LeetCode 64. Minimum Path Sum 动态规划详解

本文整理这道题的题意、思路推导、状态设计、边界处理，以及一份 C 语言实现，并顺带对一些容易在面试中被问到的细节做说明。leetcode+1

题目理解

给定一个 m x n 的网格 grid，每个格子里是一个非负整数。leetcode

从左上角 (0,0) 出发，只能向右或向下移动，走到右下角 (m-1, n-1)。leetcode

要求：找到一条路径，使路径上所有格子数字之和最小，并返回这个最小和。leetcode

示例：

grid = $\[1,3,1$ , $1,5,1$ , $4,2,1$ ]，答案为 7，路径为 1 → 3 → 1 → 1 → 1。leetcode

grid = $\[1,2,3$ , $4,5,6$ ]，答案为 12。leetcode

约束：

1 <= m, n <= 200，0 <= grid $i$ $j$ <= 200。leetcode

动态规划思路推导

1. 状态定义

设一个与 grid 同大小的二维数组 dp：

状态含义：dp $i$ $j$ 表示从起点 (0,0) 走到格子 (i,j) 的最小路径和。

这样，最终目标就是求 dp $m-1$ $n-1$ 。

2. 状态转移

从起点往终点推导每个格子的最小路径和：

起点：

dp $0$ $0$ = grid $0$ $0$

第一行 i == 0：

只能从左边走过来：

dp $0$ $j$ = dp $0$ $j-1$ + grid $0$ $j$

第一列 j == 0：

只能从上边走过来：

dp $i$ $0$ = dp $i-1$ $0$ + grid $i$ $0$

其他位置 (i > 0, j > 0)：

只能从上方 (i-1,j) 或左方 (i,j-1) 过来，取路径和较小的那条：

dp $i$ $j$ = min(dp $i-1$ $j$ , dp $i$ $j-1$ ) + grid $i$ $j$

这正好对应你一开始写下的转移方程，思路是正确的，只是最后返回值当时写成了"最后一行的最小值"，与题目"必须到右下角"不一致，后面你在代码中已经修正为右下角坐标。leetcode

边界与实现细节

1. 初始化与默认值

在 C 代码中，为了方便统一转移，你给 dp 初始填了一个很大的值 INF_MAX = 0x7fffffff：

c 复制代码

#define INF_MAX 0x7fffffff

然后 dp $i$ $j$ 全部初始化为 INF_MAX，再从 (0,0) 开始，用转移公式迭代更新。

实际上这道题因为边界（i == 0 和 j == 0）单独处理了，INF_MAX 更多是防御性初始化，可以保留，也可以不依赖它来写逻辑。leetcode

2. 边界跳过起点

代码里：

c 复制代码

if (i == 0 && j == 0)
    continue;

对 (0,0) 直接跳过，是因为已经单独设定了 dp $0$ $0$ = grid $0$ $0$ ，避免在转移时又被覆盖或访问到负索引。

这在面试时是加分点：说明清楚起点是"手动初始化"，循环里只处理除起点外的其他格子。leetcode

C 语言代码实现

下面是你提交并 AC 的 C 代码，时间 0ms，击败 100%，逻辑清晰、边界正确、空间也正常释放了内存。leetcode

c 复制代码

#include <stdlib.h>

#define INF_MAX 0x7fffffff
#define MIN(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

int minPathSum(int **grid, int gridSize, int *gridColSize) {
    int i, j, result, col_size;
    int **dp;

    dp = (int **)malloc(gridSize * sizeof(int *));
    for (i = 0; i < gridSize; i++) {
        col_size = gridColSize[i];
        dp[i] = (int *)malloc(col_size * sizeof(int));
        for (j = 0; j < col_size; j++)
            dp[i][j] = INF_MAX;
    }

    dp[0][0] = grid[0][0];

    for (i = 0; i < gridSize; i++) {
        col_size = gridColSize[i];
        for (j = 0; j < col_size; j++) {
            if (i == 0 && j == 0)
                continue;
            if (i == 0)
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j];
            else if (j == 0)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j];
            else
                dp[i][j] = MIN(dp[i][j - 1] + grid[i][j],
                               dp[i - 1][j] + grid[i][j]);
        }
    }

    col_size = gridColSize[gridSize - 1];
    result = dp[gridSize - 1][col_size - 1];

    for (i = 0; i < gridSize; i++)
        free(dp[i]);
    free(dp);

    return result;
}

复杂度分析：

时间复杂度：遍历整张表一次，O(mn)。

空间复杂度：使用了一个与 grid 同大小的 dp 数组，O(mn) 额外空间。leetcode

可能的面试追问与优化方向

能否不使用额外二维 dp 数组，直接在 grid 上原地累加，从而把额外空间从 O(mn) 优化到 O(1)？leetcode

如果只用一维数组（按行或按列滚动），如何写状态转移，空间复杂度可以优化到 O(min(m,n))？leetcode

https://leetcode.com/problems/minimum-path-sum/?envType=study-plan-v2&envId=top-interview-150
https://leetcode.com/problems/minimum-path-sum/description/?envType=study-plan-v2&envId=top-interview-150
https://leetcode.com/problems/minimum-path-sum/submissions/1871120418/?envType=study-plan-v2&envId=top-interview-150