3×43 \times 43×4 矩阵，BBB 有几行？

解答：

• 矩阵乘法 BCBCBC 的结果维度由 BBB 的行数和 CCC 的列数决定。
• 设 BBB 为 m×nm \times nm×n 矩阵，CCC 为 n×pn \times pn×p 矩阵，则 BCBCBC 为 m×pm \times pm×p 矩阵。
• 给定 BCBCBC 是 3×43 \times 43×4 矩阵，因此 m=3m = 3m=3，即 BBB 的行数为 3。

结论 ：
BBB 有 3 行。

---

9. 设 A=25−31A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}A=2−351 和 B=4−53kB = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ 3 & k \end{bmatrix}B=43−5k，kkk 取什么值时 AB=BAAB = BAAB=BA？

解答 ：

计算 ABABAB：
AB=25−314−53k=2⋅4+5⋅32⋅(−5)+5⋅k−3⋅4+1⋅3−3⋅(−5)+1⋅k=23−10+5k−915+k AB = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ 3 & k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 4 + 5 \cdot 3 & 2 \cdot (-5) + 5 \cdot k \\ -3 \cdot 4 + 1 \cdot 3 & -3 \cdot (-5) + 1 \cdot k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 & -10 + 5k \\ -9 & 15 + k \end{bmatrix} AB=2−35143−5k=2⋅4+5⋅3−3⋅4+1⋅32⋅(−5)+5⋅k−3⋅(−5)+1⋅k=23−9−10+5k15+k

计算 BABABA：
BA=4−53k25−31=4⋅2+(−5)⋅(−3)4⋅5+(−5)⋅13⋅2+k⋅(−3)3⋅5+k⋅1=23156−3k15+k BA = \begin{bmatrix} 4 & -5 \\ 3 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) & 4 \cdot 5 + (-5) \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 + k \cdot (-3) & 3 \cdot 5 + k \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 & 15 \\ 6 - 3k & 15 + k \end{bmatrix} BA=43−5k2−351=4⋅2+(−5)⋅(−3)3⋅2+k⋅(−3)4⋅5+(−5)⋅13⋅5+k⋅1=236−3k1515+k

设 AB=BAAB = BAAB=BA，则对应元素相等：

• −10+5k=15-10 + 5k = 15−10+5k=15 ⇒ 5k=255k = 255k=25 ⇒ k=5k = 5k=5
• −9=6−3k-9 = 6 - 3k−9=6−3k ⇒ −3k=−15-3k = -15−3k=−15 ⇒ k=5k = 5k=5
  两个方程均得 k=5k = 5k=5，故当 k=5k = 5k=5 时 AB=BAAB = BAAB=BA。

结论 ：
k=5k = 5k=5。

---

10. 设 A=2−3−46A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 6 \end{bmatrix}A=2−4−36, B=8455B = \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}B=8545, C=5−231C = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}C=53−21，证明 AB=ACAB = ACAB=AC 但 B≠CB \neq CB=C。

解答 ：

计算 ABABAB：
AB=2−3−468455=2⋅8+(−3)⋅52⋅4+(−3)⋅5−4⋅8+6⋅5−4⋅4+6⋅5=1−7−214 AB = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 5 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 8 + (-3) \cdot 5 & 2 \cdot 4 + (-3) \cdot 5 \\ -4 \cdot 8 + 6 \cdot 5 & -4 \cdot 4 + 6 \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -7 \\ -2 & 14 \end{bmatrix} AB=2−4−368545=2⋅8+(−3)⋅5−4⋅8+6⋅52⋅4+(−3)⋅5−4⋅4+6⋅5=1−2−714

计算 ACACAC：
AC=2−3−465−231=2⋅5+(−3)⋅32⋅(−2)+(−3)⋅1−4⋅5+6⋅3−4⋅(−2)+6⋅1=1−7−214 AC = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 & 2 \cdot (-2) + (-3) \cdot 1 \\ -4 \cdot 5 + 6 \cdot 3 & -4 \cdot (-2) + 6 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -7 \\ -2 & 14 \end{bmatrix} AC=2−4−3653−21=2⋅5+(−3)⋅3−4⋅5+6⋅32⋅(−2)+(−3)⋅1−4⋅(−2)+6⋅1=1−2−714

可见 AB=ACAB = ACAB=AC。

但 B=8455B = \begin{bmatrix} 8 & 4 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}B=8545, C=5−231C = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}C=53−21，显然 B≠CB \neq CB=C。

结论 ：
AB=ACAB = ACAB=AC 但 B≠CB \neq CB=C。

---

11. 设 A=111123145A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}A= 111124135 , D=200030005D = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}D= 200030005 ，计算 ADADAD 和 DADADA，说明当 AAA 右乘或左乘以 DDD 时，AAA 的行或列如何变化。求 3×33 \times 33×3 矩阵 BBB，不是单位矩阵或零矩阵，使 AB=BAAB = BAAB=BA。

解答 ：

计算 ADADAD：
AD=111123145200030005=235261521225 AD = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 15 \\ 2 & 12 & 25 \end{bmatrix} AD= 111124135 200030005 = 222361251525

计算 DADADA：
DA=200030005111123145=22236952025 DA = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 9 \\ 5 & 20 & 25 \end{bmatrix} DA= 200030005 111124135 = 23526202925

• 右乘 DDD ：ADADAD 的每一列是 AAA 对应列乘以 DDD 的对角元（即第一列乘 2，第二列乘 3，第三列乘 5）。
• 左乘 DDD ：DADADA 的每一行是 AAA 对应行乘以 DDD 的对角元（即第一行乘 2，第二行乘 3，第三行乘 5）。

求 BBB 使 AB=BAAB = BAAB=BA：

取 B=4I3=400040004B = 4I_3 = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}B=4I3= 400040004 （非单位矩阵且非零矩阵）。

则 AB=A(4I3)=4AAB = A(4I_3) = 4AAB=A(4I3)=4A，BA=(4I3)A=4ABA = (4I_3)A = 4ABA=(4I3)A=4A，故 AB=BAAB = BAAB=BA。

结论 ：
AD=235261521225AD = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 15 \\ 2 & 12 & 25 \end{bmatrix}AD= 222361251525 , DA=22236952025DA = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 9 \\ 5 & 20 & 25 \end{bmatrix}DA= 23526202925 ；右乘 DDD 缩放列，左乘 DDD 缩放行；B=400040004B = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}B= 400040004 满足 AB=BAAB = BAAB=BA。

---

12. 设 A=3−6−12A = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}A=3−1−62，求 2×22 \times 22×2 矩阵 BBB 使 AB=0AB = 0AB=0，要求 BBB 有两个不同的非零列。

解答 ：

设 B=b11b12b21b22B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}B=b11b21b12b22，则 AB=0AB = 0AB=0 要求 Ab1=0A \mathbf{b}_1 = \mathbf{0}Ab1=0 和 Ab2=0A \mathbf{b}_2 = \mathbf{0}Ab2=0，其中 b1,b2\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2b1,b2 为 BBB 的列。

解 Ax=0A \mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0：
3−6−12x1x2=00  ⟹  3x1−6x2=0  ⟹  x1=2x2 \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies 3x_1 - 6x_2 = 0 \implies x_1 = 2x_2 3−1−62x1x2=00⟹3x1−6x2=0⟹x1=2x2

故解向量为 x=t21\mathbf{x} = t \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}x=t21，t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R。

取 b1=21\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}b1=21，b2=63\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}b2=63（不同非零列，且均为解）。

则 B=2613B = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}B=2163。

验证：
AB=3−6−122613=0000 AB = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} AB=3−1−622163=0000

结论 ：
B=2613B = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}B=2163。

---

13. 设 r1,...,rpr_1, \dots, r_pr1,...,rp 为 Rn\mathbb{R}^nRn 中向量，QQQ 为 m×nm \times nm×n 矩阵，把矩阵 Qr1⋯QrpQ r_1 \\cdots Q r_pQr1⋯Qrp 写成两个矩阵的积（任何一个矩阵都不是单位矩阵）。

解答 ：

设 R=r1r2⋯rpR = \begin{bmatrix} r_1 & r_2 & \cdots & r_p \end{bmatrix}R=r1r2⋯rp，则 RRR 是 n×pn \times pn×p 矩阵。

由矩阵乘法定义：
QR=Qr1⋯rp=Qr1⋯Qrp Q R = Q \begin{bmatrix} r_1 & \cdots & r_p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Q r_1 & \cdots & Q r_p \end{bmatrix} QR=Qr1⋯rp=Qr1⋯Qrp
QQQ 是 m×nm \times nm×n 矩阵，RRR 是 n×pn \times pn×p 矩阵，两者均非单位矩阵（因 m,n,pm,n,pm,n,p 一般不满足单位矩阵条件）。

结论 ：
Qr1⋯Qrp=QRQ r_1 \\cdots Q r_p = Q RQr1⋯Qrp=QR，其中 R=r1⋯rpR = \begin{bmatrix} r_1 & \cdots & r_p \end{bmatrix}R=r1⋯rp。

---

15. a. 若 A,BA,BA,B 为 2×22 \times 22×2 矩阵，它们的列分别为 a1,a2a_1, a_2a1,a2 和 b1,b2b_1, b_2b1,b2，则 AB=a1b1 a2b2AB = a_1 b_1 \\ a_2 b_2AB=a1b1 a2b2。
    b. ABABAB 的每一列是 BBB 的列的线性组合，并以 AAA 的对应列作为权重。
    c. AB+AC=A(B+C)AB + AC = A(B + C)AB+AC=A(B+C)。
    d. AT+BT=(A+B)TA^T + B^T = (A + B)^TAT+BT=(A+B)T。
    e. 矩阵的乘积的转置等于相同顺序它们的转置的乘积。

解答 ：

a. 假命题 ：
ABABAB 的列是 AAA 的列的线性组合，权重由 BBB 的列提供。例如，ABABAB 的第一列为 b11a1+b21a2b_{11}a_1 + b_{21}a_2b11a1+b21a2，而非 a1b1a_1 b_1a1b1（a1,b1a_1, b_1a1,b1 为列向量，无法直接相乘）。

b. 假命题 ：
ABABAB 的每一列是 AAA 的列的线性组合，权重由 BBB 的对应列提供。题目中将 AAA 与 BBB 的角色颠倒，应表述为"ABABAB 的每一列是 AAA 的列的线性组合"。

c. 真命题 ：

由矩阵乘法对加法的分配律 ：
A(B+C)=AB+AC A(B + C) = AB + AC A(B+C)=AB+AC

该等式恒成立。

d. 真命题 ：

转置运算满足线性性：
(A+B)T=AT+BT (A + B)^T = A^T + B^T (A+B)T=AT+BT

逐元素验证即可确认。

e. 假命题 ：
矩阵乘积的转置需反转顺序 ：
(AB)T=BTAT (AB)^T = B^T A^T (AB)T=BTAT

题目中"相同顺序"表述错误，应为"逆序"。

结论 ：

a. 假；b. 假；c. 真；d. 真；e. 假。

---

16. a. 若 AAA 与 BBB 为 3×33 \times 33×3 矩阵，B=b1 b2 b3B = b_1 \\ b_2 \\ b_3B=b1 b2 b3，则 AB=Ab1+Ab2+Ab3AB = Ab_1 + Ab_2 + Ab_3AB=Ab1+Ab2+Ab3。
    b. ABABAB 的第 2 行是 AAA 的第 2 行被 BBB 右乘。
    c. (AB)C=A(CB)(AB)C = A(CB)(AB)C=A(CB)。
    d. (AB)T=ATBT(AB)^T = A^T B^T(AB)T=ATBT。
    e. 矩阵和等于它们的转置的和。

解答 ：

a. 假命题 ：
ABABAB 的列应为 Ab1 Ab2 Ab3Ab_1 \\ Ab_2 \\ Ab_3Ab1 Ab2 Ab3，而非列的和。矩阵乘法中 BBB 的每一列独立作用于 AAA。

b. 真命题 ：

设 AAA 的第 2 行为 a2T\mathbf{a}_2^Ta2T，则 ABABAB 的第 2 行为 a2TB\mathbf{a}_2^T Ba2TB，即 AAA 的第 2 行右乘 BBB。

c. 假命题 ：

不能调换BCBCBC的相对位置

d. 假命题 ：

转置性质为 (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T(AB)T=BTAT，而非 ATBTA^T B^TATBT。顺序必须反转。

e. 真命题 ：

转置运算满足线性性：
(A+B)T=AT+BT (A + B)^T = A^T + B^T (A+B)T=AT+BT

与第 15 题 (d) 一致。

结论 ：

a. 假；b. 真；c. 假；d. 假；e. 真。

---

17. 若 A=1−2−25A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}A=1−2−25 和 AB=−12−16−93AB = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 6 & -9 & 3 \end{bmatrix}AB=−162−9−13，确定 BBB 的第一列与第二列。

解答 ：

设 B=b1 b2 b3B = b_1 \\ b_2 \\ b_3B=b1 b2 b3，其中 b1,b2b_1, b_2b1,b2 为 BBB 的第一列和第二列。根据矩阵乘法性质，ABABAB 的每一列是 AAA 与 BBB 对应列的乘积，即：
AB=Ab1 Ab2 Ab3 AB = Ab_1 \\ Ab_2 \\ Ab_3 AB=Ab1 Ab2 Ab3

因此，Ab1=−16Ab_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \end{bmatrix}Ab1=−16，Ab2=2−9Ab_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -9 \end{bmatrix}Ab2=2−9。

---

步骤 1：求解 b1b_1b1

解方程 Ab1=−16A b_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \end{bmatrix}Ab1=−16，构造增广矩阵：

1−2−1−256\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& -2 \& -1 \\\\ -2 \& 5 \& 6 \\end{array}\\right\] \[1−2−25−16

行变换过程：

1. R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1R2←R2+2R1：

   1−2−1014\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& -2 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& 4 \\end{array}\\right\] \[10−21−14

2. R1←R1+2R2R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2R1←R1+2R2：

   107014\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& 0 \& 7 \\\\ 0 \& 1 \& 4 \\end{array}\\right\] \[100174

   解得 b1=74b_1 = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \end{bmatrix}b1=74。

---

步骤 2：求解 b2b_2b2

解方程 Ab2=2−9A b_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -9 \end{bmatrix}Ab2=2−9，构造增广矩阵：

1−22−25−9\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& -2 \& 2 \\\\ -2 \& 5 \& -9 \\end{array}\\right\] \[1−2−252−9

行变换过程：

1. R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1R2←R2+2R1：

   1−2201−5\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& -2 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& -5 \\end{array}\\right\] \[10−212−5

2. R1←R1+2R2R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2R1←R1+2R2：

   10−801−5\] \\left\[\\begin{array}{cc\|c} 1 \& 0 \& -8 \\\\ 0 \& 1 \& -5 \\end{array}\\right\] \[1001−8−5

   解得 b2=−8−5b_2 = \begin{bmatrix} -8 \\ -5 \end{bmatrix}b2=−8−5。

结论 ：
BBB 的第一列为 74\begin{bmatrix} 7 \\ 4 \end{bmatrix}74，第二列为 −8−5\begin{bmatrix} -8 \\ -5 \end{bmatrix}−8−5。

---

18. 设 BBB 的前两列 b1b_1b1 和 b2b_2b2 相等，那么 ABABAB 的各列如何？（假设 ABABAB 有定义。）为什么？

解答：

1. 列关系 ：
   ABABAB 的第 1 列为 Ab1Ab_1Ab1，第 2 列为 Ab2Ab_2Ab2。

   由 b1=b2b_1 = b_2b1=b2，得 Ab1=Ab2Ab_1 = Ab_2Ab1=Ab2，故 ABABAB 的前两列相等。

2. 推广 ：

   若 BBB 的第 iii 列与第 jjj 列相等，则 ABABAB 的第 iii 列与第 jjj 列也相等。

   这是因矩阵乘法保持列的线性关系：Abi=Abj  ⟺  bi=bjAb_i = Ab_j \iff b_i = b_jAbi=Abj⟺bi=bj。

结论 ：
ABABAB 的前两列相等，其余列保持原对应关系。

---

19. 设 BBB 的第 3 列是前 2 列的和，那么 ABABAB 的第 3 列如何？为什么？

解答：

1. 列关系 ：

   设 b3=b1+b2b_3 = b_1 + b_2b3=b1+b2，则 ABABAB 的第 3 列为：
   Ab3=A(b1+b2)=Ab1+Ab2 Ab_3 = A(b_1 + b_2) = Ab_1 + Ab_2 Ab3=A(b1+b2)=Ab1+Ab2

   即 ABABAB 的第 3 列是其前两列的和。

2. 一般性 ：

   矩阵乘法保持线性组合关系：若 bk=∑i=1ncibib_k = \sum_{i=1}^n c_i b_ibk=∑i=1ncibi，则 Abk=∑i=1nciAbiAb_k = \sum_{i=1}^n c_i Ab_iAbk=∑i=1nciAbi。

结论 ：
ABABAB 的第 3 列是其前两列的和。

---

20. 设 BBB 的第 2 列全是零，那么 ABABAB 的第 2 列如何？

解答：

1. 零列性质 ：
   BBB 的第 2 列为 0\mathbf{0}0，则 ABABAB 的第 2 列为：
   A⋅0=0 A \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} A⋅0=0

   因矩阵乘零向量结果为零向量。

2. 直观解释 ：

   矩阵乘法中，零列对结果无贡献，故 ABABAB 的对应列全为零。

结论 ：
ABABAB 的第 2 列全为零。