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[1.2 二叉搜索树操作](#1.2 二叉搜索树操作)
1.二叉搜索树
1.1二叉搜索树概念
二叉搜索树又称为二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：
1）若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值。
2）若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值。
3）它的左右子树也分别为二叉搜索树。
1.2 二叉搜索树操作
1.二叉搜索树的查找
a.从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
b.最多查找高度次，走到空，还没找到，说明这个值不存在。
2.二叉搜索树的插入
插入过程为：
a.树为空，则直接新增节点，赋值给root指针。
b.树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点。
3.二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回，否则要删除的结点可能分下面四种情况：
a.要删除的结点无孩子结点。
b.要删除的结点只有左孩子结点。
c.要删除的结点只有右孩子结点。
d.要删除的结点有左、右孩子结点。
看起来有待删除结点有四种情况，实际情况a可以与情况b或者情况c合并起来，因此真正的删除过程应该如下：
情况b:删除该结点且使被删除结点的双亲结点指向被删除结点的左孩子结点---直接删除。
情况c：删除该结点且使被删除结点的双亲指向被删除结点的右孩子结点---直接删除。
情况d：在它的右子树中寻找中序下的第一个结点（关键值最小），用它的值填补到被删除结点中，再来处理该结点的删除问题---替换法删除。
下面模拟实现一下简单的二叉搜索树（非递归版本）:
cpp
namespace hxh
{
template<class T>
struct BTSNode
{
BTSNode<T>* _left;
BTSNode<T>* _right;
T _val;
BTSNode(const T& val)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_val(val)
{ }
};
template<class T>
class BTSTree
{
typedef BTSNode<T> Node;
public:
BTSTree()
:_root(nullptr)
{ }
bool Insert(const T& val)
{
//插入元素
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(val);
return true;
}
//先找到空位置
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_val < val)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_val > val)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//没找到空位置
return false;
}
}
//现在是找到空位置
cur = new Node(val);
if (parent->_val > cur->_val)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
return true;
}
bool Erase(const T& val)
{
//删除结点的前提是先得找到这个节点
if (_root == nullptr)return false;
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_val > val)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_val < val)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//找到了，这时候再处理删除节点的问题
//1.左边全为空
//2.右边全为空
//3.左右两边都不为空
if (cur->_left == nullptr)//只有右边有结点
{
//为根结点
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
//不是根结点
if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_right;
}
else
{
parent->_left = cur->_right;
}
}
}
else if (cur->_right == nullptr)//只有左边有结点
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
}
else
{
//左右都不为空
//先找到cur左边结点的最右结点（也就是左边结点中最大的结点）
parent = cur;
Node* leftMax = cur->_left;
while (leftMax->_right)
{
parent = leftMax;
leftMax = leftMax->_right;
}
//找到左子树的最右边的结点了
//交换cur和leftMax的结点值
std::swap(leftMax->_val, cur->_val);
if (leftMax->_left !=nullptr)
{
parent->_right = leftMax->_left;
}
cur = leftMax;
}
delete cur;
return true;
}
}
return false;
}
bool Find(const T& val)
{
if (_root == nullptr)
{
return false;
}
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_val > val)
{
cur = cur->_left;
}
else if(cur->_val < val)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
std::cout << root->_val << " ";
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root;
};
};这里Erase（）删除的时候，其实就分为两种场景：
1.有一个孩子（或者没有孩子）的情况，可以托孤，直接把孩子交给parent。
2.左右两个孩子都在的情况，可以使用结点替换法，先找cur的左子树中的最右结点（左子树中最大的那个结点值），然后交换cur和leftMax的结点值，再对leftMax的左边是否为空进行判断就可以。
下面再实现一个递归版本的二叉搜索树：
cpp
namespace hxh
{
//实现一个递归版本的BSTree
template<class T>
struct BSTNode
{
BSTNode<T>* _left;
BSTNode<T>* _right;
T _val;
BSTNode(const T& val)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_val(val)
{ }
};
template<class T>
class BSTree
{
typedef BSTNode<T> Node;
private:
bool _InsertR(Node*& root,const T& val)
{
if (root == nullptr)
{
root = new Node(val);
return true;
}
if (root->_val < val)
{
return _InsertR(root->_right, val);
}
else if (root->_val > val)
{
return _InsertR(root->_left, val);
}
else
{
return false;
}
}
bool _FindR(Node* root, const T& val)
{
if (root == nullptr)
return false;
if (root->_val < val)
{
return _FindR(root->_right, val);
}
else if (root->_val > val)
{
return _FindR(root->_left, val);
}
else
{
return true;
}
}
bool _EraseR(Node*& root, const T& val)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_val > val)
{
return _EraseR(root->_left, val);
}
else if (root->_val < val)
{
return _EraseR(root->_right, val);
}
else
{
//1.左边为空
//2.右边为空
//3.左右都不为空
//找有没有
Node* del = root;
if (root->_left == nullptr)
{
root = root->_right;
}
else if (root->_right == nullptr)
{
root = root->_left;
}
else
{
Node* leftMax = root->_left;
while (leftMax->_right)
{
leftMax = leftMax->_right;
}
std::swap(root->_val, leftMax->_val);
return _EraseR(root->_left, val);
}
delete del;
return true;
}
}
void Destroy(Node*& root)
{
if (root == nullptr)
return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
root = nullptr;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* copyroot = new Node(root->_val);
copyroot->_left = Copy(root->_left);
copyroot->_right = Copy(root->_right);
return copyroot;
}
public:
BSTree()
:_root(nullptr)
{ }
BSTree(const BSTree<T>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree<T>& operator=(BSTree<T> t)
{
std::swap(_root, t._root);
return *this;
}
bool InsertR(const T& val)
{
bool r = _InsertR(_root, val);
return r;
}
bool FindR(const T& val)
{
bool r = _FindR(_root, val);
return r;
}
bool EraseR(const T& val)
{
bool r=_EraseR(_root, val);
return r;
}
~BSTree()
{
Destroy(_root);
}
private:
Node* _root;
};
};2.二叉搜索树的应用与分析
1.K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值。
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
1）以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一颗二叉搜索树。
2）在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
**2.KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值value，即<key，value>的键值对。**该种方法在现实生活中非常常见：
1）比如英汉词典就是英文和中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word,chinese>就构成了一种键值对。
2）再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word，count>就构成了一种键值对。
3.关于二叉搜索树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树的平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但是对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其平均比较次数为：O(logN)。
最差情况下：二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其平均比较次数为：O(N)。