【每天学习一点算法 2025/12/25】爬楼梯

每天学习一点算法 2025/12/25

题目：爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

爬楼梯是一道十分经典的动态规划题目，我记得大学老师还讲过这道题，虽然已经忘的差不多了，我们首先来分析这题目，我们先从小数推导规律，设 fn(i) = 爬到第i阶的方法数

爬 1 阶楼梯：只有一种方法，fn(1) = 1
爬 2 阶楼梯：有 1+1 、2两种方法， fn(2) = 2
爬 3 阶楼梯：我们换一个思考方式，如果我们登上了第 3 阶楼梯的最后一步爬了 1 个台阶，那这种爬 3 阶楼梯的方法就和爬 2 阶楼梯的方法一样，如果最后一步爬了 2 个台阶，那这种爬 3 阶楼梯的方法就和爬 1 阶楼梯的方法一样。这两种爬最后一步的方法加在一起就是爬 3 阶的楼梯的方法数，

fn(3) = f(2) + f(1) = 3
爬 n 阶楼梯：从这个爬 3 阶楼梯的分析，我们很容易得出，爬 n 阶楼梯的方法就是，爬 n - 1 阶楼梯（最后一步是爬 1 个台阶）的方法加上爬 n - 2 阶楼梯（最后一步是爬 2 个台阶）的方法，fn(n) = fn(n - 1) + fn(n - 2)

分析得出了最终的公式： fn(n) = fn(n - 1) + fn(n - 2)

最容易想到的就是递归
typescript 复制代码
```
function climbStairs(n: number): number {
   if (n === 1) return 1
   if (n === 2) return 2
   return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2)
};
```
此法虽然很容易想到但是数字太大的时候会超时，而且存在大量的重复运算，比如我们在计算爬 5 阶楼梯和爬 4 阶的方法时，都会计算爬 3 阶楼梯的方法。

上面的递归存在重复计算，我们可以用记忆化递归的方法，用一个数组存储已经计算过的结果，这样就可以有效的减少时间复杂度了

typescript 复制代码

function climbStairs(n: number): number {
  const memoSet: number[] = [1, 1, 2] // 初始填入 0 1 2 阶的爬楼方法数
  function auxiliary (n: number, memo: number[]): number {
    // 如果已有爬楼的计算结果直接取出不再重复递归
    if (memo[n]) return memo[n]
    // 递归计算爬楼方法并存储到记忆数组中
    memo[n] = auxiliary(n - 1, memo) + auxiliary(n - 2, memo)
    return memo[n]
  }
  // 传入记忆数组
  return auxiliary(n, memoSet)
};

接下来讲一下动态规划的解题方法，动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）核心是用空间换时间，避免重复计算，本质是：把一个复杂的大问题，拆解成若干个可解决的、不重复的小问题，先解决小问题并记录答案（存起来），再用小问题的答案推导大问题的答案。

什么意思呢？
- 递归是从目标值递归拆解成小问题，从目标 n 递归拆解成 n-1 和 n-2。
- 动态规划是从最小的初始条件开始，一步步算到目标值（比如从 i=3 算到 i=n）
typescript 复制代码
```
function climbStairs(n: number): number {
  // 处理边界 1 2 阶楼梯爬法
  if (n <= 2) return n;
  const memoSet: number[] = [1, 1, 2] // 初始填入 0 1 2 阶的爬楼方法数
  // 循环计算n阶爬楼方法
  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    memoSet[i] = memoSet[i - 1] + memoSet[i - 2]
  }
  // 返回计算结果
  return memoSet[n]
};
```

上面的方法我们看出，前面已经用过的数据其实已经可以丢弃了，那我们还可以优化一下空间复杂度，用两个变量存储 n - 1 和 n - 2 阶的方法数。

typescript 复制代码

function climbStairs(n: number): number {
	// 处理边界 1 2 阶楼梯爬法
  if (n <= 2) return n;
  let i = 1 // n - 2 初始为1阶楼梯爬法
  let j = 2 // n - 3 初始为2阶楼梯爬法
  let current = 0 // 存储当前阶的方法数
  // 循环计算爬 n 阶方法数
  for (let k = 3; k <= n; k++) {
    current = i + j
    i = j
    j = current
  }
  return current
};

题目来源：力扣（LeetCode）