【每天学习一点算法 2026/01/08】计数质数

每天学习一点算法 2026/01/08

题目：计数质数

给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量 。

统计质数数量，什么是质数？就是只能被 1 或自身整除的数字

那么我们只需要判断每个数 i 在 $2, i - 1$ 范围内是否有能整除 i 的数字，有的话就不是质数，我们先定义一个存放质数的数组，循环判断小于 n 的数字是否是质数，然后将质数放到数组中，最后返回数组长度即可。

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function countPrimes(n: number): number {
  if (n <= 2) return 0 // 没有小于 2 的质数
  const primes: number[] = []
  a: for (let i = 2; i < n; i++) {
    for (let j = 2; j < i; j++) {
      if (i % j === 0) {
        continue a // 遇到能整除的就直接判断下一个数字
      }
    }
    primes.push(i) // 循环完成都没有跳出说明是质数
  }
  return primes.length
};

这个方法遇到大的数字肯定是会超时的，单次检查的时间复杂度是 O (n)

我们来分析一下，单次检查是否是质数的循环能不能优化一下

我们很容易就是想到，如果 j 能够整除 i 那是不是， i / j 也能整除 i，那我们只需要校验 j <= i / j 情况下的数字就行了，这样是满足质数条件的循环数就可以大大降低
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```
function countPrimes(n: number): number {
  if (n <= 2) return 0 // 没有小于 2 的质数
  const primes: number[] = [] 
  a: for (let i = 2; i < n; i++) {
    for (let j = 2; j <= i / j; j++) {
      if (i % j === 0) {
        continue a
      }
    }
    primes.push(i)
  }
  return primes.length
};
```
提交，后面比较大的数还是会超时。
埃氏筛：我们要换一个思路了，我们知道如果 i 能被 j 整除（不是质数）就是表示 i 是 j 的倍数，换而言之只要是 j 的倍数就不可能是质数，那我们创建一个数组，用 1 和 0表示这个位置的代表的数是否是质数，默认将所有数字都标记为 1，从 2 开始循环，首先将2的倍数都标记为 0，那么那么剩余 2 到 2 * 2 之间的 3 为质数，再将 3 的倍数全部标记为 0，以后循环至 n - 1，其实就是找出了小于 n 所有不是质数的数，循环过程中没被标记为 0 的就是质数了。
typescript 复制代码
```
function countPrimes(n: number): number {
  if (n <= 2) return 0 // 没有小于 2 的质数
  const isPrime: number[] = new Array(n).fill(1)
  let count = 0
  for (let i = 2; i < n; i++) {
    if (primes[i]) {
      count++
      for (let j = i + i; j < n; j += i) {
        primes[j] = 0
      }
    }
  }
  return count
};
```
这个方法还可以优化的，我们可以看到 6 既是 2 的倍数又是 3 的倍数，所以里面会有很多重复的判断，上面的取倍数都是从两倍开始取的，但是 $2, i - 1$ 的倍数前面都是标记过的，所以我们只需要从第 i 倍开始标记就行了。
typescript 复制代码
```
function countPrimes(n: number): number {
  if (n <= 2) return 0 // 没有小于 2 的质数
  const isPrime: number[] = new Array(n).fill(1)
  let count = 0
  for (let i = 2; i < n; i++) {
    if (primes[i]) {
      count++
      for (let j = i * i; j < n; j += i) {
        primes[j] = 0
      }
    }
  }
  return count
};
```
线性筛：这就是我们的极限了吗？其实这里面还是有重复标记的情况比如 2 和 3 都会标记 12，那我们怎么能保证这样的数不被重复标记呢？我们需要保证每个数只被他的最小质因数标记，要怎么做呢？放弃 "遍历质数 → 标记所有倍数"，改为 "循环倍数 → 标记已知的质数的倍数"
- 遍历 2 到 n 的每个数i（不管i是质数还是合数）；
- 用已经找到的质数列表里的质数p，去标记i * p为合数（这里其实标记的时 p 的 i 倍）；
- 核心约束：只有当p是i * p的最小质因数时，才标记。
核心就在于如何保证最小质因数才标记

假设当前遍历到 6，质数列表里有[2, 3, 5]，我们用p遍历质数列表：
1. 当i = 6，质数 p = 2：
  - i * p = 12，p = 2是 12 的最小质因数 → 可以标记 12 为合数；
  - 此时检查i % p == 0，说明p = 2也是i = 6的最小质因数；
  - 此时必须停止遍历后续质数（比如下一个 p = 3），因为如果继续：
    
    i * p = 6 * 3=18，但 18 的最小质因数是 2，不是 3 → 如果用 3 标记 18，就违反了 "最小质因数标记" 的规则，会导致 18 后续被 2 重复标记。
这就相当于我们把倍数放在了最外层的循环，遇到包含不同质因数的倍数时我们只取最小质因数，跳过后续质因数的标记。
typescript 复制代码
```
function countPrimes(n: number): number {
  if (n <= 2) return 0 // 没有小于 2 的质数
  const isPrime: number[] = new Array(n).fill(1)
  const primes: number[] = []
  for (let i = 2; i < n; i++) {
    if (isPrime[i]) {
      primes.push(i)
    }
    for (let j = 0; j < primes.length; j++) {
      if (primes[j] * i > n) break
      isPrime[primes[j] * i] = 0
      if (i % primes[j] === 0) break
    }
  }
  return primes.length
};
```
提交后，评分怎么还不如上面的啊？这对吗？

题目来源：力扣（LeetCode）