2025年12月GESP真题及题解(C++七级): 城市规划

题目描述

A 国有 n n n 座城市，城市之间由 m m m 条双向道路连接，任意一座城市均可经过若干条双向道路到达另一座城市。城市依次以 1 , 2 , ... , n 1,2,\ldots,n 1,2,...,n 编号。第 i i i（ 1 ≤ i ≤ m 1\le i\le m 1≤i≤m）条双向道路连接城市 u i u_i ui 与城市 v i v_i vi。

对于城市 u u u 和城市 v v v 而言，它们之间的连通度 d ( u , v ) d(u,v) d(u,v) 定义为从城市 u u u 出发到达城市 v v v 所需经过的双向道路的最少条数。由于道路是双向的，可以知道连通度满足 d ( u , v ) = d ( v , u ) d(u,v)=d(v,u) d(u,v)=d(v,u)，特殊地有 d ( u , u ) = 0 d(u,u)=0 d(u,u)=0。

现在 A 国正在规划城市建设方案。城市 u u u 的建设难度为它到其它城市的最大连通度。请你求出建设难度最小的城市，如果有多个满足条件的城市，则选取其中编号最小的城市。形式化地，你需要求出使得 max ⁡ 1 ≤ i ≤ n d ( u , i ) \max\limits_{1\le i\le n}d(u,i) 1≤i≤nmaxd(u,i) 最小的 u u u，若存在多个可能的 u u u 则选取其中最小的。

输入格式

第一行，两个正整数 n , m n,m n,m，表示 A 国的城市数量与双向道路数量。

接下来 m m m 行，每行两个整数 u i , v i u_i,v_i ui,vi，表示一条连接城市 u i u_i ui 与城市 v i v_i vi 的双向道路。

输出格式

输出一行，一个整数，表示建设难度最小的城市编号。如果有多个满足条件的城市，则选取其中编号最小的城市。

输入输出样例 1

输入 1

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输出 1

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输入输出样例 2

输入 2

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输出 2

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说明/提示

对于 40 % 40\% 40% 的测试点，保证 1 ≤ n ≤ 300 1\le n\le 300 1≤n≤300。

对于所有测试点，保证 1 ≤ n ≤ 2000 1\le n\le 2000 1≤n≤2000， 1 ≤ m ≤ 2000 1\le m\le 2000 1≤m≤2000， 1 ≤ u i , v i ≤ n 1\le u_i,v_i\le n 1≤ui,vi≤n。

思路分析

这个问题实际上是在求图的中心点（center of a graph）：

对于每个节点，计算它到所有其他节点的最短距离中的最大值（这称为该节点的离心率/eccentricity）
找出离心率最小的节点，如果多个节点离心率相同，选择编号最小的

关键点：

连通图保证：题目说明任意城市均可到达另一座城市，所以图是连通的
边权为1：每条道路的长度视为1，所以连通度就是最短路径的边数
n ≤ 2000, m ≤ 2000：可以直接对每个节点做BFS求最短路径

算法选择：

对每个节点运行BFS，计算它到所有其他节点的距离
记录每个节点的最大距离（离心率）
比较所有节点的离心率，找到最小值对应的最小节点编号

时间复杂度：O(n(n+m)) = O(n² + nm)，在n=2000, m=2000时最多约8×10⁶次操作，可以接受

代码实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2005;  // 最大城市数
const int INF = 1e9; // 无穷大值

vector<int> g[N];    // 邻接表存储图
int n, m;           // 城市数，道路数

// 从起点s开始BFS，返回从s到所有节点的最短距离
vector<int> bfs(int s) {
    vector<int> dist(n + 1, -1);  // 距离数组，初始化为-1表示未访问
    queue<int> q;
    
    dist[s] = 0;    // 起点距离为0
    q.push(s);
    
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        
        // 遍历所有邻接节点
        for (int v : g[u]) {
            if (dist[v] == -1) {  // 如果节点v未访问过
                dist[v] = dist[u] + 1;  // 更新距离
                q.push(v);              // 加入队列
            }
        }
    }
    
    return dist;
}

int main() {
    // 输入数据
    cin >> n >> m;
    
    // 读取m条边，构建无向图
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);  // 无向图，双向添加
    }
    
    int min_e = INF;  // 最小离心率（建设难度）
    int best_city = 0;           // 最佳城市编号
    
    // 对每个城市计算离心率
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 运行BFS获取从i到所有节点的距离
        vector<int> dist = bfs(i);
        
        // 计算离心率：从i到其他所有节点的最大距离
        int e = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            e= max(e, dist[j]);
        }
        
        // 更新最优城市
        if (e< min_e) {
            min_e = e;
            best_city = i;
        }
        // 如果离心率相同，选择编号更小的
        else if (e== min_e && i < best_city) {
            best_city = i;
        }
    }
    
    // 输出结果
    cout << best_city << endl;
    
    return 0;
}

代码解释

数据结构

vector<int> g[N]：邻接表存储图，g[u]存储与城市u直接相连的所有城市
vector<int> dist：BFS中的距离数组，dist[i]表示从起点到城市i的最短距离

BFS函数

参数：起点s
功能：使用BFS计算从s到所有节点的最短距离
返回值：距离数组，dist[i]为从s到i的最短距离

主函数逻辑

输入处理：读取n,m，构建无向图的邻接表
离心率计算 ：对每个城市i：
- 调用BFS(i)获取从i出发的最短距离
- 找出所有距离中的最大值，即离心率
最优选择 ：
- 如果离心率比当前最小值小，更新最小值和最佳城市
- 如果离心率相等但编号更小，更新最佳城市
输出结果：打印最佳城市编号

功能分析

1. 正确性保证

BFS保证计算的是最短路径（因为边权为1）
遍历所有节点计算离心率，不会遗漏
比较逻辑正确处理了多个最优解的情况

2. 时间复杂度

每个节点执行一次BFS：O(n+m)
总复杂度：O(n(n+m)) = O(n²+nm)
最坏情况：n=2000, m=2000，约8×10⁶次操作，完全可行

3. 空间复杂度

邻接表：O(n+m)
BFS队列和距离数组：O(n)
总空间：O(n+m) ≤ O(4000)，非常高效

4. 边界情况处理

图连通：题目保证，不需要额外检查
自环和重边：不影响BFS正确性
多个最优解：比较逻辑确保选择编号最小的

示例验证

示例1

复制代码

这是一个完全图（三角形）：

城市1：到2距离1，到3距离1 → 离心率=1
城市2：到1距离1，到3距离1 → 离心率=1
城市3：到1距离1，到2距离1 → 离心率=1
离心率相同，选择编号最小的1

示例2

复制代码

图结构：1-2-3-4，且2-4相连

城市1：到2(1), 3(2), 4(2) → 离心率=2
城市2：到1(1), 3(1), 4(1) → 离心率=1 ← 最小
城市3：到1(2), 2(1), 4(1) → 离心率=2
城市4：到1(2), 2(1), 3(1) → 离心率=2
选择城市2

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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