信息学奥赛一本通 1640：C Looooops

【题目链接】

ybt 1640：C Looooops
LOJ 10218. 「一本通 6.4 练习 4」C Looooops

【题目考点】

1. 线性同余方程

相关知识见【模板】洛谷 P1082 $NOIP 2012 提高组$ 同余方程

【解题思路】

在C或C++的 k k k位存储系统，可以存储 $0 , 2 k - 1$ $0, 2\^k-1$ $0,2k-1$ 范围内的整数。如unsigned int类型的范围为 $0 , 2 32 - 1$ $0, 2\^{32}-1$ $0,232-1$ ，unsigned long long类型的范围为 $0 , 2 64 - 1$ $0, 2\^{64}-1$ $0,264-1$ 。

当变量的数值超出了该数据类型可以表示的范围，会发生"自然溢出"，变量在二进制下只会保留末 k k k位，在数值角度看相当于进行了 m o d 2 k \bmod 2^k mod2k操作。
for (variable = A; variable != B; variable += C)

该代码的意义为：变量初值为A，每次循环变量的值增加C，当变量的值等于B时跳出循环。

假设进行了 x x x次循环，则有 A + x C m o d 2 k = B A+xC \bmod 2^k = B A+xCmod2k=B。

或列成同余方程 A + x C ≡ B ( m o d 2 k ) A+xC\equiv B \pmod{2^k} A+xC≡B(mod2k)

整理得 C x ≡ B − A ( m o d 2 k ) Cx\equiv B-A \pmod{2^k} Cx≡B−A(mod2k)

如果 g c d ( C , 2 k ) ∣ ( B − A ) gcd(C, 2^k)\mid (B-A) gcd(C,2k)∣(B−A)，则该方程有解，通过扩展欧几里得算法求线性同余方程的解。
-如果 g c d ( C , 2 k ) ∤ ( B − A ) gcd(C, 2^k)\nmid (B-A) gcd(C,2k)∤(B−A)，则该方程无解，即无论进行几次循环，变量的值都无法等于 B B B，输出FOREVER。

【题解代码】

解法1：扩展欧几里得算法直接求解线性同余方程

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 25
#define MOD(a, b) (((a)%(b)+(b))%(b)) 
typedef long long LL;
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &g)
{
	if(b == 0)
	{
		x = 1, y = 0, g = a;
		return;
	}
	exgcd(b, a%b, y, x, g);
	y -= a/b*x;
}
int main()
{
	LL a, b, c, k, x, y, g;
	while(cin >> a >> b >> c >> k && !(a == 0 && b == 0 && c == 0 && k == 0))
	{
		exgcd(c, 1LL<<k, x, y, g);
		if((b-a)%g == 0)
			cout << MOD(x*(b-a)/g, (1LL<<k)/g) << endl;
		else
			cout << "FOREVER" << endl;
	}
	return 0;
}

解法2：先求乘法逆元再解线性同余方程

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 25
#define MOD(a, b) (((a)%(b)+(b))%(b)) 
typedef long long LL;
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
	if(b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b, a%b, y, x);
	y -= a/b*x;
}
LL gcd(LL a, LL b)
{
	if(b == 0)
		return a;
	return gcd(b, a%b);
}
LL inv(LL a, LL m)
{
	LL x, y;
	exgcd(a, m, x, y);
	return MOD(x, m);
}
int main()
{
	LL a, b, c, k, x, y, g;
	while(cin >> a >> b >> c >> k && !(a == 0 && b == 0 && c == 0 && k == 0))
	{
		g = gcd(c, 1LL<<k);
		if((b-a)%g == 0)
			cout << MOD((b-a)/g*inv(c, 1LL<<k), (1LL<<k)/g) << endl;
		else
			cout << "FOREVER" << endl;
	}
	return 0;
}