day126—二分查找—寻找旋转排序数组中的最小值（LeetCode-153）

题目描述

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次旋转后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

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输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 2：

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输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 4 次得到输入数组。

示例 3：

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输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。

提示：

n == nums.length
1 <= n <= 5000
-5000 <= nums[i] <= 5000
nums 中的所有整数 互不相同
nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转

解决方案：

代码逻辑拆解

边界初始化：
- len = nums.size()：获取数组长度；
- left = -1、right = len - 1：延续「开区间 (left, right)」的二分查找设计，初始查找范围是 (-1, len-1)，这种设计能避免处理数组首尾时的越界问题；
- mid = 0：用于存储二分查找的中间索引。
二分循环条件：
- while(left + 1 < right)：这是开区间二分的经典终止条件，保证 (left, right) 区间内还有至少一个元素可检查；当 left + 1 == right 时，区间内无剩余元素，循环终止。
核心的区间收缩逻辑（关键） ：旋转排序数组的核心特性是：数组被旋转后分成左右两个升序子数组 ，且左侧子数组的所有元素 ≥ 右侧子数组的所有元素，而 nums[len-1] 是右侧子数组的最后一个元素（也是右侧子数组的最大值）。基于此：
- 计算中间位置 mid = (left + right) / 2；
- 若 nums[mid] < nums[len-1]：说明 mid 落在右侧的升序子数组 （最小值所在的子数组），最小值一定在 mid 左侧（包括 mid），因此将 right = mid 缩小区间；
- 否则（nums[mid] ≥ nums[len-1]）：说明 mid 落在左侧的升序子数组 （数值更大的子数组），最小值一定在 mid 右侧，因此将 left = mid 缩小区间。
结果返回 ：循环结束时 left + 1 == right，此时 right 恰好指向数组最小元素的索引，返回 nums[right] 即可得到最小值。

示例验证

以 nums = [4,5,6,1,2,3] 为例：

初始：left=-1，right=5（nums[5]=3）；
第一次循环：mid=2，nums[2]=6 > 3 → left=2；
第二次循环：mid=3，nums[3]=1 < 3 → right=3；
此时 left+1=3 == right=3，循环终止，返回 nums[3]=1（正确）。

总结

算法利用旋转排序数组的特性 （最后一个元素区分左右升序子数组），通过二分查找将时间复杂度优化至 O(log n)；
「开区间 (left, right)」的边界设计简化了边界处理，无需额外判断数组是否旋转；
核心判断条件是比较 nums[mid] 和 nums[len-1]，以此确定最小值所在区间，最终 right 指向最小值索引。

函数源码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int len=nums.size();
        int right=len-1;
        int left=-1;
        int mid=0;
        
        while(left+1<right){
            mid=(right+left)/2;
            if(nums[mid]<nums[len-1]){
                right=mid;
            }else{
                left=mid;
            }
        }
        return nums[right];
    }
};