1 二叉树中序遍历
递归，如同俄罗斯套娃（哈哈哈）。
中序遍历是左 - 根 -右 ，从宏观上看，整个树从根节点来看，访问完整个左子树，打印，然后访问右子树，打印。
但是递归的视角来看，整个左子树，又可以当作一个新的树，左子树的第一个结点当作新的根节点（暂且这么表述），在这个新的根节点又开始处理左 - 根 - 右。
俄罗斯套娃的核心就是 "大娃里套中娃，中娃里套小娃，小娃里还有更小的娃"，递归遍历二叉树完全就是这个逻辑 ------每一层子树都是一个 "新的套娃"，都要遵循 "左→根→右" 的同一规则，直到摸到最里面的 "最小娃"（叶子节点），才会一层层退出来。
遍历历程
步骤 1：拆分二叉树的结构
先把这棵树拆成几个子树，方便逐层分析：
- 最底层子树：以
*为根，左子树是b，右子树是-（根为-，左c、右d） - 中间层子树：以
+为根，左子树是a，右子树是上面的*子树 - 整棵树的根：以
-为根，左子树是+子树，右子树是/子树（根为/，左e、右f）
步骤 2：从最底层子树开始中序遍历
中序遍历规则是：左子树 → 根节点 → 右子树。
子树 1：以-（根，子节点c、d）
- 中序遍历左子树
c→ 访问根-→ 中序遍历右子树d - 遍历结果：
c - d
子树 2：以*（根，子节点b、[c-d]）
- 中序遍历左子树
b→ 访问根*→ 中序遍历右子树[c-d] - 遍历结果：
b * c - d
子树 3：以+（根，子节点a、[b*c-d]）
- 中序遍历左子树
a→ 访问根+→ 中序遍历右子树[b*c-d] - 遍历结果：
a + b * c - d
子树 4：以/（根，子节点e、f）
- 中序遍历左子树
e→ 访问根/→ 中序遍历右子树f - 遍历结果：
e / f
步骤 3：遍历整棵树（根为-，子节点[a+b*c-d]、[e/f]）
整棵树的根是最顶层的-，按照 "左子树 → 根 → 右子树" 规则：
- 中序遍历左子树
[a + b * c - d]→ 访问根-→ 中序遍历右子树[e / f]
最终拼接结果：a + b * c - d - e / f
为什么 "d 之后会输出根节点 -"？
因为d是左子树（+子树）的最后一个节点 ，遍历完左子树后，就会回到整棵树的根节点-，所以d之后会输出这个根节点-，再继续遍历右子树e/f。
三种遍历的叶子节点的先后顺序
完全相同。
二叉树的遍历顺序（先序：根→左→右；中序：左→根→右；后序：左→右→根），叶子节点没有子节点 ，因此对叶子节点的遍历逻辑是：
无论先序、中序、后序，叶子节点的访问顺序都遵循 "从左到右" 的自然顺序（因为叶子节点的 "左 / 右子树" 为空，遍历顺序只由它在树中的左右位置决定）。
例如：一棵简单的二叉树（根为A，左叶子B，右叶子C）
- 先序序列：
A → B → C（叶子顺序B→C） - 中序序列：
B → A → C（叶子顺序B→C） - 后序序列：
B → C → A（叶子顺序B→C）
可见所有叶子节点的先后顺序完全一致。
2 线索二叉树
中序线索二叉树的线索连接原则 是：用 "线索" 替代二叉树中原本为空的左、右指针，指向该节点在中序遍历序列中的前驱 / 后继节点（中序遍历的顺序是 "左→根→右"）。
具体连接规则（结合你提供的图）：
- 空左指针→线索 ：节点的左指针若为空，改为指向该节点在中序遍历中的前驱节点 （图中用黑色虚线表示）；
- 空右指针→线索 ：节点的右指针若为空，改为指向该节点在中序遍历中的后继节点 （图中用红色实线表示）；
- 头结点 thrt 的特殊连接：头结点的左指针指向二叉树的根节点，右指针指向中序遍历的最后一个节点；同时，中序遍历的第一个节点的左指针、最后一个节点的右指针都指向头结点，形成双向循环链表。
以图中的节点为例（中序遍历序列是a + b * c - d - e / f）：
- 节点
a（中序第一个节点）：左指针为空，线索指向头结点thrt；右指针为空，线索指向其后继节点+； - 节点
f（中序最后一个节点）：左指针为空，线索指向其前驱节点/；右指针为空，线索指向头结点thrt； - 节点
c：右指针为空，线索指向其后继节点-（中间的-）。
简单说：线索是 "中序遍历顺序的前后关系" 在二叉树中的指针化体现，空指针不再闲置，而是记录遍历的前驱 / 后继。
3 树的二叉链表存储
（注意后面这个D写错了，倒数第3个里面应该写的是G）
4 树、森林、二叉树的转换
步骤 1：加线 ------ 兄弟相连
- 操作：在普通树中，同一个父节点的所有子节点（即兄弟节点）之间，从左到右依次用线连接起来。
- 作用：标记兄弟节点的顺序关系，为后续转换为二叉树的 "右兄弟" 指针做准备。
步骤 2：抹线 ------ 长兄为父
- 操作：保留父节点与 ** 第一个子节点（长兄）** 的连线，删除父节点与其他子节点的连线。
- 作用：将普通树的 "父 - 多子" 关系，简化为二叉树的 "父 - 左孩子" 关系（长兄作为父节点的左孩子）。
步骤 3：旋转 ------ 孩子靠左
- 操作 ：将整个结构以父节点为中心，顺时针旋转一定角度，使每个节点的左子节点是原树的子节点，右子节点是原树的兄弟节点。
- 作用：最终形成二叉树的 "左孩子右兄弟" 结构（符合二叉树的节点最多有 2 个子节点的规则）。
5 层次遍历二叉树
二叉树的递归/层序遍历 | labuladong 的算法笔记
cpp最简单的写法，回头来看也不过BFS遍历，c用队列模拟。
cpp
void levelOrderTraverse(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) {
return;
}
std::queue<TreeNode*> q;
q.push(root);
while (!q.empty()) {
TreeNode* cur = q.front();
q.pop();
// 访问 cur 节点
std::cout << cur->val << std::endl;
// 把 cur 的左右子节点加入队列
if (cur->left != nullptr) {
q.push(cur->left);
}
if (cur->right != nullptr) {
q.push(cur->right);
}
}
}6 习题
二叉树的度
答案是 B 。
二叉树的 "度" 是指树中所有节点的度的最大值（节点的度是该节点的子节点数量）。
由于二叉树的每个节点最多有 2 个子节点，因此二叉树的度最大为 2，但可以小于 2。
完全二叉树的顺序存储规则
这道题考查的是完全二叉树的顺序存储规则 ，但题目中的二叉树并没有说明是 "完全二叉树"，因此答案是 D（无法确定），原因如下：
核心知识点：完全二叉树的顺序存储规则
只有完全二叉树（节点按 "从上到下、从左到右" 填满的二叉树），才能用 "第i个节点的左孩子是2i，右孩子是(2i+1)" 的规则确定位置（这也是选项 A、B 的依据）。
题目中的二叉树不满足 "完全二叉树" 条件
题目只说 "按层次存储在数组中"，但普通二叉树（非完全二叉树）按层次存储时，节点的位置与 "2i、(2i+1)" 的规则无关。
例如：一棵普通二叉树（根节点 1，右孩子 2，无左孩子），按层次存储到数组中是[1,2]。此时根节点 1 的右孩子是 2，但按 "(2i+1)" 计算应为 3（超出数组范围），与实际位置不符。
因此，只有完全二叉树才能用 "2i、(2i+1)" 确定孩子位置，而题目中的二叉树未说明是完全二叉树，所以无法确定右孩子的位置。
二叉树的节点数与高度（深度）的关系
核心逻辑：
仅含度 0（叶子）和度 2 节点的二叉树，
"最少节点数" 的结构是 "满二叉树的单支扩展"
高度(h=4) 的示例：
cpp
第1层： 1（度2）
/ \
第2层： 2（度2） 3（度0）
/ \
第3层： 4（度2） 5（度0）
/ \
第4层： 6 7（均为度0）要让节点数最少，需保证每一层尽可能少节点，同时满足 "只有度 0 和度 2 节点" 的条件：
- 高度为h的二叉树，第 1 层（根）有 1 个节点（度 2）；
- 第 2 层：根的 2 个孩子（度 2），共 2 个节点；
- 第 3 层到第 h-1 层：每个节点都是度 2，每层节点数与上层相同；
- 第h层：所有节点都是度 0（叶子），共 2 个节点。
公式推导
这种 "最少节点" 的二叉树，结构等价于深度为h的满二叉树的最小形态，
节点数公式为：{最少节点数} = 2h - 1
例如：
h=1时，节点数 1（2×1-1=1）；
h=2时，节点数 3（2×2-1=3）；
h=3时，节点数 5（2×3-1=5），均符合 "仅度 0 和度 2 节点" 的条件）
因此答案是(2h-1)（选项 B）。
二叉树的顺序存储（完全二叉树形式）
核心思路是：顺序存储需将二叉树补为 "完全二叉树"，统计补全后总节点数与原节点数的差值，即为需要添加的空节点数。
