空间几何的基石：直角、柱、球坐标系的原理与转换详解

在解决物理和工程问题时，"选择比努力更重要" 。

选择一个合适的坐标系，往往能把一个复杂的偏微分方程变成简单的代数方程。

• 方方正正的物体 （如芯片、房间）：用直角坐标。
• 轴对称的物体 （如光纤、波导、同轴电缆）：用柱坐标。
• 中心对称的物体 （如原子、行星、点波源）：用球坐标。

本文将总结这三者之间的转换关系，并附带 Python 代码实现。

---

01. 直角坐标系 (Cartesian Coordinates)

这是我们最熟悉的"出厂设置"。

• 定义 ：通过三条互相垂直的轴 ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z) 来定位空间中的一点。
• 基矢量 ： x ^ , y ^ , z ^ \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} x^,y^,z^ (或 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} i ,j ,k )。
• 微元体积 ： d V = d x d y d z dV = dx dy dz dV=dxdydz。

---

02. 柱坐标系 (Cylindrical Coordinates)

想象你把一张二维的极坐标图，沿着 z 轴拉长成一根管子。

2.1 定义

由三个参数 ( ρ , ϕ , z ) (\rho, \phi, z) (ρ,ϕ,z) 构成：

• ρ \rho ρ (径向距离) ：点到 z 轴 的垂直距离 ( ρ ≥ 0 \rho \ge 0 ρ≥0)。
• ϕ \phi ϕ (方位角) ：点在 xy 平面上的投影与 x 轴的夹角 ( 0 ≤ ϕ < 2 π 0 \le \phi < 2\pi 0≤ϕ<2π)。
• z z z (高度)：与直角坐标的 z 完全一样。

2.2 转换公式

从 柱坐标 ( ρ , ϕ , z ) (\rho, \phi, z) (ρ,ϕ,z) → \to → 直角坐标 ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z)：
{ x = ρ cos ⁡ ϕ y = ρ sin ⁡ ϕ z = z \begin{cases} x = \rho \cos\phi \\ y = \rho \sin\phi \\ z = z \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=ρcosϕy=ρsinϕz=z

从 直角坐标 ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z) → \to → 柱坐标 ( ρ , ϕ , z ) (\rho, \phi, z) (ρ,ϕ,z)：
{ ρ = x 2 + y 2 ϕ = arctan ⁡ ( y x ) z = z \begin{cases} \rho = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \phi = \arctan(\frac{y}{x}) \\ z = z \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ρ=x2+y2 ϕ=arctan(xy)z=z
注意：计算 ϕ \phi ϕ 时通常使用 atan2(y, x) 函数以区分象限。

• 微元体积 ： d V = ρ d ρ d ϕ d z dV = \rho d\rho d\phi dz dV=ρdρdϕdz (注意多了一个雅可比因子 ρ \rho ρ)。

Image of Cylindrical coordinate system diagram

---

03. 球坐标系 (Spherical Coordinates)

这是处理球对称问题（如氢原子波函数）的神器。
注意：数学界和物理/工程界对符号的定义常有不同，本文采用ISO 标准/物理学通用定义。

3.1 定义

由三个参数 ( r , θ , ϕ ) (r, \theta, \phi) (r,θ,ϕ) 构成：

• r r r (径向距离) ：点到 原点 的距离 ( r ≥ 0 r \ge 0 r≥0)。
• θ \theta θ (极角/天顶角) ：点与 z 轴正方向 的夹角 ( 0 ≤ θ ≤ π 0 \le \theta \le \pi 0≤θ≤π)。
• ϕ \phi ϕ (方位角) ：点在 xy 平面上的投影与 x 轴的夹角 ( 0 ≤ ϕ < 2 π 0 \le \phi < 2\pi 0≤ϕ<2π)。这与柱坐标的 ϕ \phi ϕ 是一样的。

3.2 转换公式

从 球坐标 ( r , θ , ϕ ) (r, \theta, \phi) (r,θ,ϕ) → \to → 直角坐标 ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z)：
{ x = r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ y = r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ z = r cos ⁡ θ \begin{cases} x = r \sin\theta \cos\phi \\ y = r \sin\theta \sin\phi \\ z = r \cos\theta \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=rsinθcosϕy=rsinθsinϕz=rcosθ

从 直角坐标 ( x , y , z ) (x, y, z) (x,y,z) → \to → 球坐标 ( r , θ , ϕ ) (r, \theta, \phi) (r,θ,ϕ)：
{ r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arccos ⁡ ( z r ) ϕ = arctan ⁡ ( y x ) \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta = \arccos(\frac{z}{r}) \\ \phi = \arctan(\frac{y}{x}) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧r=x2+y2+z2 θ=arccos(rz)ϕ=arctan(xy)

• 微元体积 ： d V = r 2 sin ⁡ θ d r d θ d ϕ dV = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi dV=r2sinθdrdθdϕ (注意雅可比因子是 r 2 sin ⁡ θ r^2 \sin\theta r2sinθ)。

Image of Spherical coordinate system diagram

---

04. Python 代码实战

在实际计算中（特别是涉及大量数据点时），我们强烈建议使用 numpy，因为它能自动处理数组运算，并且 arctan2 函数能完美解决分母为 0 和象限判断的问题。

import numpy as np

class CoordTransform:
    """
    空间坐标系转换工具类
    支持单点或 Numpy 数组的批量转换
    """
    
    @staticmethod
    def cartesian_to_cylindrical(x, y, z):
        """直角 (x,y,z) -> 柱 (rho, phi, z)"""
        rho = np.sqrt(x**2 + y**2)
        phi = np.arctan2(y, x) % (2 * np.pi) # 归一化到 [0, 2pi]
        return rho, phi, z

    @staticmethod
    def cylindrical_to_cartesian(rho, phi, z):
        """柱 (rho, phi, z) -> 直角 (x,y,z)"""
        x = rho * np.cos(phi)
        y = rho * np.sin(phi)
        return x, y, z

    @staticmethod
    def cartesian_to_spherical(x, y, z):
        """直角 (x,y,z) -> 球 (r, theta, phi)"""
        r = np.sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
        # 防止 r=0 导致除零错误
        theta = np.zeros_like(r)
        mask = r > 0
        if isinstance(r, np.ndarray):
            theta[mask] = np.arccos(z[mask] / r[mask])
        elif r > 0:
            theta = np.arccos(z / r)
            
        phi = np.arctan2(y, x) % (2 * np.pi)
        return r, theta, phi

    @staticmethod
    def spherical_to_cartesian(r, theta, phi):
        """球 (r, theta, phi) -> 直角 (x,y,z)"""
        x = r * np.sin(theta) * np.cos(phi)
        y = r * np.sin(theta) * np.sin(phi)
        z = r * np.cos(theta)
        return x, y, z

# --- 测试案例 ---
if __name__ == "__main__":
    # 定义一个直角坐标点: (1, 1, 1)
    x, y, z = 1.0, 1.0, 1.0
    print(f"原始直角坐标: ({x}, {y}, {z})")

    # 1. 转柱坐标
    rho, phi, z_cyl = CoordTransform.cartesian_to_cylindrical(x, y, z)
    print(f"柱坐标: rho={rho:.2f}, phi={np.degrees(phi):.2f}°, z={z_cyl}")

    # 2. 转球坐标
    r, theta, phi_sph = CoordTransform.cartesian_to_spherical(x, y, z)
    print(f"球坐标: r={r:.2f}, theta={np.degrees(theta):.2f}°, phi={np.degrees(phi_sph):.2f}°")

    # 3. 验证还原
    x_new, y_new, z_new = CoordTransform.spherical_to_cartesian(r, theta, phi_sph)
    print(f"还原直角坐标: ({x_new:.2f}, {y_new:.2f}, {z_new:.2f})")