2025年12月GESP真题及题解(C++七级): 学习小组
题目描述
班主任计划将班级里的 n n n 名同学划分为若干个学习小组，每名同学都需要分入某一个学习小组中。班级里的同学依次以 1 , 2 , ... , n 1,2,\ldots,n 1,2,...,n 编号，第 i i i 名同学有其发言积极度 c i c_i ci。
观察发现，如果一个学习小组中恰好包含编号为 p 1 , p 2 , ... , p k p_1,p_2,\ldots,p_k p1,p2,...,pk 的 k k k 名同学，则该学习小组的基础讨论积极度为 a k a_k ak，综合讨论积极度为 a k + max { c p 1 , c p 2 , ... , c p k } − min { c p 1 , c p 2 , ... , c p k } a_k+\max\{c_{p_1},c_{p_2},\ldots,c_{p_k}\}−\min\{c_{p_1},c_{p_2},\ldots,c_{p_k}\} ak+max{cp1,cp2,...,cpk}−min{cp1,cp2,...,cpk}，也即基础讨论积极度加上小组内同学的最大发言积极度与最小发言积极度之差。
给定基础讨论积极度 a 1 , a 2 , ... , a n a_1,a_2,\ldots,a_n a1,a2,...,an，请你计算将这 n n n 名同学划分为学习小组的所有可能方案中，综合讨论积极度之和的最大值。
输入格式
第一行，一个正整数 n n n，表示班级人数。
第二行， n n n 个非负整数 c 1 , c 2 , ... , c n c_1,c_2,\ldots,c_n c1,c2,...,cn，表示每位同学的发言积极度。
第三行， n n n 个非负整数 a 1 , a 2 , ... , a n a_1,a_2,\ldots,a_n a1,a2,...,an，表示不同人数学习小组的基础讨论积极度。
输出格式
输出一行，一个整数，表示所有划分方案中，学习小组综合讨论积极度之和的最大值。
输入输出样例 #1
输入 #1
4
2 1 3 2
1 5 6 3输出 #1
12输入输出样例 #2
输入 #2
8
1 3 2 4 3 5 4 6
0 2 5 6 4 3 3 4输出 #2
21说明/提示
对于 40 % 40\% 40% 的测试点，保证 c i = 0 c_i=0 ci=0。
对于所有测试点，保证 1 ≤ n ≤ 300 1\le n\le 300 1≤n≤300， 0 ≤ c i ≤ 10 4 0\le c_i\le 10^4 0≤ci≤104， 0 ≤ a i ≤ 10 4 0\le a_i\le 10^4 0≤ai≤104。
思路分析
题目要求将 n n n 个同学划分成若干个学习小组，使得所有小组的综合讨论积极度之和最大。每个小组的得分由基础积极度 a k a_k ak 和组内最大最小发言积极度之差组成。
通过分析，我们可以将问题转化为：将同学按发言积极度 c i c_i ci 排序后，选择 m m m 个小组（每组至少两人），这些小组的最小值取排序后最小的 m m m 个值，最大值取排序后最大的 m m m 个值，并且一一配对。剩下的同学作为中间同学分配到这些小组中，或者作为单独小组（每组一人）。通过动态规划计算最优分配，从而得到最大总得分。
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 305;
int c[N], a[N];
int f[N][N]; // f[m][s] 表示 m 个小组分配 s 个中间同学的最大 sum(a_{2+t_i})
int main() {
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> c[i];
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
sort(c, c + n); // 按发言积极度排序
// 初始化 f 为负无穷，f[0][0] = 0
for (int i = 0; i <= n/2; i++) {
for (int j = 0; j <= n; j++) {
f[i][j] = -1e9;
}
}
f[0][0] = 0;
// 预处理 f[m][s]
for (int m = 1; m <= n/2; m++) {
int max_s = n - 2*m; // 中间同学最多有 n-2m 个
for (int s = 0; s <= max_s; s++) {
for (int t = 0; t <= s; t++) { // 当前小组分配 t 个中间同学
if (1 + t < n) { // a[1+t] 对应 a_{2+t}
f[m][s] = max(f[m][s], f[m-1][s-t] + a[1 + t]);
}
}
}
}
int ans = 0;
// 枚举小组数量 m
for (int m = 0; m <= n/2; m++) {
int r = n - 2*m; // 剩余同学数量（可能作为中间同学或单独小组）
// 计算极差贡献：最小的 m 个和最大的 m 个配对
int diff_sum = 0;
for (int i = 0; i < m; i++) {
diff_sum += c[n-1-i] - c[i];
}
// 枚举中间同学数量 s
for (int s = 0; s <= r; s++) {
int score = diff_sum + f[m][s] + (r - s) * a[0]; // a[0] 对应 a_1
ans = max(ans, score);
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}算法分析
- 排序 ：首先将同学按发言积极度 c i c_i ci 从小到大排序。
- 动态规划预处理 ：
- 定义
f[m][s]表示有 m m m 个小组（每组至少两人），分配 s s s 个中间同学时，这些小组的基础积极度之和的最大值。 - 转移方程：
f[m][s] = max_{t=0..s} f[m-1][s-t] + a[2+t]，其中 t t t 是当前小组分配的中间同学数。
- 定义
- 枚举与计算 ：
- 枚举小组数 m m m（ 0 ≤ m ≤ n / 2 0 \le m \le n/2 0≤m≤n/2），计算剩余同学数 r = n − 2 m r = n - 2m r=n−2m。
- 计算极差贡献：最小的 m m m 个 c i c_i ci 与最大的 m m m 个 c i c_i ci 一一配对，求和 c max − c min c_{\text{max}} - c_{\text{min}} cmax−cmin。
- 枚举中间同学数 s s s（ 0 ≤ s ≤ r 0 \le s \le r 0≤s≤r），计算总得分：极差贡献 +
f[m][s]+ 单独小组贡献 ( r − s ) × a 1 (r-s) \times a_1 (r−s)×a1。
- 输出最大值。
复杂度分析
- 时间复杂度： O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)，其中 n ≤ 300 n \le 300 n≤300，三重循环（枚举 m m m、 s s s 和 t t t）可接受。
- 空间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，用于存储
f数组。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";
return 0;
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· 文末祝福 ·
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";
return 0;
}