C++：二叉搜索树（BST）完全指南（从概念原理、核心操作到底层实现）

wbs_scy2025-12-17 14:31

一. 二叉搜索树的核心概念：什么是 BST？

二叉搜索树又称二叉排序树，它要么是空树，要么是满足以下值分布规则的二叉树：

  • 若左子树不为空，则左子树中所有节点的值 ≤ 根节点的值；
  • 若右子树不为空，则右子树中所有节点的值 ≥ 根节点的值；
  • 左、右子树也分别是二叉搜索树（递归定义）。
  • 二叉搜索树可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是二叉搜索树，其中map/set不支持插入相等值,multimap/multiset支持插入相等值

关键特性 ：中序遍历为有序序列

二叉搜索树的核心价值在于 "中序遍历结果是升序序列" 。例如，下图 BST 的中序遍历结果为1 3 4 6 7 8 10 13 14，天然具备 "排序" 属性，这也是其 "二叉排序树" 名称的由来。

关于 "相等值" 的约定

BST 对相等值的处理可灵活定义，具体取决于场景：
不支持相等值插入 （如map/set底层）：插入时若值已存在，直接返回失败；

支持相等值插入 （如multimap/multiset底层）：相等值需统一插入左子树或右子树（保持逻辑一致，避免后续查找混乱）。

本文实现的 BST 默认不支持相等值插入。

二. 二叉搜索树的性能分析：理想与最差情况

BST 的操作效率直接取决于树的 "高度"，而高度由节点插入顺序决定，存在两种极端情况：

|------|------------|--------|-----------|-------------------|----------------------|
| 场景 | 树的形态 | 高度 | 增删查时间复杂度 | 典型插入顺序 | 核心影响因素 |
| 理想情况 | 完全二叉树（接近平衡 | log2​N | O(log2​N) | 随机插入（如8,3,10,1,6） | 插入顺序无序，节点均匀分布在左右子树 |
| 最差情况 | 单支树（退化为链表） | N | O(N) | 有序插入（如1,3,6,8,10） | 插入顺序严格递增/递减，节点仅向单侧延伸 |

综合来看二叉搜索树增删查改时间复杂度

与 "二分查找" 的对比

二分查找虽也能实现O(log₂N)的查找效率，但存在明显缺陷：

  • 依赖支持随机访问的结构（如数组），且需提前排序；
  • 插入 / 删除效率低：数组中插入 / 删除元素需挪动大量数据，时间复杂度为O(N)。

而 BST 无需提前排序，且插入 / 删除时仅需修改节点指针，避免了数据挪动，这也是其在动态数据场景中更具优势的原因。

三. 二叉搜索树的实战实现：基于 BinarySearchTree.h

采用 C++ 模板实现，支持泛型K（，核心包含节点结构定义 与BST 类的三大操作（插入、查找、删除），同时提供中序遍历接口验证有序性。

3.1 节点结构定义：BSTreeNode

BST 的节点需存储 "值" 与 "左右子树指针"，模板化设计使其可适配 int、string 等多种类型：

cpp 复制代码 
#include<iostream>
using namespace std;

template<class K>
struct BSTreeNode
{
	BSTreeNode<K>* _left;  // 左子树指针
	BSTreeNode<K>* _right; // 右子树指针
	K _key;                // 节点键值

	// 构造函数：初始化指针为空，键值为传入值
	BSTreeNode(const K& key)
		: _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _key(key)
	{}
};

3.2 BST 类核心操作：Insert、Find、Erase

BST 类封装了树的根节点_root，并通过私有辅助函数_InOrder实现中序遍历。以下是三大核心操作的详细实现与解析：

3.2.1 插入操作（Insert）

插入的核心逻辑是 "按 BST 规则找到空位置，创建新节点并链接"，步骤如下：

  1. 若树为空（_root == nullptr），直接创建根节点；
  2. 树非空时，用cur指针遍历树：
  • 若 cur->_key < 插入值 ：向右子树移动（cur = cur->_right）；
  • 若 cur->_key > 插入值 ：向左子树移动（cur = cur->_left）；
  • 若值相等（不支持插入），返回false；

找到空位置后，通过parent指针（记录cur的父节点）将新节点链接到树中。

代码实现（BinarySearchTree.h）：

cpp 复制代码 
template<class K>
class BSTree
{
    typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
    bool Insert(const K& key)
    {
        // 情况1：树为空，直接创建根节点
        if (_root == nullptr)
        {
            _root = new Node(key);
            return true;
        }

        // 情况2：树非空，遍历找插入位置
        Node* parent = nullptr; // 记录cur的父节点（用于后续链接新节点）
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_right; // 比当前节点大，向右走
            }
            else if (cur->_key > key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;  // 比当前节点小，向左走
            }
            else
            {
                // 键值已存在，不支持插入，返回false
                return false;
            }
        }

        // 创建新节点，并链接到parent的左/右孩子
        cur = new Node(key);
        if (parent->_key < key)
        {
            parent->_right = cur; // 插入值比parent大，作为右孩子
        }
        else
        {
            parent->_left = cur;  // 插入值比parent小，作为左孩子
        }

        return true;
    }

    // 中序遍历：验证BST的有序性
    void InOrder()
    {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }
private:
    void _InOrder(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
            return;
        _InOrder(root->_left);  // 遍历左子树
        cout << root->_key << " "; // 访问当前节点
        _InOrder(root->_right); // 遍历右子树
    }

    Node* _root = nullptr; // 树的根节点，初始为空
};
3.2.2 查找操作（Find）

查找的逻辑与插入类似，按 BST 规则遍历树，步骤如下：

  1. 从根节点_root开始，用cur指针遍历；
  2. 若 cur->_key < 目标值 ：向右走；若 cur->_key > 目标值：向左走；
  3. 找到目标值返回true，遍历到空节点（未找到）返回false。

代码实现（BinarySearchTree.h）：

cpp 复制代码 
bool Find(const K& key)
{
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_key < key)
        {
            cur = cur->_right; // 目标值大，向右找
        }
        else if (cur->_key > key)
        {
            cur = cur->_left;  // 目标值小，向左找
        }
        else
        {
            // 找到目标值，返回true
            return true;
        }
    }
    // 遍历到空，未找到
    return false;
}

如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回

3.2.3 删除操作（Erase）：最复杂的核心操作

删除的难点在于 "删除节点后，需保持 BST 的规则不变"。根据删除节点（记为cur）的子节点数量，分为 4 种情况，其中前 3 种可合并处理，第 4 种需用 "替换法" 删除：

|----|---------------|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------|--------------------------------------------------|
| 情况 | 子节点状态 | 处理方案 | 关键注意事项 |
| 1 | 左右子树均为空（叶子节点） | 直接删除cur节点，将parent指向cur的孩子指针置空（可归为情况2或3统一处理） | 需判断cur是否为根节点（若为根，直接将_root置空，无需处理parent） |
| 2 | 左子树为空，右子树非空 | 将parent指向cur的孩子指针，修改为指向cur->_right，随后删除cur节点 | 若cur是根节点，直接让_root = cur->_right，跳过parent判断 |
| 3 | 右子树为空，左子树非空 | 将parent指向cur的孩子指针，修改为指向cur->_left，随后删除cur节点 | 与情况2对称，根节点处理逻辑为_root = cur->_left |
| 4 | 左右子树均非空 | 1. 找cur右子树的"最小节点"（最左节点）或左子树的"最大节点"（最右节点）； 2. 将替换节点的键值（及值，若为key-value模型）赋给cur； 3. 删除替换节点（替换节点满足情况2或3，直接处理） | 替换节点的父节点指针需正确修改（如替换节点是父节点左孩子，需将父节点左指针指向替换节点的右子树） |

代码实现（BinarySearchTree.h）：

cpp 复制代码 
bool Erase(const K& key)
{
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;

    // 第一步：找到要删除的节点cur
    while (cur)
    {
        if (cur->_key < key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_key > key)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else
        {
            // 第二步：找到节点，按子节点情况处理删除
            // 情况2：左子树为空，右子树非空
            if (cur->_left == nullptr)
            {
                // 若cur是根节点，直接让根指向右子树
                if (cur == _root)
                {
                    _root = cur->_right;
                }
                else
                {
                    // 判断cur是parent的左/右孩子，链接对应子树
                    if (cur == parent->_left)
                        parent->_left = cur->_right;
                    else
                        parent->_right = cur->_right;
                }
                delete cur; // 释放节点内存
                return true;
            }
            // 情况3：右子树为空，左子树非空
            else if (cur->_right == nullptr)
            {
                if (cur == _root)
                {
                    _root = cur->_left;
                }
                else
                {
                    if (cur == parent->_left)
                        parent->_left = cur->_left;
                    else
                        parent->_right = cur->_left;
                }
                delete cur;
                return true;
            }
            // 情况4：左右子树均非空（替换法删除）
            else
            {
                // 找cur右子树的最小节点（最左节点）作为替换节点
							 // 还可以找左子树的最大节点(最右节点)
							 // 这里是找右子树最左节点
                Node* replaceParent = cur; // 替换节点的父节点
                Node* replace = cur->_right;
                while (replace->_left) // 一直向左走，直到左子树为空
                {
                    replaceParent = replace;
                    replace = replace->_left;
                }

                // 替换：将replace的键值赋给cur（值替换，指针不变）
                cur->_key = replace->_key;

                // 删除replace节点（replace的左子树为空，符合情况2）
                if (replaceParent->_left == replace)
                    replaceParent->_left = replace->_right;
                else
                    replaceParent->_right = replace->_right;

                delete replace;
                return true;
            }
        }
    }

    // 未找到要删除的节点
    return false;
}

关键说明 ：情况 4 中选择 "右子树最小节点" 作为替换节点，是因为该节点的值是cur右子树中最小的，替换后仍满足 BST 规则（左子树≤根≤右子树）；同理，选择 "左子树最大节点" 也可，逻辑对称

四. 实战测试：基于实战代码验证 BST 操作

test.cpp通过引入BinarySearchTree.h，实现 BST 的插入、删除与中序遍历验证，代码如下：

cpp 复制代码 
#include"BinarySearchTree.h"

int main()
{
    // 测试数据：插入序列
    int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
    BSTree<int> t;

    // 1. 插入所有元素
    for (auto& e : a)
    {
        t.Insert(e);
    }
    cout << "插入后中序遍历（应有序）：";
    t.InOrder(); // 输出：1 3 4 6 7 8 10 13 14

    // 2. 删除测试：逐步删除节点，验证有序性
    t.Erase(3);   // 删除左子树非空、右子树非空的节点（情况4）
    cout << "删除3后中序遍历：";
    t.InOrder(); // 输出：1 4 6 7 8 10 13 14

    t.Erase(8);   // 删除根节点（左右子树非空，情况4）
    cout << "删除8后中序遍历：";
    t.InOrder(); // 输出：1 4 6 7 10 13 14

    t.Erase(1);   // 删除叶子节点（左右子树为空，情况1）
    cout << "删除1后中序遍历：";
    t.InOrder(); // 输出：4 6 7 10 13 14

    t.Erase(10);  // 删除右子树非空、左子树非空的节点（情况4）
    cout << "删除10后中序遍历：";
    t.InOrder(); // 输出：4 6 7 13 14

    // 3. 清空树（删除所有元素）
    for (auto& e : a)
    {
        t.Erase(e);
    }
    cout << "清空后中序遍历（空行）：";
    t.InOrder(); // 输出空行

    return 0;
}

结果符合预期，证明 BST 的插入、删除操作均保持了 "中序遍历有序" 的核心特性。

五. BST 的扩展：key/value 模型（支持映射场景）

上述实现是 "key 模型"（仅存储键值，用于判断 "存在性"，不能修改），但实际场景中常需 "key-value 模型"（键值对应数据，如字典、统计次数,可以修改value）BinarySearchTree.h可扩展为模板template<class K, class V>，节点同时存储_key和_value。

5.1 key-value 模型节点与类实现

cpp 复制代码 
// key-value模型节点
template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{
    K _key;
    V _value;
    BSTreeNode<K, V>* _left;
    BSTreeNode<K, V>* _right;

    BSTreeNode(const K& key, const V& value)
        : _key(key)
        , _value(value)
        , _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
    {}
};

// key-value模型BST类
template<class K, class V>
class BSTree
{
    typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
    // 插入：需传入key和value
    bool Insert(const K& key, const V& value)
    {
        if (_root == nullptr)
        {
            _root = new Node(key, value);
            return true;
        }

        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }
            else if (cur->_key > key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                return false; // 不支持重复key
            }
        }

        cur = new Node(key, value);
        if (parent->_key < key)
            parent->_right = cur;
        else
            parent->_left = cur;

        return true;
    }

    // 查找：返回节点指针，可通过节点访问value
    Node* Find(const K& key)
    {
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
                cur = cur->_right;
            else if (cur->_key > key)
                cur = cur->_left;
            else
                return cur; // 返回节点，后续可操作value
        }
        return nullptr;
    }

		//erase跟上面没区别，这里就不展示了
		
    // 中序遍历：输出key和value
    void InOrder()
    {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }
private:
    void _InOrder(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
            return;
        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_key << ":" << root->_value << " ";
        _InOrder(root->_right);
    }

    Node* _root = nullptr;
};

5.2 key-value 模型实战场景

场景 1：简单字典（中英互译）

cpp 复制代码 
int main()
{
	//简单字典
	key_value::BSTree<string, string> dict;
	dict.Insert("sort", "排序");
	dict.Insert("string", "字符串");
	dict.Insert("insert", "插入");
	dict.Insert("erase", "删除");
	dict.Insert("move", "移动");
	dict.Insert("tree", "树");
	dict.Insert("tree", "树*****");//插入失败，可以看看插入的逻辑，主要是key判断

	// 内置类型转换成类类型 -> 构造函数
	// 类类型转换成内置类型 -> operator 内置类型
	string str;
	int i = 0;
	//while ((cin >> str).operator bool())
	while(cin>>str)
	{
		auto* node = dict.Find(str);
		if (node)
		{
			cout << "->" << node->_value << endl;
		}
		else
		{
			cout << "无此单词，请重新输入" << endl;
		}
	}

	return 0;
}

场景 2：单词统计（统计水果出现次数）

cpp 复制代码 
int main()
{
	string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
	key_value::BSTree<string, int> CountTree;
	for (auto& str : arr)
	{
		//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
		auto ret = CountTree.Find(str);
		// 第一次出现，插入<水果, 1>
		if (ret == nullptr)
		{
			CountTree.Insert(str, 1);
		}
		else
		{
			// 已出现，次数+1
			ret->_value++;
		}
	}
	// 中序遍历：按水果名称升序输出次数
	CountTree.InOrder();
	return 0;
}
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