题目描述:
给定一个整数数组 Array，请计算该数组在每个指定区间内元素的总和。
输入:
第一行输入为整数数组 Array 的长度 n，接下来 n 行，每行一个整数，表示数组的元素。随后的输入为需要计算总和的区间。
5
1
2
3
4
5
0,1
2,4
思路:
对于本题,最直观的解法就是遍历一遍区间,将区间内的数全部相加
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int n, a, b;
cin >> n;
vector<int> vec(n);
for (int i = 0; i < n; i++){
cin >> vec[i];
}
while (cin >> a >> b) {
int sum = 0;
for (int i = a; i <= b; i++){
sum += vec[i];
}
cout << sum << endl;
}
} 但是这样做会超时 ,因为如果我们查询m次 ,每次给的区间都是0~n-1 ,这样算法的时间复杂度就是O(m+n)
对于数据量和查询量大的测试样例,时间花销是非常大的
下面我们引入一个前缀和的概念
前缀和的思想是重复利用计算过的子数组之和，从而降低区间查询需要累加计算的次数
我们使用一个新的数组p,用pi去记录原数组中0~i的值之和
i : 0 1 2 3 4 5
vec\[\] : 1 2 4 6 2 5
pi : 1 3 7 13 15 20
这样我们就得到了一个新的数组pi
此时
p5 = vec0+vec1+vec2+vec3+vec4+vec5
p1 = vec0+vec1
p5-p1 = vec2+vec3+vec4+vec5
我们发现p5-p1的值就是下标2~5的区间和
那得到了这个规律,我们要求区间和,就只需要拿p数组中的两个元素相减即可
而 p 数组是我们之前就计算好的累加和，所以后面每次求区间和的之后 我们只需要 O(1) 的时间操作
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
vector<int> vec(n);
vector<int> p(n);
int presum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> vec[i];
presum += vec[i];
p[i] = presum;
}
int a;
int b;
while (cin >> a >> b) {
int sum;
if (a == 0){
sum = p[b]
} ;
else{
sum = p[b] - p[a - 1]
};
cout << sum << endl;
}
}注意:
在求区间时,要注意求解区间,如果区间是2~5,那么使用的是p5-p1
而不是p5-p2
我们再来看几道用前缀和求解的题目
【题目描述】:
由于城市规划的限制，只允许将区域按横向或纵向划分成两个子区域，而且每个子区域都必须包含一个或多个区块。
为了确保公平竞争，你需要找到一种分配方式，使得 A 公司和 B 公司各自的子区域内的土地总价值之差最小。
【输入描述】
第一行输入两个正整数，代表 n 和 m。
接下来的 n 行，每行输出 m 个正整数。
【输出描述】
请输出一个整数，代表两个子区域内土地总价值之间的最小差距。
【输入示例】
3 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3
【输出示例】
0
【提示信息】
如果将区域按照如下方式划分：
1 2 | 3 2 1 | 3 1 2 | 3
两个子区域内土地总价值之间的最小差距可以达到 0。
思路:
这题也可以使用前缀和的解法,记录整个二维数组的数据总和sum
先创建一个新数组arr,用arri记录第i行的总和.
再用一个变量count,依次累加arri,每次累加完,A公司分得的土地是count,B公司是sum-count,计算土地之差,找到最小值
再重复一遍,计算按列分配的情况
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
int sum = 0;
vector<vector<int>>vec(n, vector<int>(m));
for (int i = 0;i < n;i++) {
for (int j = 0;j < m;j++) {
cin >> vec[i][j];
sum += vec[i][j];
}
}
//按行分配
vector<int>arr1(n,0);
for (int i = 0;i < n;i++) {
for (int j = 0;j < m;j++) {
arr1[i] += vec[i][j];
}
}
//统计前缀和,找最小差值
int minNum = INT_MAX;
int x = 0;
for (int i = 0;i < n-1;i++) {
x += arr1[i];
minNum = min(minNum, abs(x - (sum - x)));
}
//按列分配
vector<int>arr2(m, 0);
for (int i = 0;i < m;i++) {
for (int j = 0;j < n;j++) {
arr2[i] += vec[j][i];
}
}
x = 0;
for (int i = 0;i < m - 1;i++) {
x += arr2[i];
minNum = min(minNum, abs(x - (sum - x)));
}
cout << minNum;
return 0;
}力扣437:路径总和III
给定一个二叉树的根节点 root ，和一个整数 targetSum ，求该二叉树里节点值之和等于 targetSum 的 路径 的数目。
路径 不需要从根节点开始，也不需要在叶子节点结束，但是路径方向必须是向下的（只能从父节点到子节点）。
思路:
可以使用前缀和加哈希表的思路,每遍历到一个节点,就将该节点的值加到sum中
然后查找哈希表中是否存在num = sum-targetSum,因为sum-num = targetNum,如果存在,就说明该路径下有一个子路径和为targetNum
将当前前缀和存入哈希表中
遍历左子树和右子树进行相同操作
左右子树操作完要删除当前前缀和,相当于换一条路径继续查找(回溯的思想)
cpp
class Solution {
public:
void func(TreeNode* root,int targetSum,unordered_map<long long,int>& mp,long long sum,int& count){
if(root==nullptr)return;
sum+=root->val;//累加前缀和
if(mp.find(sum-targetSum)!=mp.end()){//查找是否存在子路径满足条件
count+=mp[sum-targetSum];
}
mp[sum]++;//加入哈希表中
func(root->left,targetSum,mp,sum,count);//递归左子树
func(root->right,targetSum,mp,sum,count);//递归右子树
mp[sum]--;//删除当前前缀和(回溯)
if(mp[sum]==0) mp.erase(sum);
}
int pathSum(TreeNode* root, int targetSum) {
unordered_map<long long,int>mp;
mp[0]++;//如果是空路径,前缀和为0
int count = 0;
func(root,targetSum,mp,0,count);
return count;
}
};