70. 爬楼梯
题目描述
思路
下班之后又想偷懒了，但最近学习了"日行 20 英里"的原则，写几道题并整理一下思路吧。
爬楼梯是最经典的一道一维动态规划问题。由于这道题已经刷过太多次了，基本上每次再遇到都是速敲一遍秒过，发现我好像已经很久没有思考过这道题是如何运用动态规划了。本着熟络熟络算法，写一道题就整理一道题的原则，现在对这部分的思考它来了。
解这道题目我一般会加入一道特判，首先判断n == 0、n == 1和n == 2三种情况。针对n == 0的情况，显然不存在任何爬楼梯的方案，答案就是0；针对n == 1的情况，题目中已经明确说我们每次可以爬一格楼梯或两格楼梯，显然此时只有一级台阶，我们只能爬一格，所以此时答案就是1；针对n == 2的情况，我们可以爬楼梯的方案有两种，要么在第零级一次爬两格，要么分两次，每次爬一格，因此答案就是2。
分析到这里，我们不难看出，实际上这道题目最后要求的，就是我们有无穷多个1和2，从0开始我们每次可以加1或加2，有多少种方案最后可以得到和为n。解决的方法其实很简单，我们可以使用一个名为dp的数组来记录每一个i∈(0,n]i \in (0, n]i∈(0,n]的数的加和方案数。初始时我们已经知道dp[0] = 0、dp[1] = 1以及dp[2] = 2，因此从i == 3开始，我们有状态转移方程dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，比如从第3级开始，我们的方案要么是从第1级爬两个台阶，要么是从第2级爬一格台阶。dp统计的是方案数，而不是真实的爬台阶级数，因此这里是对方案数进行汇总。
最后，返回dp[n]就是最后的答案。
Golang 题解
go
func climbStairs(n int) int {
if n == 0 {
return 0
} else if n == 1 {
return 1
} else if n == 2 {
return 2
}
dp := make([]int, n + 1)
dp[0], dp[1], dp[2] = 0, 1, 2
for i := 3; i <= n; i ++ {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
}
return dp[n]
}