基于MATLAB的ADI方法求解偏微分方程详解

交替方向隐式（Alternating Direction Implicit, ADI）方法是一种高效求解多维偏微分方程（PDE）的数值方法，其核心思想是将高维问题分解为多个一维隐式问题交替求解。

一、ADI方法原理

基本思想
- 分步隐式处理：将二维/三维问题分解为交替的x和y方向隐式求解，降低计算复杂度。
- 稳定性优势：通过交替方向隐式格式，避免传统显式方法的稳定性限制，允许较大时间步长。
- 典型应用：热传导方程、波动方程、渗流问题等。
数学形式

以二维抛物方程为例：

∂u∂t=α(∂2u∂x2+∂2u∂y2)\frac{∂u}{∂t}=α(\frac{∂^2u}{∂x^2}+\frac{∂^2u}{∂y^2})∂t∂u=α(∂x2∂2u+∂y2∂2u)

ADI方法将其分解为两个半隐式步骤：
- x方向隐式：固定y，对x方向进行隐式离散。
- y方向隐式：固定x，对y方向进行隐式离散。

二、MATLAB实现步骤

离散化与初始化
- 定义网格参数：空间步长hx, hy，时间步长tau。
- 初始化解矩阵u，设置初始条件u(:,:,1)和边界条件。
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```
hx = 1/(N+1); hy = 1/(M+1); tau = 0.01;
x = linspace(0,1,N+2); y = linspace(0,1,M+2);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
u = zeros(M+2,N+2); % 初始解
```

交替方向隐式迭代

x方向隐式步骤：

构造三对角矩阵A_x，处理x方向扩散项，使用追赶法（TMDA函数）求解。

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for j = 2:M+1
    for i = 2:N+1
        A_x(i-1,:) = ...; % 填充系数矩阵
    end
    u(2:N+1,j) = TMDA(A_x, b, c, d, N, left_bc, right_bc);
end

y方向隐式步骤：

类似地构造三对角矩阵A_y，处理y方向扩散项。

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for i = 2:N+1
    for j = 2:M+1
        A_y(j-1,:) = ...; % 填充系数矩阵
    end
    u(i,2:M+1) = TMDA(A_y, b, c, d, M, bottom_bc, top_bc);
end

边界条件处理
- Dirichlet边界 ：直接赋值，如u(1,:) = T_top。
- Neumann边界：使用Ghost Point法，例如左边界：
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```
u(2,j) = u(3,j) + 2*hx*du/dn; % 一阶导数边界
```

收敛性验证

计算数值解与解析解的误差，验证收敛阶：

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error = max(max(abs(u - u_exact)));
rate = log(error(2)/error(1))/log(dx(2)/dx(1)); % 空间收敛阶

三、关键代码解析（以二维热传导方程为例）

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function [u] = ADI_2D_heat_eqn(N, M, T_end, hx, hy)
    % 参数设置
    tau = 0.001; dt = 0.01;
    x = linspace(0,1,N+2); y = linspace(0,1,M+2);
    u = zeros(M+2,N+2);
    
    % 初始条件与边界条件
    u(:,:,1) = sin(pi*x')*sin(pi*y);
    u(1,:) = 0; u(end,:) = 0; % Dirichlet边界
    
    % 时间迭代
    t = 0;
    while t < T_end
        % x方向隐式
        for j = 2:M+1
            A = gallery('tridiag', N-1, -2*tau/hx^2, 1+2*tau/hx^2, -2*tau/hx^2);
            b = u(2:N+1,j) + tau*( ... ); % 包含源项和交叉导数项
            u(2:N+1,j) = TMDA(A, b);
        end
        
        % y方向隐式
        for i = 2:N+1
            A = gallery('tridiag', M-1, -2*tau/hy^2, 1+2*tau/hy^2, -2*tau/hy^2);
            b = u(i,2:M+1) + tau*( ... );
            u(i,2:M+1) = TMDA(A, b);
        end
        t = t + dt;
    end
end

function x = TMDA(A, b)
    % 三对角矩阵追赶法求解
    n = length(b);
    c = zeros(n-1,1); d = zeros(n,1);
    for i = 2:n
        m = A(i,1)/A(i-1,1);
        c(i-1) = A(i,2)/A(i-1,1);
        A(i,1) = 1; A(i,2) = A(i,2) - m*A(i-1,2);
        b(i) = b(i) - m*b(i-1);
    end
    x = zeros(n,1);
    x(n) = b(n)/A(n,1);
    for i = n-1:-1:1
        x(i) = (b(i) - c(i)*x(i+1))/A(i,1);
    end
end

四、应用案例

二维瞬态导热 问题描述 ：求解矩形区域内的非稳态热传导。 MATLAB代码 ：参考结果中的实现，包含Ghost Point边界处理。 结果展示：温度场随时间演变的动态可视化。

对流-扩散方程

改进方法：引入迎风格式处理对流项：

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% 对流项离散
u_x = (u(3:end,j) - u(1:end-2,j))/(2*hx);
F = 0.5*Re*dy*u_x; % 雷诺数Re

参考代码 matlab的adi方法求解偏微分方程 www.youwenfan.com/contentcso/84111.html

五、扩展应用

三维问题 扩展ADI至三维，交替处理x-y、y-z、z-x方向。
非线性PDE 结合牛顿迭代法处理非线性项，例如Burgers方程。
多物理场耦合 联立求解热-结构耦合方程，需设计耦合迭代策略。