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摘要
LeetCode 375「猜数字大小 II」是一道典型的"看起来像二分，实际上是博弈 + 动态规划"的题 。
很多人第一眼都会想：这不就是二分查找吗？
但一旦你真正开始算"最坏情况下要花多少钱"，就会发现这题完全不是在问"猜得快不快"，而是在问：
怎么猜，才能保证"无论对方选什么数字"，你都不会破产。
这个问题在真实世界里非常常见，比如：
- 风险对冲下的最坏成本评估
- 决策树里的最坏路径控制
- 不确定环境下的保底策略设计
这篇文章会从直觉思路一步步推导到标准解法，最后给出一份工程上稳定、好理解的 Swift 实现。
描述
游戏规则可以浓缩成一句话：
- 数字在
[1, n] - 你每猜错一次，就要为这次猜的数字 付钱
- 对方会"诚实"告诉你是大了还是小了
- 你必须保证：不管对方选哪个数字，你都有钱赢
目标不是"平均花费最少"，而是：
在最倒霉的情况下，你最少需要准备多少钱，才能稳赢。
这一点非常关键，它直接决定了我们要用的是：
- 最坏情况（max）
- 而不是期望值或平均值
题解答案
核心思想一句话总结：
对每个区间
[l, r]，枚举第一次猜的数字k，取"左右区间最坏情况中的较大值"，再加上k本身的成本，最终取最小的那个k。
听起来有点绕，我们拆开说。
题解代码分析
为什么这是区间 DP
假设当前要猜的范围是 [l, r]。
你如果第一次猜 k：
-
猜对了：花费
0 -
猜错了：
- 数字在
[l, k-1] - 或
[k+1, r] - 你要面对的是更糟的那一边
- 数字在
所以成本是：
text
k + max( cost(l, k-1), cost(k+1, r) )我们的目标是：
在 [l, r] 里选一个 k，让这个值 尽可能小。
DP 状态定义
text
dp[l][r] = 在区间 [l, r] 内，保证获胜所需的最小现金边界条件：
l >= r：不需要猜，花费0
状态转移：
text
dp[l][r] = min over k in [l, r] (
k + max(dp[l][k-1], dp[k+1][r])
)
Swift 可运行 Demo 代码
swift
class Solution {
func getMoneyAmount(_ n: Int) -> Int {
if n <= 1 { return 0 }
// dp[l][r] 表示在区间 [l, r] 内保证赢所需的最小花费
var dp = Array(
repeating: Array(repeating: 0, count: n + 2),
count: n + 2
)
// 区间长度从 2 开始
if n >= 2 {
for len in 2...n {
for l in 1...n - len + 1 {
let r = l + len - 1
dp[l][r] = Int.max
for k in l...r {
let cost = k + max(
k - 1 >= l ? dp[l][k - 1] : 0,
k + 1 <= r ? dp[k + 1][r] : 0
)
dp[l][r] = min(dp[l][r], cost)
}
}
}
}
return dp[1][n]
}
}代码为什么这样写
1. 为什么区间长度从小到大
因为：
dp[l][r]依赖dp[l][k-1]和dp[k+1][r]- 它们的区间一定比
[l, r]小
这就是典型的区间 DP 填表顺序。
2. 为什么要 max
因为你不是在和一个"善良的系统"博弈，而是在和一个最坏情况博弈。
对方一定会让你走最贵的那条路。
3. 为什么不是二分
二分是为了减少猜测次数 ，
而这道题是为了控制最坏成本。
这两者在很多区间上并不一致。
示例测试及结果
swift
let solution = Solution()
print(solution.getMoneyAmount(1)) // 0
print(solution.getMoneyAmount(2)) // 1
print(solution.getMoneyAmount(10)) // 16输出结果：
text
0
1
16和题目示例完全一致。
时间复杂度
三层循环：
- 区间长度：
O(n) - 左端点：
O(n) - 枚举猜测点：
O(n)
总体时间复杂度：
text
O(n³)在 n <= 200 的限制下，这是完全可接受的。
空间复杂度
使用了一个 (n+2) x (n+2) 的 DP 表：
text
O(n²)空间换稳定性，非常值得。
总结
LeetCode 375 是一道非常标准的"最坏情况决策问题"：
- 它不是考你猜得聪不聪明
- 而是考你是否考虑到了所有不利情况
这类题在真实工程中非常常见，比如：
- 风控系统里的最大损失评估
- 自动化决策中的保底策略
- 游戏 AI 的最坏路径规划
如果你能把这道题的 DP 推清楚，其实你已经掌握了一大类博弈型区间 DP 的通用套路。