本文涉及知识点
计算几何
四种定义
线段定义：多边形P是凸多边形当且仅当 ∀ A , B ∈ P \forall A,B \in P ∀A,B∈P,线段AB都在P内。
内角定义：严格凸，多边形的内角 < 18 0 ∘ <180^\circ <180∘。容许平角：多边形的内角 ≤ 18 0 ∘ \le 180^\circ ≤180∘。
转向相同：令端点顺时针(逆时针)依次为 P 0 , P 1 ⋯ P n − 1 P_0,P_1\cdots P_{n-1} P0,P1⋯Pn−1,令 P 0 = P n , P 1 = = P n P_0=P_n,P_1==P_n P0=Pn,P1==Pn。
P i P i + 1 ⃗ × P i + 1 P i 2 ⃗ , 0 < i < n \vec {P_iP_{i+1}} \times \vec{ P_{i+1}P_{i_2}},0<i<n PiPi+1 ×Pi+1Pi2 ,0<i<n符号相同。
半平面：多边形可以表示为有限个半平面的交集，且每个边所在的直线定义一个包含整个多边形的半平面。
半平面
通过直线定义：
ax+by < c 和ax+by > c。都是开半平面。
ax+by ≥ \ge ≥c和ax+by ≤ \le ≤ c都是闭半平面。
ax+by>c ⟺ \iff ⟺ -ax-by<-c。
通过向量定义：
已知点P和方向向量 v ⃗ \vec v v ,X是点 P ⃗ X × v ≤ 0 \vec PX \times v \le 0 P X×v≤0
定义一 → \rightarrow → 定义二
连通内角和超过 18 0 ∘ 180^\circ 180∘的顶点B，B的相邻顶点AC。除AC外，线段上的其它点多在多边形外。
定义二 → \rightarrow → 定义一
用数学归纳法证明。三角形一定符合。如果n(n>3)个顶点。如果AB全部在 △ a b c \triangle abc △abc,则证毕。如果AB全部不在 △ a b c \triangle abc △abc中，用边ac代替ab、bc。n-=1，待证明不变。如果AB和ac相交于C，不失一般性，令A在三角形内，则AC全部在三角形内,用边ac代替ab、bc。
定义二 ⟺ \iff ⟺定义三,
这个好理解，不赘述。
定义三 → \rightarrow → 定义四
证明过程较复杂，暂且放放。
定义四 → \rightarrow → 定义一
对每个半平面单独处理，以半平面的分界直线为新坐标的x轴，AC所在为y轴正方向。
P(- ∞ , 0 ) \infty,0) ∞,0)。则 ∠ X P A < ∠ X P B < ∠ X P C \angle XPA < \angle XPB <\angle XPC ∠XPA<∠XPB<∠XPC,故B一定在同一个半平面。
定义一 → \rightarrow → 定义四
性质一 ：P在任意边所在直线的一侧。
假定P在直线AB两侧都有点。旋转平移简单多边形P，使得边AB和y轴重合，且原点在AB上。
由于AB是边界线，故P1(-无穷小，0)和P2(无穷小,0)一个在P内，一个在P外。不失一般性，令后者在P内。令在AB左边的点是P3，根据定义P3,P2在P内，线段P3P2上的点全部在P内，即(-无穷小，y0)也在P内，而(无穷小,y0)也在P内，和边界线两则一个在P内，一个在P外，矛盾。
P边所在的直线构成的平面集便是定义四。
反例
这个凹多边形，无法通过半平面集表示。
水平排除左下，右下也排除了。
竖直排除左下，左上也排除了。
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法 用**C++**实现。
