采用梯度下降法优化波形的自相关特性

雷达发射波形的自相关特性越好，越能够形成良好的主瓣增益，越低的旁瓣电平，主瓣增益能够使得检测性能提升。

ISL，积分旁瓣电平，ISL，英文全称为intergral sidelobe level，是衡量波形自相关函数旁瓣水平得指标。优化ISL主要有以下几点原因：

提升距离分辨率和检测性能：在雷达系统中，自相关函数的旁瓣会掩盖弱目标，导致检测性能下降。通过降低ISL，可以减少旁瓣对主瓣的干扰，从而提高多目标分辨能力和弱目标检测能力。
改善抗干扰能力：低旁瓣的波形可以减少来自不同距离的干扰，提高系统在复杂环境下的鲁棒性。
提高参数估计能力：在信号处理中，自相关函数的旁瓣会影响时延、多普勒等参数的估计精度。优化ISL可以提高这些参数的估计性能。
优化能量分布：恒模波形（即每个采样点的模值恒定）在通过功率放大器时不会引起失真，因此常被用于雷达和通信系统。优化恒模波形的ISL可以在不增加峰值功率的情况下，将能量更集中地分布在主瓣，从而提高系统性能。

ISL的计算公式如下：
ISL=∑k∈Ωside∣rk∣2 \text{ISL}=\sum_{k\in\Omega_{side}}|r_k|^2 ISL=k∈Ωside∑∣rk∣2

其中Ωside\Omega_{side}Ωside为距离旁瓣的索引，假如仅考虑k=0k=0k=0时延处自相关函数的主瓣增益，那么Ωside=−N+1,−N+2,⋯ ,−1,1,2,⋯ ,N−1\Omega_{side}={-N+1,-N+2,\cdots,-1,1,2,\cdots,N-1}Ωside=−N+1,−N+2,⋯,−1,1,2,⋯,N−1.。

其中自相关的计算公式如下
rk=∑k=−N+1N−1x(n)x∗(n−k) r_k=\sum_{k=-N+1}^{N-1}x(n)x^*(n-k) rk=k=−N+1∑N−1x(n)x∗(n−k)

下面通过梯度下降法来优化随机相位编码波形的ISL

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% 文件：gradient_descent_isl.m
% 目的：用梯度下降法最小化ISL（无约束版本）

clear all; close all;

% 参数设置
N = 128; % 波形长度
max_iter = 10; % 最大迭代次数
learning_rate = 1e-3; % 学习率
 epsilon = 1e-6;
% 初始化随机波形
pha = rand(N, 1);                %初始话随机相位编码
s = exp(1j * 2*pi * pha);        %随机相位编码波形，恒模
% 存储ISL历史
isl_history = zeros(max_iter, 1);

% 梯度下降主循环
for iter = 1:max_iter
    
    isl_current = objFunction(s);  
    isl_history(iter) = isl_current;
    
    % 3. 计算梯度（数值梯度，简单但慢 - 用于理解）
    
    gradient = myGradNum(s, epsilon);
    phi_new = angle(s) - learning_rate * gradient; %得到新的相位
    
    % 4. 更新波形（最速下降方向）
    s = exp(1j * (phi_new));
    % 显示进度
    if mod(iter, 50) == 0
        fprintf('迭代 %d, ISL = %.4f\n', iter, isl_current);
    end
end

% 可视化结果
figure('Position', [100, 100, 1200, 400]);

% 1. ISL收敛曲线
subplot(1, 3, 1);
plot(10*log10(isl_history), 'LineWidth', 2);
xlabel('迭代次数'); ylabel('ISL (dB)');
title('ISL收敛曲线');
grid on;

% 2. 优化前后的自相关函数对比
subplot(1, 3, 2);
hold on;
% 初始波形的自相关
s_initial = exp(1j * 2*pi * rand(N, 1));
r_initial = xcorr(s_initial);
r_initial = r_initial / max(abs(r_initial));
plot(-(N-1):(N-1), 20*log10(abs(r_initial)), 'b--', 'LineWidth', 1.5);

% 优化后波形的自相关
r_optimized = xcorr(s);
r_optimized = r_optimized / max(abs(r_optimized));
plot(-(N-1):(N-1), 20*log10(abs(r_optimized)), 'r-', 'LineWidth', 1.5);

xlabel('延迟'); ylabel('幅度 (dB)');
title('自相关函数对比');
legend('初始随机波形', '优化后波形');
grid on; ylim([-50, 0]);

% 3. 波形相位
subplot(1, 3, 3);
stem(angle(s), 'filled', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('采样点索引'); ylabel('相位 (弧度)');
title('优化后波形相位');
grid on;

为了方便，我们采用数值梯度

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%% 计算数值梯度
function grad = myGradNum(x, epsilon)
% 我编写的计算数值梯度的函数
% 输入：
% x: 当前信号
N = length(x);          %信号长度
gradient = zeros(N,1);  %梯度向量
for n = 1:N
    isl_current = objFunction(x);          %计算当前的目标函数
    s_plus = x;                            %传递给新x
    phi_plus  = angle(s_plus(n)) + epsilon; %取出来当前点的相位，添加一个小的扰动后的相位
    s_plus(n) = exp(1j*phi_plus);           %对当前点的相位进行赋值
    
    isl_plus =  objFunction(s_plus);        %计算添加扰动后的的目标函数
    % 数值梯度
    gradient(n) = (isl_plus - isl_current) / epsilon;
end
grad = gradient;                           %返回梯度
end

目标函数如下

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%% 自定义函数，目标函数
function objVal = objFunction(x)
    % 1. 计算当前自相关函数
    r = xcorr(x);
    r_center = fix(length(r)/2) + 1; % 主瓣中心位置
    
    % 2. 计算ISL（目标函数）
    sidelobe_indices = [1:r_center-1, r_center+1:length(r)]; %计算积分旁瓣电平
    objVal = sum(abs(r(sidelobe_indices)).^2);               %返回ISL
end

收敛曲线

第一个子图是目标函数值的收敛曲线，第二个是优化后的波形的自相关函数对比图，可以看到，红色曲线为优化后的，整体的旁瓣电平都降低了。

随机相位编码波形的自相关函数

这是优化后的自相关特性，其峰值旁瓣电平达到了-27.75 dB。

波形优化的自相关函数

可以看到经过波形优化后，ISL和PSL都有所下降，这证明了波形优化的有效性。