【每日算法】LeetCode 153. 寻找旋转排序数组中的最小值

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LeetCode 153. 寻找旋转排序数组中的最小值

1. 题目描述

假设一个按照升序排列的数组在某个未知的"旋转点"上进行了旋转（例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2]）。给定一个 互不相同 元素的旋转排序数组 nums，要求找出并返回数组中的 最小元素。

示例 1:

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输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5]，旋转后最小值是 1。

示例 2:

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输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0

示例 3:

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输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：数组未旋转或旋转点为首元素。

提示:

n == nums.length
1 <= n <= 5000
-5000 <= nums[i] <= 5000
nums 中所有元素 互不相同
设计时间复杂度为 O(log n) 的算法

2. 问题分析

对于一个升序排序数组旋转后，它由 两个递增的子数组 组成：第一个子数组的元素都大于第二个子数组的元素，且最小值是第二个子数组的第一个元素。例如，[4,5,6,7,0,1,2] 中，第一个子数组为 [4,5,6,7]，第二个为 [0,1,2]，最小值为 0。

关键点在于：

如果数组未旋转（或旋转点在首元素），最小值是第一个元素。
由于数组部分有序，可以利用 二分查找 来优化搜索，避免 O(n) 的遍历。

3. 解题思路

3.1 思路一：暴力遍历法

直接遍历整个数组，维护一个变量记录最小值。时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)。简单但未利用数组特性，不是最优解。

3.2 思路二：二分查找法（最优解）

利用数组的 部分有序性，通过比较中间元素和右端点元素，判断最小值所在区间：

如果 nums[mid] > nums[right]：最小值在右半部分（因为右半部分是更小的子数组），搜索区间更新为 [mid + 1, right]。
否则：最小值在左半部分或 mid 处，搜索区间更新为 [left, mid]。

这个过程将时间复杂度降至 O(log n)，空间复杂度 O(1)，是最优解。

4. 各思路代码实现

4.1 暴力遍历法实现

javascript 复制代码

function findMin(nums) {
    let min = nums[0];
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        if (nums[i] < min) {
            min = nums[i];
        }
    }
    return min;
}

4.2 二分查找法实现

javascript 复制代码

function findMin(nums) {
    let left = 0;
    let right = nums.length - 1;
    while (left < right) {
        let mid = Math.floor((left + right) / 2);
        if (nums[mid] > nums[right]) {
            // 最小值在右半部分
            left = mid + 1;
        } else {
            // 最小值在左半部分或 mid 处
            right = mid;
        }
    }
    return nums[left]; // 当 left == right 时，找到最小值
}

5. 各实现思路的复杂度、优缺点对比表格

思路	时间复杂度	空间复杂度	优点	缺点
暴力遍历法	O(n)	O(1)	代码简单易懂，适用于小数组或对性能要求不高的场景	未利用数组有序性，效率低，不满足 O(log n) 要求
二分查找法	O(log n)	O(1)	高效，利用部分有序性，满足题目要求	逻辑稍复杂，需注意边界条件

最优解总结：二分查找法在时间和空间上均最优，是解决此类旋转排序数组问题的标准方法。