【算法通关指南：算法基础篇（四）】二维差分专题：1.【模板】差分 2.地毯

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文章目录

• 前言
• 一、二维差分
• 二、二维差分经典算法题
• • 2.1【模板】差分
  • • 2.1.1题目
    • [2.1.2 算法原理](#2.1.2 算法原理)
    • 2.2.3代码
  • [2.2 地毯](#2.2 地毯)
  • • 2.2.1题目
    • [2.2.2 算法原理](#2.2.2 算法原理)
    • 2.2.3代码
• 总结与每日励志

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前言

本专栏聚焦算法题实战，系统讲解算法模块：以《c++编程》，《数据结构和算法》《基础算法》《算法实战》 等几个板块以题带点，讲解思路与代码实现，帮助大家快速提升代码能力
ps:本章节题目分两部分，比较基础笔者只附上代码供大家参考，其他的笔者会附上自己的思考和讲解，希望和大家一起努力见证自己的算法成长

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一、二维差分

可以类比「⼀维差分数组」的性质，推导出「⼆维差分矩阵」的性质：

• 在差分数组中某个位置标记：表示后续元素统⼀被修改；

• 在差分数组中求前缀和：能够还原出原始数组。

假设我们需要将原始矩阵a中，以（x1,y1）为左上角,(x2,y2)为右下角的子矩阵的每个元素都加上k

结论 ：

由此可得差分矩阵的性质：
fx1 y1 + = k
fx1 y2 + 1− = k
fx2 + 1y1 − = k
fx2 + 1y2 + 1+ = k

二、二维差分经典算法题

2.1【模板】差分

2.1.1题目

链接：【模板】差分

2.1.2 算法原理

依照刚才讲解二维差分原理模拟即可

2.2.3代码

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1100;
LL f[N][N];

void cacl(LL x1, LL y1, LL x2, LL y2,LL k)
{
	f[x1][y1] += k;
	f[x1][y2 + 1] -= k;
	f[x2 + 1][y1] -= k;
	f[x2 + 1][y2 + 1] += k;
}

int main()
{
	int n, m, q;
	cin >> n >> m >> q;

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			LL x;
			cin >> x;
			// [i, j]为左上⻆，[i, j]为右下⻆的矩阵，统⼀加上 x 
			cacl(i, j, i, j, x);
		}
	}

	while (q--)
	{
		LL x1, y1, x2, y2,k;
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> k;

		cacl(x1, y1,x2, y2, k);
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1];
	}


	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
			cout << f[i][j] << " ";
		cout << endl;
	}

	return 0;
}

2.2 地毯

2.2.1题目

链接：地毯

2.2.2 算法原理

直接利⽤二维差分矩阵模拟即可

2.2.3代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N];  // 差分矩阵 

void cacl(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
	a[x1][y1]++;
	a[x1][y2 + 1]--;
	a[x2 + 1][y1]--;
	a[x2 + 1][y2 + 1]++;
}

int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;

	while (m--)
	{
		int x1, y1, x2, y2;
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;

		cacl(x1, y1, x2, y2);
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			cout << a[i][j] << " ";
		cout << endl;
	}
	return 0;
}

总结与每日励志

✨ 本文介绍了二维差分算法的原理和应用。二维差分通过在特定位置标记增量，可以高效处理子矩阵元素的批量修改。文章通过两道经典算法题（模板差分和地毯问题）展示了二维差分的实现方法，提供了完整的代码示例。核心思想是利用差分矩阵的性质，通过前缀和还原原始数组。算法简洁高效，适用于大规模矩阵操作。作者鼓励读者坚持学习，相信付出终有回报。