线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章 矩阵代数 2.1 矩阵运算(2)

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21. 设 ABABAB 的最后一列全为零，但 BBB 本身没有零列，那么 AAA 的各列如何？为什么？

解答：

1. 列关系 ：

   设 BBB 的最后一列为 bpb_pbp，则 Abp=0Ab_p = \mathbf{0}Abp=0。

   由 bp≠0b_p \neq \mathbf{0}bp=0，说明 AAA 的列向量线性相关（存在非零组合使结果为零）。

2. 线性相关性 ：
   Abp=0Ab_p = 0Abp=0 表明 bpb_pbp 是 AAA 的零空间中的非零向量，故 AAA 的列秩小于列数，即列线性相关。

结论 ：
AAA 的各列线性相关。

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22. 若 BBB 的各列线性相关，证明 ABABAB 的各列也线性相关。

解答：

1. 线性相关定义 ：
   BBB 的列线性相关   ⟹  \implies⟹ 存在非零向量 x\mathbf{x}x 使 Bx=0B\mathbf{x} = \mathbf{0}Bx=0。

2. 传递性 ：
   ABx=A(Bx)=A0=0AB\mathbf{x} = A(B\mathbf{x}) = A\mathbf{0} = \mathbf{0}ABx=A(Bx)=A0=0，且 x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0}x=0，故 ABABAB 的列线性相关。

结论 ：
ABABAB 的各列线性相关。

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23. 设 CA=InCA = I_nCA=In（n×nn \times nn×n 单位矩阵），证明方程 Ax=0Ax = 0Ax=0 只有平凡解。

解答：

1. 假设解 ：

   设 x\mathbf{x}x 满足 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0，则：
   C(Ax)=C0  ⟹  (CA)x=0  ⟹  Inx=0  ⟹  x=0 C(A\mathbf{x}) = C\mathbf{0} \implies (CA)\mathbf{x} = \mathbf{0} \implies I_n \mathbf{x} = \mathbf{0} \implies \mathbf{x} = \mathbf{0} C(Ax)=C0⟹(CA)x=0⟹Inx=0⟹x=0

2. 唯一性 ：

   任何解必为零向量，故 Ax=0Ax = 0Ax=0 仅有平凡解。

结论 ：

方程 Ax=0Ax = 0Ax=0 只有平凡解。

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24. 设 AD=ImAD = I_mAD=Im（m×mm \times mm×m 单位矩阵），证明：对任意向量 b\mathbf{b}b，方程 Ax=bAx = \mathbf{b}Ax=b 有解。

解答：

1. 构造解 ：

   令 x=Db\mathbf{x} = D\mathbf{b}x=Db，则：
   Ax=A(Db)=(AD)b=Imb=b A\mathbf{x} = A(D\mathbf{b}) = (AD)\mathbf{b} = I_m \mathbf{b} = \mathbf{b} Ax=A(Db)=(AD)b=Imb=b

2. 存在性 ：

   对任意 b\mathbf{b}b，x=Db\mathbf{x} = D\mathbf{b}x=Db 满足方程，故解存在。

结论 ：

方程 Ax=bAx = \mathbf{b}Ax=b 对任意向量 b\mathbf{b}b 有解。

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25. 设 AAA 是 m×nm \times nm×n 矩阵，存在 n×mn \times mn×m 矩阵 CCC 和 DDD，使 CA=InCA = I_nCA=In 和 AD=ImAD = I_mAD=Im。证明：m=nm = nm=n 且 C=DC = DC=D。

解答：

1. 维度关系：

   • 由 CA=InCA = I_nCA=In，得 rank(A)≥n\text{rank}(A) \geq nrank(A)≥n（因 InI_nIn 满秩），而 AAA 为 m×nm \times nm×n，故 m≥nm \geq nm≥n。
   • 由 AD=ImAD = I_mAD=Im，得 rank(A)≥m\text{rank}(A) \geq mrank(A)≥m，而 AAA 为 m×nm \times nm×n，故 n≥mn \geq mn≥m。
   • 综上，m=nm = nm=n。

2. 唯一性证明 ：
   C=CIm=C(AD)=(CA)D=InD=D C = C I_m = C(AD) = (CA)D = I_n D = D C=CIm=C(AD)=(CA)D=InD=D

   故 C=DC = DC=D。

结论 ：
m=nm = nm=n 且 C=DC = DC=D。

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26. 设 AAA 是 3×n3 \times n3×n 矩阵，其列生成 R3\mathbb{R}^3R3，解释如何构造一个 n×3n \times 3n×3 矩阵 DDD，使得 AD=I3AD = I_3AD=I3。

解答：

1. 将单位矩阵 I3I_3I3 表示为列向量形式：I3=[e1 e2 e3]I_3 = [e_1 \ e_2 \ e_3]I3=[e1 e2 e3]，其中 e1=[100]e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}e1= 100 , e2=[010]e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}e2= 010 , e3=[001]e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}e3= 001 为 R3\mathbb{R}^3R3 的标准基向量。

2. 设 D=[d1 d2 d3]D = [d_1 \ d_2 \ d_3]D=[d1 d2 d3]，其中 d1,d2,d3d_1, d_2, d_3d1,d2,d3 为 n×1n \times 1n×1 矩阵（即 Rn\mathbb{R}^nRn 中的向量）。

3. 根据矩阵乘法的定义，AD=A[d1 d2 d3]=[Ad1 Ad2 Ad3]AD = A [d_1 \ d_2 \ d_3] = [A d_1 \ A d_2 \ A d_3]AD=A[d1 d2 d3]=[Ad1 Ad2 Ad3]。

4. 要求 AD=I3AD = I_3AD=I3，即 [Ad1 Ad2 Ad3]=[e1 e2 e3][A d_1 \ A d_2 \ A d_3] = [e_1 \ e_2 \ e_3][Ad1 Ad2 Ad3]=[e1 e2 e3]，这等价于以下三个方程：
   Ad1=e1,Ad2=e2,Ad3=e3 A d_1 = e_1, \quad A d_2 = e_2, \quad A d_3 = e_3 Ad1=e1,Ad2=e2,Ad3=e3

5. 由于 AAA 的列生成 R3\mathbb{R}^3R3（即 Col(A)=R3\text{Col}(A) = \mathbb{R}^3Col(A)=R3），方程组 Ax=bA x = bAx=b 对任意 b∈R3b \in \mathbb{R}^3b∈R3 都有解。

6. 因此，每个方程 Ad1=e1A d_1 = e_1Ad1=e1、Ad2=e2A d_2 = e_2Ad2=e2 和 Ad3=e3A d_3 = e_3Ad3=e3 均至少存在一个解。

7. 为每个方程选择一个特解：

   • 取 d1d_1d1 为 Ad1=e1A d_1 = e_1Ad1=e1 的一个解，
   • 取 d2d_2d2 为 Ad2=e2A d_2 = e_2Ad2=e2 的一个解，
   • 取 d3d_3d3 为 Ad3=e3A d_3 = e_3Ad3=e3 的一个解。

8. 以 d1,d2,d3d_1, d_2, d_3d1,d2,d3 为列构造 D=[d1 d2 d3]D = [d_1 \ d_2 \ d_3]D=[d1 d2 d3]，则 AD=I3AD = I_3AD=I3 成立。

结论 ：

构造 DDD 的方法为：对每个标准基向量 eie_iei (i=1,2,3i=1,2,3i=1,2,3)，求解 Adi=eiA d_i = e_iAdi=ei 得到解 did_idi，并将 d1,d2,d3d_1, d_2, d_3d1,d2,d3 依次作为 DDD 的第一列、第二列和第三列。

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27. 设 u=[−23−4]u = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix}u= −23−4 , v=[abc]v = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}v= abc ，计算 uTvu^T vuTv, vTuv^T uvTu, uvTuv^TuvT 和 vuTvu^TvuT。

解答：

1. 计算 uTvu^T vuTv：
   uTv=[−23−4][abc]=−2a+3b−4c u^T v = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = -2a + 3b - 4c uTv=[−23−4] abc =−2a+3b−4c
   uTvu^T vuTv 是 1×11 \times 11×1 矩阵，通常简化为实数 −2a+3b−4c-2a + 3b - 4c−2a+3b−4c。

2. 计算 vTuv^T uvTu：
   vTu=[abc][−23−4]=−2a+3b−4c v^T u = \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix} = -2a + 3b - 4c vTu=[abc] −23−4 =−2a+3b−4c
   vTuv^T uvTu 也是 1×11 \times 11×1 矩阵，结果与 uTvu^T vuTv 相同。

3. 计算 uvTuv^TuvT：
   uvT=[−23−4][abc]=[−2a−2b−2c3a3b3c−4a−4b−4c] uv^T = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2a & -2b & -2c \\ 3a & 3b & 3c \\ -4a & -4b & -4c \end{bmatrix} uvT= −23−4 [abc]= −2a3a−4a−2b3b−4b−2c3c−4c
   uvTuv^TuvT 是 3×33 \times 33×3 矩阵。

4. 计算 vuTvu^TvuT：
   vuT=[abc][−23−4]=[−2a3a−4a−2b3b−4b−2c3c−4c] vu^T = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2a & 3a & -4a \\ -2b & 3b & -4b \\ -2c & 3c & -4c \end{bmatrix} vuT= abc [−23−4]= −2a−2b−2c3a3b3c−4a−4b−4c
   vuTvu^TvuT 是 3×33 \times 33×3 矩阵。

结论 ：
uTv=vTu=−2a+3b−4cu^T v = v^T u = -2a + 3b - 4cuTv=vTu=−2a+3b−4c，
uvT=[−2a−2b−2c3a3b3c−4a−4b−4c]uv^T = \begin{bmatrix} -2a & -2b & -2c \\ 3a & 3b & 3c \\ -4a & -4b & -4c \end{bmatrix}uvT= −2a3a−4a−2b3b−4b−2c3c−4c ，
vuT=[−2a3a−4a−2b3b−4b−2c3c−4c]vu^T = \begin{bmatrix} -2a & 3a & -4a \\ -2b & 3b & -4b \\ -2c & 3c & -4c \end{bmatrix}vuT= −2a−2b−2c3a3b3c−4a−4b−4c 。

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28. 若 uuu 和 vvv 属于 Rn\mathbb{R}^nRn，uTvu^T vuTv 和 vTuv^T uvTu 有什么关系？uvTuv^TuvT 和 vuTvu^TvuT 有什么关系？

解答：

1. uTvu^T vuTv 与 vTuv^T uvTu 的关系：

   • uTvu^T vuTv 和 vTuv^T uvTu 均为 1×11 \times 11×1 矩阵（标量）。

   • 由转置性质：
     uTv=(uTv)T=vT(uT)T=vTu u^T v = (u^T v)^T = v^T (u^T)^T = v^T u uTv=(uTv)T=vT(uT)T=vTu

   • 因此，uTv=vTuu^T v = v^T uuTv=vTu。

2. uvTuv^TuvT 与 vuTvu^TvuT 的关系：

   • uvTuv^TuvT 和 vuTvu^TvuT 均为 n×nn \times nn×n 矩阵。

   • 由转置性质：
     (uvT)T=(vT)TuT=vuT (uv^T)^T = (v^T)^T u^T = vu^T (uvT)T=(vT)TuT=vuT

   • 因此，uvTuv^TuvT 与 vuTvu^TvuT 互为转置。

结论 ：
uTv=vTuu^T v = v^T uuTv=vTu，且 (uvT)T=vuT(uv^T)^T = vu^T(uvT)T=vuT。

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29. 证明 A(B+C)A(B+C)A(B+C) 和 (B+C)A(B+C)A(B+C)A 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素可写成 ai1(b1j+c1j)+⋯+ain(bnj+cnj)a_{i1}(b_{1j}+c_{1j}) + \cdots + a_{in}(b_{nj}+c_{nj})ai1(b1j+c1j)+⋯+ain(bnj+cnj) 或 ∑k=1naik(bkj+ckj)\sum_{k=1}^{n} a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})∑k=1naik(bkj+ckj)。

解答：

1. 分析 A(B+C)A(B+C)A(B+C) 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素：

   • B+CB+CB+C 的 (k,j)(k,j)(k,j) 元素为 bkj+ckjb_{kj} + c_{kj}bkj+ckj。

   • A(B+C)A(B+C)A(B+C) 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素为：
     ∑k=1naik(bkj+ckj)=∑k=1naikbkj+∑k=1naikckj \sum_{k=1}^{n} a_{ik}(b_{kj} + c_{kj}) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} + \sum_{k=1}^{n} a_{ik}c_{kj} k=1∑naik(bkj+ckj)=k=1∑naikbkj+k=1∑naikckj

   • 这恰好是 ABABAB 和 ACACAC 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素之和，即 AB+ACAB + ACAB+AC 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素。

2. 分析 (B+C)A(B+C)A(B+C)A 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素：

   • B+CB+CB+C 的 (i,k)(i,k)(i,k) 元素为 bik+cikb_{ik} + c_{ik}bik+cik。

   • (B+C)A(B+C)A(B+C)A 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素为：
     ∑k=1n(bik+cik)akj=∑k=1nbikakj+∑k=1ncikakj \sum_{k=1}^{n} (b_{ik} + c_{ik})a_{kj} = \sum_{k=1}^{n} b_{ik}a_{kj} + \sum_{k=1}^{n} c_{ik}a_{kj} k=1∑n(bik+cik)akj=k=1∑nbikakj+k=1∑ncikakj

   • 这恰好是 BABABA 和 CACACA 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素之和，即 BA+CABA + CABA+CA 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素。

结论 ：
A(B+C)A(B+C)A(B+C) 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素等于 AB+ACAB + ACAB+AC 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素，(B+C)A(B+C)A(B+C)A 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素等于 BA+CABA + CABA+CA 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素。

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30. 证明定理 2 (d)，即 r(AB)r(AB)r(AB), (rA)B(rA)B(rA)B 和 A(rB)A(rB)A(rB) 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素相等。

解答：

1. 分析 r(AB)r(AB)r(AB) 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素：

   • ABABAB 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素为 ∑k=1naikbkj\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}∑k=1naikbkj。
   • r(AB)r(AB)r(AB) 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素为 r∑k=1naikbkjr \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}r∑k=1naikbkj。

2. 分析 (rA)B(rA)B(rA)B 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素：

   • rArArA 的 (i,k)(i,k)(i,k) 元素为 raikra_{ik}raik。
   • (rA)B(rA)B(rA)B 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素为 ∑k=1n(raik)bkj=r∑k=1naikbkj\sum_{k=1}^{n} (ra_{ik})b_{kj} = r \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}∑k=1n(raik)bkj=r∑k=1naikbkj。

3. 分析 A(rB)A(rB)A(rB) 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素：

   • rBrBrB 的 (k,j)(k,j)(k,j) 元素为 rbkjrb_{kj}rbkj。
   • A(rB)A(rB)A(rB) 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素为 ∑k=1naik(rbkj)=r∑k=1naikbkj\sum_{k=1}^{n} a_{ik}(rb_{kj}) = r \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}∑k=1naik(rbkj)=r∑k=1naikbkj。

4. 比较结果：

   • 三者的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素均为 r∑k=1naikbkjr \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}r∑k=1naikbkj，因此相等。

结论 ：
r(AB)r(AB)r(AB), (rA)B(rA)B(rA)B 和 A(rB)A(rB)A(rB) 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素相等。

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31. 证明 ImA=AI_m A = AImA=A，其中 AAA 为 m×nm \times nm×n 矩阵。

解答：

1. 矩阵表示：

   • 设 Im=[e1 e2 ⋯ em]I_m = [e_1 \ e_2 \ \cdots \ e_m]Im=[e1 e2 ⋯ em]，其中 eie_iei 是 Rm\mathbb{R}^mRm 的标准基向量。
   • 设 A=[a1 a2 ⋯ an]A = [a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n]A=[a1 a2 ⋯ an]，其中 aja_jaj 是 AAA 的第 jjj 列。

2. 矩阵乘法：

   • ImA=Im[a1 a2 ⋯ an]=[Ima1 Ima2 ⋯ Iman]I_m A = I_m [a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n] = [I_m a_1 \ I_m a_2 \ \cdots \ I_m a_n]ImA=Im[a1 a2 ⋯ an]=[Ima1 Ima2 ⋯ Iman]。
   • 由于 Imx=xI_m x = xImx=x 对任意 x∈Rmx \in \mathbb{R}^mx∈Rm 成立，故 Imaj=ajI_m a_j = a_jImaj=aj。

3. 结果验证：

   • Ima1 Ima2 ⋯ Iman\]=\[a1 a2 ⋯ an\]=A\[I_m a_1 \\ I_m a_2 \\ \\cdots \\ I_m a_n\] = \[a_1 \\ a_2 \\ \\cdots \\ a_n\] = A\[Ima1 Ima2 ⋯ Iman\]=\[a1 a2 ⋯ an\]=A。

ImA=AI_m A = AImA=A。

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32. 证明 AIn=AAI_n = AAIn=A，其中 AAA 为 m×nm \times nm×n 矩阵。

解答：

1. 矩阵表示：

   • 设 In=[e1 e2 ⋯ en]I_n = [e_1 \ e_2 \ \cdots \ e_n]In=[e1 e2 ⋯ en]，其中 eje_jej 是 Rn\mathbb{R}^nRn 的标准基向量。
   • 设 A=[a1 a2 ⋯ an]A = [a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n]A=[a1 a2 ⋯ an]，其中 aja_jaj 是 AAA 的第 jjj 列。

2. 矩阵乘法：

   • AIn=A[e1 e2 ⋯ en]=[Ae1 Ae2 ⋯ Aen]AI_n = A [e_1 \ e_2 \ \cdots \ e_n] = [A e_1 \ A e_2 \ \cdots \ A e_n]AIn=A[e1 e2 ⋯ en]=[Ae1 Ae2 ⋯ Aen]。
   • AejA e_jAej 是 AAA 的第 jjj 列，因为 eje_jej 只有第 jjj 位为 1，其余为 0。

3. 结果验证：

   • Ae1 Ae2 ⋯ Aen\]=\[a1 a2 ⋯ an\]=A\[A e_1 \\ A e_2 \\ \\cdots \\ A e_n\] = \[a_1 \\ a_2 \\ \\cdots \\ a_n\] = A\[Ae1 Ae2 ⋯ Aen\]=\[a1 a2 ⋯ an\]=A。

AIn=AAI_n = AAIn=A。

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33. 证明定理 3(d) 的公式。

解答：

1. 转置定义：

   • (AB)T(AB)^T(AB)T 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素是 ABABAB 的 (j,i)(j,i)(j,i) 元素。
   • ABABAB 的 (j,i)(j,i)(j,i) 元素为 ∑k=1najkbki\sum_{k=1}^{n} a_{jk}b_{ki}∑k=1najkbki。

2. 分析 BTATB^T A^TBTAT：

   • BTB^TBT 的 (i,k)(i,k)(i,k) 元素是 BBB 的 (k,i)(k,i)(k,i) 元素，即 bkib_{ki}bki。
   • ATA^TAT 的 (k,j)(k,j)(k,j) 元素是 AAA 的 (j,k)(j,k)(j,k) 元素，即 ajka_{jk}ajk。
   • BTATB^T A^TBTAT 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素为 ∑k=1nbkiajk=∑k=1najkbki\sum_{k=1}^{n} b_{ki}a_{jk} = \sum_{k=1}^{n} a_{jk}b_{ki}∑k=1nbkiajk=∑k=1najkbki。

3. 比较结果：

   • (AB)T(AB)^T(AB)T 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素等于 BTATB^T A^TBTAT 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素。
   • 因此，(AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T(AB)T=BTAT。

结论 ：
(AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T(AB)T=BTAT。

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34. 给出 (ABx)T(ABx)^T(ABx)T 的公式，其中 xxx 是向量，AAA 和 BBB 是适当维数的矩阵。

解答：

1. 应用定理 3(d)：

   • (ABx)T=xT(AB)T(ABx)^T = x^T (AB)^T(ABx)T=xT(AB)T（将 ABxABxABx 视为 ABABAB 与 xxx 的乘积）。

2. 进一步展开：

   • 由定理 3(d)，(AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T(AB)T=BTAT。
   • 因此，xT(AB)T=xTBTATx^T (AB)^T = x^T B^T A^TxT(AB)T=xTBTAT。

3. 验证维度：

   • 若 AAA 是 m×nm \times nm×n 矩阵，BBB 是 n×pn \times pn×p 矩阵，xxx 是 p×1p \times 1p×1 向量，则：
     • ABxABxABx 是 m×1m \times 1m×1 向量，其转置为 1×m1 \times m1×m 矩阵。
     • xTBTATx^T B^T A^TxTBTAT 是 1×p1 \times p1×p 乘 p×np \times np×n 乘 n×mn \times mn×m，结果为 1×m1 \times m1×m 矩阵，维度匹配。

结论 ：
(ABx)T=xTBTAT(ABx)^T = x^T B^T A^T(ABx)T=xTBTAT。