LeetCode 74. Search a 2D Matrix
题目给了一个 m×n 的整数矩阵 matrix，满足两个条件：
- 每一行从左到右非递减排序。
- 下一行的第一个元素严格大于上一行的最后一个元素。
再给一个整数 target，要求判断 target 是否存在于矩阵中，存在返回 true，否则返回 false，并且时间复杂度要达到 O(log(m×n))。
从这两个性质可以看出，如果把整个矩阵按行顺序读成一维数组，这个"虚拟的一维数组"是有序的，非常适合用二分查找。
初始思路：先确定行，再二分列
一个很自然的想法是分两步来做：
第一层二分：在行上二分查找
维护两个指针 top 和 bottom 指向行号范围 [0, m-1]。
取中间行 mid_row = (top + bottom) / 2。
用这一行的第一个元素 matrix[mid_row][0] 和最后一个元素 matrix[mid_row][n-1] 来判断 target 可能在什么位置：
- 如果 target < matrix[mid_row][0]，目标只能在更上面的行，缩小到上半区。
- 如果 target > matrix[mid_row][n-1]，目标只能在更下面的行，缩小到下半区。
- 如果 matrix[mid_row][0] <= target <= matrix[mid_row][n-1]，说明目标只可能在 mid_row 这一行里。
注意：列数是 n == matrix[i].length，最后一列的下标是 n - 1，C 里 matrixColSize[0] 代表列数，最后一列下标是 matrixColSize[0] - 1。
第二层二分：在这一行中二分查找
在列区间 [0, n-1] 上再做一次普通二分查找：
- 如果 matrix[mid_row][mid_col] == target，返回 true。
- 如果当前值大于 target，移动右边界；小于则移动左边界。
- 如果查完这一行都没找到，则返回 false。
这个两层二分的时间复杂度是 O(log m + log n)，和 O(log(m×n)) 同一个量级，完全满足题目的要求。
官方推荐思路：把矩阵当成一维数组二分
在官方题解和很多教程中，更常见的一种写法是直接把整个矩阵看作一个有序的一维数组，在这个一维空间上做一次二分。思想如下：
核心思路
- 矩阵整体有 m 行、n 列，总元素个数是 m * n。
- 把这 m * n 个元素看成一维有序数组，下标从 0 到 m * n - 1。
- 对这个一维下标区间 [0, m*n-1] 做标准二分查找。
- 关键在于：如何把"一维下标"映射回"二维坐标"。
映射关系：
假设一维下标为 mid，则
- 行号 row = mid / n
- 列号 col = mid % n
这样 matrix[row][col] 就对应虚拟一维数组的 mid 位置。
二分过程：
- 初始化 left = 0，right = m * n - 1。
- 循环条件 left <= right：
- 取中点 mid = (left + right) / 2。
- 通过上面的公式计算 row 和 col。
- 比较 matrix[row][col] 与 target：
- 相等直接返回 true。
- 当前值小于 target，说明目标在右半区，令 left = mid + 1。
- 当前值大于 target，目标在左半区，令 right = mid - 1。
- 循环结束还没返回，说明没找到，返回 false。
时间复杂度是一次二分，长度为 m*n，所以是 O(log(m×n))，空间复杂度 O(1)。
两种方法对比
| 方案 | 思路说明 | 时间复杂度 | 代码实现感受 | 典型使用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 方法一：两层二分 | 先在行上二分，找到可能的行，再在行内二分 | O(log m + log n) | 容易和"行、列"思路对应 | 便于讲解"如何利用行首和行尾界定范围" |
| 方法二：一维化二分 | 把矩阵当成长度为 m*n 的一维有序数组 | O(log(m×n)) | 代码非常简洁，逻辑集中 | 官方题解、刷题模板、库式写法常用 |
从刷题和复用二分模板的角度，很多人会更推荐"整体当一维数组"的方法；从直观理解矩阵结构的角度，两层二分也非常适合初学者。两种方法本质上利用的是同一个有序性，只是视角不同。
关于 n、matrixColSize 和下标
在 C 的函数签名中，通常会有类似参数：int** matrix, int matrixSize, int* matrixColSize。
- matrixSize 就是行数 m。
- matrixColSize[0] 通常就是列数 n（题目保证每行长度相同）。
- 如果有 n 列，那么合法列下标是 [0, n-1]，最后一列的下标是 n - 1 或 matrixColSize[0] - 1。
这点在你写"比较 matrix[mid_row][0] 和这一行最后一个元素"时非常关键，容易写成越界的下标。
总结
整体来说，你一开始提出的"先锁定行，再二分列"的思路在大方向上是完全正确的，只需要在边界和下标上更严谨，同时理解官方常用的一维化写法，可以在面试中灵活切换表达。