下面让我们来深入研究一下。关于"复平面上的那个积分"，它算是，也不算。我们积分的函数 f(t)e−iωtf(t)e^{-i\omega t}f(t)e−iωt 具有复数值（因为有 e−iωte^{-i\omega t}e−iωt 项），但我们仍然是在实数时间 ttt 上从 −∞-\infty−∞ 到 ∞\infty∞ 进行积分。
可以这样理解：在每个时刻 ttt，我们将实数信号 f(t)f(t)f(t) 乘以一个复指数 e−iωte^{-i\omega t}e−iωt。这个复指数在复平面上描绘出一个圆，它以频率 ω\omegaω 旋转。
所以我们并非在复平面上进行积分，而是在实数轴上进行积分，但被积函数本身在复空间中呈螺旋状运动。
这里有一个几何直观解释：想象 f(t)f(t)f(t) 是一个随时间变化的波，而 e−iωte^{-i\omega t}e−iωt 是复平面上的一个旋转箭头。我们在每个时刻将它们相乘，然后将所有复值乘积相加。
如果 f(t)f(t)f(t) 以频率 ω\omegaω 振荡，它将与旋转箭头"同步"，并且贡献会相长叠加。其他频率则会被打乱并相互抵消。
随着 ttt 的推进，你同时在做两件事：
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沿着 f(t)f(t)f(t) 描绘的曲线移动（这条曲线可以向上、向下，或者随 fff 的变化而变化）
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在复平面上以角速度 ω\omegaω 旋转
所以，如果 f(t)f(t)f(t) 是常数，你实际上是在描绘一条螺旋线，一个半径恒定的螺旋楼梯。如果 f(t)f(t)f(t) 变化，那么随着你向上攀爬，螺旋线的半径也会变化。
积分将这个复杂的 3D 螺旋路径投影到一个复数上。它将所有螺旋运动压缩到一个点上，告诉你"这个信号在频率 ω\omegaω 处的共振程度如何"。