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题目大意
给定一个正整数 n n n，求 mex ( { i ⊕ j ∣ i ∈ [ 1 , n ] , j ∈ [ 1 , n ] } ) \text{mex}(\lbrace i \oplus j \mid i \in [1, n], \ j \in [1, n] \rbrace) mex({i⊕j∣i∈[1,n], j∈[1,n]})。
其中 mex \text{mex} mex 表示集合中未出现的最小非负整数。
数据范围
- 1 ≤ n ≤ 1 0 18 . 1 \leq n \leq 10^{18}. 1≤n≤1018.
Solution
要能异或出 1 1 1，最小的两个数都必须是 2 ⊕ 3 2 \oplus 3 2⊕3，所以 n ≤ 2 n \leq 2 n≤2 的 mex \text{mex} mex 都是 1 1 1.
下面讨论 n > 2 n > 2 n>2 的情况， 1 1 1 肯定能被表示出来。
取 m m m 满足 2 m − 1 < n ≤ 2 m 2^{m - 1} < n \leq 2^m 2m−1<n≤2m，用归纳法。初始时只有 [ 1 , 2 ) [1, 2) [1,2) 能被表示。
取 k = 1 k = 1 k=1，
- 现在 [ 1 , 2 ) [1, 2) [1,2) 以内的数都可以被表示，
- 将这些数都 ⊕ 2 \oplus 2 ⊕2, 会得到 [ 2 + 1 , 2 2 ) [2 + 1, 2^2) [2+1,22)，
- 再通过 ( 2 + 1 ) ⊕ 1 (2 + 1) \oplus 1 (2+1)⊕1 得到 2 2 2，这样就扩展到 [ 1 , 2 2 ) [1, 2^2) [1,22).
[ suppose \text{suppose} suppose: 下面的 i < m i < m i<m]
设 k = i − 1 k = i - 1 k=i−1 时能扩展到 [ 1 , 2 i ) [1, 2^i) [1,2i)。
那么 k = i k = i k=i 时，
- 现在 [ 1 , 2 i ) [1, 2^i) [1,2i) 以内的数都可以被表示,
- 将这些数都 ⊕ 2 i \oplus 2^i ⊕2i, 会得到 [ 2 i + 1 , 2 i + 1 ) [2^i + 1, 2^{i + 1}) [2i+1,2i+1),
- 再通过 ( 2 i + 1 ) ⊕ 1 (2^i + 1) \oplus 1 (2i+1)⊕1 得到 2 i 2^i 2i，这样就扩展到 [ 1 , 2 i + 1 ) [1, 2^{i + 1}) [1,2i+1).
所以我们得到， k = m − 1 k = m - 1 k=m−1 时，可以扩展到 [ 1 , 2 m ) [1, 2^m) [1,2m)。
如果再取 k = m k = m k=m，分类讨论：
- n < 2 m n < 2^m n<2m, 我们无法进行第二步: 【将这些数都 ⊕ 2 m \oplus 2^m ⊕2m】,
- n = 2 m n = 2^m n=2m，我们可以进行第二步，得到 [ 2 m + 1 , 2 m + 1 ) [2^m + 1, 2^{m + 1}) [2m+1,2m+1),
- 但是无法进行第三步: 【再通过 ( 2 m + 1 ) ⊕ 1 (2^m + 1) \oplus 1 (2m+1)⊕1 得到 2 m 2^m 2m】.
综上，取 m m m 满足 2 m − 1 < n ≤ 2 m 2^{m - 1} < n \leq 2^m 2m−1<n≤2m, mex = 2 m \text{mex} = 2^m mex=2m。
时间复杂度 O ( log n ) O(\log n) O(logn)
Code
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using i64 = long long;
void solve() {
i64 n;
std::cin >> n;
if (n <= 2) {
std::cout << 1 << "\n";
} else {
int k = std::__lg(2 * n - 1);
std::cout << (1LL << k) << "\n";
}
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(nullptr);
int T;
std::cin >> T;
while (T--) {
solve();
}
return 0;
}