回溯算法精解：排列、子集与组合

好的，我们来总结一下使用深度优先搜索（DFS）解决排列问题、子集问题和组合问题的核心思路与代码模板。这三类问题都是回溯算法的经典应用场景，本质都是通过递归遍历所有可能的解空间，但在具体实现和问题特性上有所区别。

一、排列问题（Permutations）

问题特征 ：求一个集合中所有元素的全排列 ，顺序不同视为不同解。
核心思路 ：每次递归选择一个未被使用的元素加入当前路径，直到路径长度等于原集合长度。
关键点 ：需要标记元素是否已被使用（如 visited 数组）。

代码模板

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def permute(nums):
    res = []
    path = []
    visited = [False] * len(nums)  # 标记元素是否使用
    
    def dfs():
        if len(path) == len(nums):  # 终止条件：路径长度等于集合大小
            res.append(path.copy())
            return
        for i in range(len(nums)):
            if visited[i]: continue  # 跳过已使用的元素
            visited[i] = True
            path.append(nums[i])
            dfs()  # 递归下一层
            path.pop()  # 回溯
            visited[i] = False
    
    dfs()
    return res

二、子集问题（Subsets）

问题特征 ：求一个集合的所有子集（包括空集），顺序无关。
核心思路 ：每个元素有"选"或"不选"两种状态，递归遍历所有选择分支。
关键点：无需考虑顺序，通常按索引顺序递归避免重复。

代码模板

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def subsets(nums):
    res = []
    path = []
    
    def dfs(start):  # start: 当前可选的起始索引
        res.append(path.copy())  # 所有路径都是子集
        for i in range(start, len(nums)):
            path.append(nums[i])
            dfs(i + 1)  # 下一层从 i+1 开始选
            path.pop()  # 回溯
    
    dfs(0)
    return res

三、组合问题（Combinations）

问题特征 ：从集合中选取 k 个元素的所有组合 （顺序无关）。
核心思路 ：在子集问题基础上增加长度限制（len(path) == k）。
关键点：可通过剪枝（如剩余元素不足时提前终止）优化效率。

代码模板

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def combine(n, k):
    res = []
    path = []
    
    def dfs(start):
        if len(path) == k:  # 终止条件：路径长度等于 k
            res.append(path.copy())
            return
        for i in range(start, n + 1):
            # 剪枝：剩余元素不足时跳过
            if n - i + 1 < k - len(path): 
                break
            path.append(i)
            dfs(i + 1)  # 下一层从 i+1 开始选
            path.pop()  # 回溯
    
    dfs(1)
    return res

四、问题对比与总结

问题类型	核心区别	终止条件	去重方式
排列	顺序敏感	`len(path) == len(nums)`	`visited` 数组
子集	顺序无关	无固定终止（每一步都记录）	按索引顺序递归（`start` 参数）
组合	顺序无关	`len(path) == k`	按索引顺序递归（`start` 参数）

五、补充说明

剪枝优化 ：在组合问题中，可通过判断剩余元素数量提前终止循环（如 n - i + 1 < k - len(path)）。
去重处理 ：若原集合包含重复元素（如 [1,1,2]），需在循环中跳过重复值（如 if i > start and nums[i] == nums[i-1]: continue）。
时间复杂度：排列（ $O(n!)$ ）、子集（ $O(2\^n)$ ）、组合（ $O(C_n\^k)$ ），剪枝可显著减少实际递归次数。

通过灵活调整终止条件、元素选择范围和去重逻辑，可解决大多数变体问题（如重复元素、求和约束等）。