考研线代第五课：特征值基础与相似对角化

文章目录

一、特征值与特征向量的核心概念
- 1.1 定义（仅针对方阵）
- 1.2 核心性质
- - 1.2.1 特征向量的非零性（核心约束）
  - 1.2.2 等价变形与特征方程
- 1.3 补充概念
二、特征值与特征向量的求解流程
- 2.1 求特征值
- 2.2 求特征向量
- 2.3 示例（2阶矩阵求解）
三、特征值与特征向量的性质
- 3.1 特征值的性质
- - 3.1.1 特征值的判定
  - 3.1.2 核心衍生性质
- 3.2 特征向量的性质
- 3.3 特殊矩阵的特征值与特征向量
- 3.4 常用矩阵特征值与特征向量对照表
四、矩阵的相似
- 4.1 定义
- 4.2 相似矩阵的性质
- - 4.2.1 等价关系（自反/对称/传递）
  - 4.2.2 相似不变量（必要条件，核心必考）
  - 4.2.3 多项式传递性
- 4.3 矩阵相似的判别方法
五、矩阵的相似对角化
- 5.1 定义
- 5.2 相似对角化的条件
- 5.3 相似对角化的步骤
- 5.4 例题（矩阵幂计算）
六、实对称矩阵的正交相似对角化
- 6.1 实对称矩阵的特殊性质
- 6.2 正交相似对角化的步骤
- 6.3 示例（实对称矩阵正交对角化）

一、特征值与特征向量的核心概念

1.1 定义（仅针对方阵）

设AAA是nnn阶方阵，若存在数λ\lambdaλ和非零 nnn维列向量x\boldsymbol{x}x，满足Ax=λxA\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}Ax=λx，则

λ\lambdaλ称为AAA的特征值，描述矩阵对特征向量的伸缩倍数（保持共线关系）；
非零向量x\boldsymbol{x}x称为AAA对应于λ\lambdaλ的特征向量 （向量AxAxAx与xxx线性相关）。

核心关联：

nnn阶方阵的特征值（计重数）共nnn个，是特征方程的nnn个根，对应nnn维空间线性变换的nnn个（含重数）独立伸缩方向；

特征值是方阵的「方向固有属性」，行列式是特征值的乘积（「整体衍生属性」）：∏i=1nλi=∣A∣\prod_{i=1}^n \lambda_i = |A|∏i=1nλi=∣A∣，行列式反映全局缩放效果，无法反推单个特征值。

矩阵对应特征值λ\lambdaλ的全部特征向量，就是齐次线性方程组(A−λE)x=0(A-\lambda E)x=0(A−λE)x=0基础解系的所有非零线性组合。基础解系是特征向量的 "代表"，所有特征向量都能由基础解系线性表示，但特征向量≠基础解系。

1.2 核心性质

1.2.1 特征向量的非零性（核心约束）

特征向量必须是非零向量。若x=0\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}x=0，则对任意λ\lambdaλ都满足A0=λ0A\boldsymbol{0} = \lambda \boldsymbol{0}A0=λ0，无法体现矩阵的 "特征"，故无意义。

1.2.2 等价变形与特征方程

定义式可变形为(A−λE)x=0(A - \lambda E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}(A−λE)x=0。该齐次线性方程组有非零解的充要条件 是系数矩阵的行列式为 0，即：∣A−λE∣=0|A - \lambda E| = 0∣A−λE∣=0，此式称为特征方程 ，f(λ)=∣A−λE∣f(\lambda) = |A - \lambda E|f(λ)=∣A−λE∣称为特征多项式。

矩阵A−λEA-\lambda EA−λE称为特征矩阵，形式为：

A−λE=[a11−λa12⋯a1na21a22−λ⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann−λ] A - \lambda E = \begin{bmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \end{bmatrix} A−λE= a11−λa21⋮an1a12a22−λ⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann−λ

1.3 补充概念

概念	精准定义	关键公式/说明
特征子空间	对应同一特征值λ\lambdaλ的所有特征向量（非零）加上零向量构成的nnn维向量空间，记为VλV_\lambdaVλ	Vλ={x∈Rn∣(A−λE)x=0}V_\lambda = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \mid (A - \lambda E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\}Vλ={x∈Rn∣(A−λE)x=0}
代数重数	特征值λ\lambdaλ在特征多项式中的重根次数，记为mλm_\lambdamλ	如f(λ)=(λ−2)3(λ+1)f(\lambda)=(\lambda-2)^3(\lambda+1)f(λ)=(λ−2)3(λ+1)，则λ=2\lambda=2λ=2的代数重数m2=3m_2=3m2=3
几何重数	特征子空间VλV_\lambdaVλ的维数（即(A−λE)x=0(A - \lambda E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}(A−λE)x=0基础解系的向量个数），记为gλg_\lambdagλ	gλ=n−r(A−λE)g_\lambda = n - r(A -\lambda E)gλ=n−r(A−λE)（r(A−λE)=r(λE−A)r(A - \lambda E) = r(\lambda E - A)r(A−λE)=r(λE−A)）

重要注记：

非方阵无特征值/特征向量，可通过ATAA^TAATA（nnn阶）或AATAA^TAAT（mmm阶）间接分析（AAA为m×nm \times nm×n矩阵）；

几何重数 ≤ 代数重数（gλ≤mλg_\lambda \leq m_\lambdagλ≤mλ）是矩阵的普遍性质，也是判定矩阵可对角化的核心依据（需满足gλ=mλg_\lambda = m_\lambdagλ=mλ）。

二、特征值与特征向量的求解流程

2.1 求特征值

解特征方程∣A−λE∣=0|A - \lambda E| = 0∣A−λE∣=0，得λ1,λ2,...,λn\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_nλ1,λ2,...,λn（含重根）。

✅ 实用技巧：计算行列式时优先利用"按行/列展开""提取公因子""行/列变换化简"，避免直接展开3阶及以上行列式。

2.2 求特征向量

对每个特征值λi\lambda_iλi，解(A−λiE)x=0(A - \lambda_i E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}(A−λiE)x=0（与(λiE−A)x=0(\lambda_i E - A)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}(λiE−A)x=0等价，系数矩阵仅差负号，解相同）：

对系数矩阵A−λiEA - \lambda_i EA−λiE做初等行变换，化为行最简阶梯形矩阵；
确定自由未知量个数（即几何重数gλi=n−r(A−λiE)g_{\lambda_i} = n - r(A - \lambda_i E)gλi=n−r(A−λiE)）；
令自由未知量依次取标准单位向量形式（如1,0,...,01,0,\dots,01,0,...,0；0,1,...,00,1,\dots,00,1,...,0等），得到基础解系ξ1,ξ2,...,ξgλi\boldsymbol{\xi}1, \boldsymbol{\xi}2, \dots, \boldsymbol{\xi}{g{\lambda_i}}ξ1,ξ2,...,ξgλi（线性无关特征向量）；
对应λi\lambda_iλi的全部特征向量 为：基础解系的所有非零线性组合，即k1ξ1+k2ξ2+⋯+kgλiξgλi(k1,k2,...,kgλi 不同时为 0)k_1\boldsymbol{\xi}1 + k_2\boldsymbol{\xi}2 + \dots + k{g{\lambda_i}}\boldsymbol{\xi}{g{\lambda_i}} \quad (k_1,k_2,\dots,k_{g_{\lambda_i}} \text{ 不同时为 0})k1ξ1+k2ξ2+⋯+kgλiξgλi(k1,k2,...,kgλi 不同时为 0)。

2.3 示例（2阶矩阵求解）

求矩阵A=[2112]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}A=[2112]的特征值与特征向量：

特征方程：∣A−λE∣=∣2−λ112−λ∣=(λ−1)(λ−3)=0|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-3) = 0∣A−λE∣= 2−λ112−λ =(λ−1)(λ−3)=0，得λ1=1\lambda_1=1λ1=1，λ2=3\lambda_2=3λ2=3；
求λ1=1\lambda_1=1λ1=1的特征向量：解(A−E)x=0(A - E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}(A−E)x=0，即[1111]x=0\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}[1111]x=0，行变换得[1100]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}[1010]，自由未知量为x2x_2x2，令x2=1x_2=1x2=1，得基础解系ξ1=[−11]\boldsymbol{\xi}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}ξ1=[−11]，全部特征向量为k1ξ1k_1\boldsymbol{\xi}_1k1ξ1（k1≠0k_1 \neq 0k1=0）；
求λ2=3\lambda_2=3λ2=3的特征向量：解(A−3E)x=0(A - 3E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}(A−3E)x=0，即[−111−1]x=0\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}[−111−1]x=0，行变换得[1−100]\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}[10−10]，令x2=1x_2=1x2=1，得基础解系ξ2=[11]\boldsymbol{\xi}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}ξ2=[11]，全部特征向量为k2ξ2k_2\boldsymbol{\xi}_2k2ξ2（k2≠0k_2 \neq 0k2=0）。

三、特征值与特征向量的性质

3.1 特征值的性质

3.1.1 特征值的判定

λ0\lambda_0λ0是AAA的特征值 ⟺ ∣λ0E−A∣=0\iff |\lambda_0 E - A| = 0⟺∣λ0E−A∣=0（可用于建立方程求参数或证明行列式为 0）；
λ0\lambda_0λ0不是AAA的特征值 ⟺ ∣λ0E−A∣≠0\iff |\lambda_0 E - A| \neq 0⟺∣λ0E−A∣=0（此时矩阵λ0E−A\lambda_0 E - Aλ0E−A可逆、满秩）。

必考结论 ：若∣aA+bE∣=0|aA + bE| = 0∣aA+bE∣=0（或aA+bEaA + bEaA+bE不可逆）且a≠0a \neq 0a=0，则−ba-\frac{b}{a}−ab是AAA的特征值。

证明：∣aA+bE∣=0 ⟹ ∣−a(−baE−A)∣=0 ⟹ (−a)n∣−baE−A∣=0 ⟹ ∣−baE−A∣=0|aA + bE| = 0 \implies |-a(-\frac{b}{a}E - A)| = 0 \implies (-a)^n |-\frac{b}{a}E - A| = 0 \implies |-\frac{b}{a}E - A| = 0∣aA+bE∣=0⟹∣−a(−abE−A)∣=0⟹(−a)n∣−abE−A∣=0⟹∣−abE−A∣=0，故λ0=−ba\lambda_0 = -\frac{b}{a}λ0=−ab。

3.1.2 核心衍生性质

设nnn阶矩阵AAA的特征值为λ1,λ2,...,λn\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_nλ1,λ2,...,λn（含重根），则：

迹的关系 ：特征值之和等于矩阵的迹（主对角线元素之和），即：∑i=1nλi=tr(A)=a11+a22+⋯+ann\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}∑i=1nλi=tr(A)=a11+a22+⋯+ann
行列式关系 ：特征值之积等于矩阵的行列式，即：∏i=1nλi=∣A∣\prod_{i=1}^n \lambda_i = |A|∏i=1nλi=∣A∣
可逆性判定 ：矩阵AAA可逆的充要条件是其所有特征值都不为 0（因∣A∣≠0 ⟺ ∏i=1nλi≠0|A| \neq 0 \iff \prod_{i=1}^n \lambda_i \neq 0∣A∣=0⟺∏i=1nλi=0）。
拓展应用 ：若已知AAA的n−1n-1n−1个特征值，可通过"迹"快速求第nnn个特征值（如3阶矩阵AAA的迹为5，已知特征值1、2，则第三个特征值为2）。

3.2 特征向量的性质

基础约束：特征向量必非零（零向量无意义）；
线性无关性：
- 不同特征值的特征向量线性无关；
- kkk重特征值至多有kkk个线性无关特征向量（几何重数 ≤ 代数重数）；
组合性质：
- 同一特征值的特征向量非零线性组合仍为该特征值的特征向量；
- 不同特征值的特征向量非零线性组合不是任何特征值的特征向量；
唯一性 ：一个特征向量仅对应一个特征值（即若ξ\boldsymbol{\xi}ξ是λ1\lambda_1λ1的特征向量，则必不是λ2\lambda_2λ2（λ1≠λ2\lambda_1 \neq \lambda_2λ1=λ2）的特征向量）。

映射关系："一对多"（一个特征值对应无数个特征向量，一个特征向量仅对应一个特征值）。
📌 推广结论 ：若λ1,...,λs\lambda_1, \dots, \lambda_sλ1,...,λs是互异，ξi1,...,ξiri\boldsymbol{\xi}{i1}, \dots, \boldsymbol{\xi}{ir_i}ξi1,...,ξiri是λi\lambda_iλi的线性无关特征向量，则集合{ξ11,...,ξ1r1,...,ξs1,...,ξsrs}\{\boldsymbol{\xi}{11}, \dots, \boldsymbol{\xi}{1r_1},\quad \dots, \quad\boldsymbol{\xi}{s1}, \dots, \boldsymbol{\xi}{sr_s}\}{ξ11,...,ξ1r1,...,ξs1,...,ξsrs}线性无关；

3.3 特殊矩阵的特征值与特征向量

矩阵类型	特征值特征	特征向量说明
三角/对角矩阵	特征值 = 主对角线元素（因∣A−λE∣=∏i=1n(aii−λ)=0\|A - \lambda E\| = \prod_{i=1}^n (a_{ii} - \lambda)=0∣A−λE∣=∏i=1n(aii−λ)=0）	对角矩阵的特征向量为标准单位向量e1,...,en\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_ne1,...,en
分块对角矩阵A=(A1OOA2)A=\begin{pmatrix}A_1&O\\O&A_2\end{pmatrix}A=(A1OOA2)	特征值 =A1A_1A1特征值 ∪A2A_2A2特征值	对应A1A_1A1特征向量补零得AAA特征向量，对应A2A_2A2特征向量补零同理
秩1方阵（r(A)=1r(A)=1r(A)=1）	λ1=tr(A)\lambda_1=\text{tr}(A)λ1=tr(A)，λ2=⋯=λn=0\lambda_2=\dots=\lambda_n=0λ2=⋯=λn=0	0 的几何重数g0=n−1g_0 = n-1g0=n−1，代数重数m0≥n−1m_0 \geq n-1m0≥n−1（仅当tr(A)=0\text{tr}(A)=0tr(A)=0时m0=nm_0=nm0=n）
每行元素和为mmm的方阵	mmm是特征值，其余特征值需解特征方程	对应mmm的特征向量为全1向量A(11⋮1)=(mm⋮m)=m(11⋮1)A \begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m\\m\\\vdots\\m\end{pmatrix} = m \begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}A 11⋮1 = mm⋮m =m 11⋮1

补充：秩1矩阵的推导（A=αβTA = \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\beta}^TA=αβT，，，α,β\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}α,β为非零列向量）

Aα=αβTα=(βTα)αA\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\beta}^T\boldsymbol{\alpha} = (\boldsymbol{\beta}^T\boldsymbol{\alpha})\boldsymbol{\alpha}Aα=αβTα=(βTα)α，故非零特征值λ=βTα=tr(A)\lambda = \boldsymbol{\beta}^T\boldsymbol{\alpha} = \text{tr}(A)λ=βTα=tr(A)；

r(A)=1r(A)=1r(A)=1，故(A−0E)x=0(A - 0E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}(A−0E)x=0的基础解系含n−1n-1n−1个向量，即 0 的几何重数为n−1n-1n−1。

3.4 常用矩阵特征值与特征向量对照表

若λ\lambdaλ是AAA的特征值，ξ\boldsymbol{\xi}ξ是对应特征向量，则：

矩阵	特征值	对应的特征向量
AAA	λ\lambdaλ	ξ\boldsymbol{\xi}ξ
ATA^TAT	λ\lambdaλ	需单独解(λE−AT)x=0(\lambda E - A^T)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}(λE−AT)x=0
kAkAkA	kλk\lambdakλ	ξ\boldsymbol{\xi}ξ（k≠0k\neq0k=0可回推）
AkA^kAk	λk\lambda^kλk	ξ\boldsymbol{\xi}ξ
f(A)f(A)f(A)	f(λ)f(\lambda)f(λ)	ξ\boldsymbol{\xi}ξ
A−1A^{-1}A−1	1λ\frac{1}{\lambda}λ1	ξ\boldsymbol{\xi}ξ（可回推）
A∗A^*A∗	∣A∣λ\frac{\|A\|}{\lambda}λ∣A∣	ξ\boldsymbol{\xi}ξ（AAA可逆时可回推）
P−1APP^{-1}APP−1AP	λ\lambdaλ	P−1ξP^{-1}\boldsymbol{\xi}P−1ξ
PAP−1PAP^{-1}PAP−1	λ\lambdaλ	PξP\boldsymbol{\xi}Pξ

考试常考回推。注意，除注明外，其它都不可回推。
📝 推导示例（P−1APP^{-1}APP−1AP的特征向量）：由于Aξ=λξ→P−1AEξ=λP−1ξ→P−1AP(P−1ξ)=λ(P−1ξ)A\xi=\lambda\xi\rightarrow P^{-1}AE\xi=\lambda P^{-1}\xi\rightarrow P^{-1}AP(P^{-1}\xi)=\lambda (P^{-1}\xi)Aξ=λξ→P−1AEξ=λP−1ξ→P−1AP(P−1ξ)=λ(P−1ξ)，故λ\lambdaλ是P−1APP^{-1}APP−1AP的特征值，对应的特征向量是P−1ξP^{-1}\xiP−1ξ.

🚨 重要推论：若矩阵AAA满足f(A)=0f(A)=0f(A)=0（fff为多项式），则AAA的任一特征值λ\lambdaλ必满足f(λ)=0f(\lambda)=0f(λ)=0（可用于快速求特征值范围）。

四、矩阵的相似

4.1 定义

设A,BA, BA,B为nnn阶方阵，若存在nnn阶可逆矩阵PPP，使得P−1AP=BP^{-1}AP = BP−1AP=B，则称AAA与BBB相似，记为A∼BA \sim BA∼B，可逆矩阵PPP称为相似变换矩阵。

💡 关系层级：相似⊂\subset⊂等价

等价：要求PAQ=BPAQ = BPAQ=B（P,QP,QP,Q可逆，适用于任意矩阵）；

相似：要求Q=P−1Q = P^{-1}Q=P−1（仅适用于方阵）。

4.2 相似矩阵的性质

4.2.1 等价关系（自反/对称/传递）

相似是特殊的等价，故等价的三个性质相似也有：

反身性：A∼AA \sim AA∼A（取P=EP = EP=E）；
对称性：A∼B ⟹ B∼AA \sim B \implies B \sim AA∼B⟹B∼A（取P−1P^{-1}P−1为变换矩阵）；
传递性：A∼BA \sim BA∼B且B∼C ⟹ A∼CB \sim C \implies A \sim CB∼C⟹A∼C（取P,QP,QP,Q为变换矩阵，B=P−1AP,C=Q−1BQB=P^{-1}AP, C=Q^{-1}BQB=P−1AP,C=Q−1BQ）。

4.2.2 相似不变量（必要条件，核心必考）

若A∼BA \sim BA∼B，则以下性质完全相同：

特征多项式、特征值（含重数）；
迹（tr(A)=tr(B)\text{tr}(A) = \text{tr}(B)tr(A)=tr(B)）；
行列式（∣A∣=∣B∣|A| = |B|∣A∣=∣B∣）；
秩（r(A)=r(B)r(A) = r(B)r(A)=r(B)）；
各阶主子式之和；
特征矩阵的秩（r(λE−A)=r(λE−B)r(\lambda E - A) = r(\lambda E - B)r(λE−A)=r(λE−B)，即λE−A∼λE−B\lambda E - A \sim \lambda E - BλE−A∼λE−B）。

上述性质是矩阵相似的必要非充分条件 。例如，A=[1101]A = \begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}A=[1011]与E=[1001]E = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}E=[1001]特征值相同但不相似（AAA不可对角化，EEE是对角矩阵）。
🔑 关键提醒：相似矩阵特征值相同 ，但特征向量不同 。若A∼BA\sim BA∼B（B=P−1APB=P^{-1}APB=P−1AP），则：

若ξ\boldsymbol{\xi}ξ是AAA对应λ\lambdaλ的特征向量，则P−1ξP^{-1}\boldsymbol{\xi}P−1ξ是BBB对应λ\lambdaλ的特征向量，即Aξ=λξ ⟺ B(P−1ξ)=λ(P−1ξ)A\boldsymbol{\xi}=\lambda\boldsymbol{\xi} \iff B(P^{-1}\boldsymbol{\xi})=\lambda(P^{-1}\boldsymbol{\xi})Aξ=λξ⟺B(P−1ξ)=λ(P−1ξ)；

若ξ\boldsymbol{\xi}ξ是BBB对应λ\lambdaλ的特征向量，则PξP\boldsymbol{\xi}Pξ是AAA对应λ\lambdaλ的特征向量，即Bξ=λξ ⟺ A(Pξ)=λ(Pξ)B\boldsymbol{\xi}=\lambda\boldsymbol{\xi}\iff A(P\boldsymbol{\xi})=\lambda(P\boldsymbol{\xi})Bξ=λξ⟺A(Pξ)=λ(Pξ)。

4.2.3 多项式传递性

若A∼BA \sim BA∼B，则：

Am∼BmA^m \sim B^mAm∼Bm（mmm为正整数）；
对任意多项式f(x)f(x)f(x)，有f(A)∼f(B)f(A) \sim f(B)f(A)∼f(B)（因P−1f(A)P=f(P−1AP)=f(B)P^{-1}f(A)P = f(P^{-1}AP) = f(B)P−1f(A)P=f(P−1AP)=f(B)）；
若AAA可逆，则A−1∼B−1A^{-1} \sim B^{-1}A−1∼B−1、A∗∼B∗A^* \sim B^*A∗∼B∗；
AT∼BTA^T \sim B^TAT∼BT；
若A∼CA \sim CA∼C且B∼DB \sim DB∼D，则(AOOB)∼(COOD)\begin{pmatrix} A& O \\ O & B\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} C & O \\ O & D\end{pmatrix}(AOOB)∼(COOD)。

AT∼BTA^T \sim B^TAT∼BT推导：若B=P−1APB=P^{-1}APB=P−1AP，则BT=PTAT(P−1)T=PTAT(PT)−1B^T=P^T A^T (P^{-1})^T = P^T A^T (P^T)^{-1}BT=PTAT(P−1)T=PTAT(PT)−1，令Q=(PT)−1Q=(P^T)^{-1}Q=(PT)−1，则BT=Q−1ATQB^T=Q^{-1}A^TQBT=Q−1ATQ

需注意AT∼BTA^T \sim B^TAT∼BT的变换矩阵与其他性质不同，不可混用（如A2+ATA^2+A^TA2+AT与B2+BTB^2+B^TB2+BT未必相似）。

4.3 矩阵相似的判别方法

定义法 ：找到可逆矩阵PPP满足P−1AP=BP^{-1}AP = BP−1AP=B；
传递性法 ：若A∼ΛA \sim \LambdaA∼Λ且Λ∼B\Lambda \sim BΛ∼B，则A∼BA \sim BA∼B；
必要条件排除法：若矩阵不满足上述 "不变量"（如特征值不同、秩不同等），则必不相似；
实对称矩阵特例 ：实对称矩阵A∼B ⟺ A,BA \sim B \iff A,BA∼B⟺A,B特征值相同（充要条件）。

五、矩阵的相似对角化

5.1 定义

若nnn阶矩阵AAA与对角矩阵Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)相似，则称AAA可相似对角化 ，Λ\LambdaΛ为AAA的相似标准形 （对角元为AAA的特征值，顺序与PPP的列向量一一对应，PPP的每列是AAA对应特征值的特征向量）。

与等价标准形的区别：

等价标准形：PAQ=(ErOOO)PAQ = \begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}PAQ=(ErOOO)（适用于非方阵，P,QP,QP,Q独立可逆）；

相似对角化：仅针对方阵，要求Q=P−1Q = P^{-1}Q=P−1。

5.2 相似对角化的条件

由P−1AP=ΛP^{-1}AP = \LambdaP−1AP=Λ得AP=PΛAP = P\LambdaAP=PΛ，记P=[ξ1,ξ2,⋯ ,ξn],Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)P = [\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n] ,\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)P=[ξ1,ξ2,⋯,ξn],Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)，

则[Aξ1,Aξ2,⋯ ,Aξn]=[λ1ξ1,λ2ξ2,⋯ ,λnξn][A\xi_1, A\xi_2, \cdots, A\xi_n] = [\lambda_1\xi_1, \lambda_2\xi_2, \cdots, \lambda_n\xi_n][Aξ1,Aξ2,⋯,Aξn]=[λ1ξ1,λ2ξ2,⋯,λnξn]，即Aξi=λiξiA\xi_i = \lambda_i\xi_iAξi=λiξi（i=1,2,⋯ ,ni = 1,2,\cdots,ni=1,2,⋯,n）。

因PPP可逆，故ξ1,ξ2,⋯ ,ξn\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_nξ1,ξ2,⋯,ξn线性无关，由此得：

条件类型	具体表述
充要条件1	AAA有nnn个线性无关的特征向量（所有特征值的几何重数之和为nnn）
充要条件2	AAA的每个kkk重特征值（代数重数mλ=km_\lambda=kmλ=k）对应的几何重数gλ=kg_\lambda=kgλ=k（即k=n−r(A−λE)k=n-r(A-\lambda E)k=n−r(A−λE)）
充分条件1	AAA有nnn个互不相同的特征值（单根特征值几何重数=1，总和为nnn）
充分条件2	AAA为实对称矩阵（必可对角化）

✅ 判别一个矩阵是否可相似对角化：

检查是否为实对称矩阵（是则必可对角化）；

检查特征值是否为单根（是则可对角化）；

若有重特征值，验证"几何重数=代数重数"（满足则可对角化，否则不可）。

5.3 相似对角化的步骤

求特征值 ：解∣A−λE∣=0|A - \lambda E| = 0∣A−λE∣=0，得λ1,...,λn\lambda_1, \dots, \lambda_nλ1,...,λn（含重根）；
求线性无关特征向量 ：对每个λi\lambda_iλi，解(A−λiE)x=0(A - \lambda_i E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}(A−λiE)x=0，得基础解系；
验证可对角化 ：若线性无关特征向量总数 = 矩阵阶数nnn，则可对角化，否则不可；
构造矩阵 ：令P=[ξ1,ξ2,⋯ ,ξn]P=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]P=[ξ1,ξ2,⋯,ξn]（ξi\boldsymbol{\xi}_iξi为线性无关特征向量），则P−1AP=ΛP^{-1}AP = \LambdaP−1AP=Λ（Λ\LambdaΛ对角元为对应特征值）。

💡 核心应用：若A∼ΛA \sim \LambdaA∼Λ，则P−1AkP=ΛkP^{-1}A^kP = \Lambda^kP−1AkP=Λk、P−1f(A)P=f(Λ)=diag(f(λ1),...,f(λn))P^{-1}f(A)P = f(\Lambda)= \text{diag}(f(\lambda_1), \dots, f(\lambda_n))P−1f(A)P=f(Λ)=diag(f(λ1),...,f(λn))，可大幅简化矩阵幂/多项式计算。
⚠️ 注意事项：

PPP不唯一：同一特征值的基础解系可替换，PPP列序调整时，Λ\LambdaΛ对角元顺序需同步调整；

反求AAA：利用A=PΛP−1A = P\Lambda P^{-1}A=PΛP−1；

并非所有矩阵都可对角化（如[1101]\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}[1011]不可对角化）。

5.4 例题（矩阵幂计算）

已知A=[2112]A = \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}A=[2112]，求A10A^{10}A10。

解：AAA的特征值λ1=1\lambda_1=1λ1=1，λ2=3\lambda_2=3λ2=3，特征向量ξ1=[−11]\boldsymbol{\xi}_1=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}ξ1=[−11]，ξ2=[11]\boldsymbol{\xi}_2=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}ξ2=[11]；

构造P=[−1111]P = \begin{bmatrix}-1&1\\1&1\end{bmatrix}P=[−1111]，则P−1=12[−1111]P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1&1\\1&1\end{bmatrix}P−1=21[−1111]，Λ=[1003]\Lambda = \begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}Λ=[1003]；

A10=PΛ10P−1=[−1111][100310]12[−1111]=12[310+1310−1310−1310+1]A^{10} = P\Lambda^{10}P^{-1} = \begin{bmatrix}-1&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&3^{10}\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1&1\\1&1\end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}3^{10}+1&3^{10}-1\\3^{10}-1&3^{10}+1\end{bmatrix}A10=PΛ10P−1=[−1111][100310]21[−1111]=21[310+1310−1310−1310+1]。

六、实对称矩阵的正交相似对角化

6.1 实对称矩阵的特殊性质

满足AT=AA^T = AAT=A的实矩阵称为实对称矩阵，其核心性质：

A−1A^{-1}A−1、A∗A^*A∗、ATA^TAT均为实对称矩阵；
特征值全为实数，特征向量均为实向量；
⭐️不同特征值的特征向量必正交（普通矩阵仅线性无关）；
必可通过正交矩阵 对角化（Q−1AQ=QTAQ=ΛQ^{-1}AQ = Q^TAQ = \LambdaQ−1AQ=QTAQ=Λ）；
每个kkk重特征值的几何重数 = 代数重数（gλ=mλg_\lambda = m_\lambdagλ=mλ）。

普通非实对称矩阵未必存在正交矩阵QQQ，使其相似对角化。

QQQ中特征向量ηi\eta_iηi与Λ\LambdaΛ中的特征值λi\lambda_iλi对应，且QQQ不唯一。
📌 正交 vs 线性无关：正交是更强的条件（正交必线性无关，线性无关未必正交）。

普通矩阵AAA：若λ1≠λ2 ⟹ ξ1\lambda_1 \neq \lambda_2 \implies \xi_1λ1=λ2⟹ξ1与ξ2\xi_2ξ2线性无关；

实对称矩阵AAA：若λ1≠λ2 ⟹ ξ1⊥ξ2\lambda_1 \neq \lambda_2 \implies \xi_1 \perp \xi_2λ1=λ2⟹ξ1⊥ξ2。

6.2 正交相似对角化的步骤

求特征值 ：解∣A−λE∣=0|A - \lambda E| = 0∣A−λE∣=0，得实特征值λ1,...,λn\lambda_1, \dots, \lambda_nλ1,...,λn（含重根）；
求特征向量 ：对每个λi\lambda_iλi，解(A−λiE)x=0(A - \lambda_i E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}(A−λiE)x=0，得基础解系；
正交化 ：仅对相同特征值 的线性无关特征向量做施密特正交化（不同特征值的特征向量已正交，无需处理）；

PS：施密特正交化在《考研线代第三课：向量组》的向量空间一节中有详细说明。

回顾：设α1,α2\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2α1,α2线性无关，正交化得：

β1=α1\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1β1=α1，β2=α2−<α2,β1><β1,β1>β1\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 - \frac{<\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\beta}_1>}{<\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1>}\boldsymbol{\beta}_1β2=α2−<β1,β1><α2,β1>β1；

高阶同理：βk=αk−∑i=1k−1<αk,βi><βi,βi>βi\boldsymbol{\beta}_k = \boldsymbol{\alpha}k - \sum{i=1}^{k-1}\frac{<\boldsymbol{\alpha}_k,\boldsymbol{\beta}_i>}{<\boldsymbol{\beta}_i,\boldsymbol{\beta}_i>}\boldsymbol{\beta}_iβk=αk−∑i=1k−1<βi,βi><αk,βi>βi。
单位化 ：将正交化后的向量单位化为ηi＝βi∣∣βi∣∣(i＝1,...,n))\eta_i＝\frac{\beta_i}{||\beta_i||}\quad(i＝1,...,n))ηi＝∣∣βi∣∣βi(i＝1,...,n))；
构造正交矩阵 ：令Q=[η1,η2,⋯ ,ηn]Q = [\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n]Q=[η1,η2,⋯,ηn]，则QQQ为正交矩阵，且Q−1AQ=QTAQ=ΛQ^{-1}AQ=Q^TAQ=\LambdaQ−1AQ=QTAQ=Λ。

特征值相同是两个矩阵相似的必要条件。当A,BA, BA,B均为实对称矩阵时，A∼BA \sim BA∼B的充要条件是A,BA, BA,B有相同的特征值。

6.3 示例（实对称矩阵正交对角化）

求A=[1111]A = \begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}A=[1111]的正交相似对角矩阵：

特征方程：∣A−λE∣=∣1−λ111−λ∣=λ(λ−2)=0|A - \lambda E| = \begin{vmatrix}1-\lambda&1\\1&1-\lambda\end{vmatrix} = \lambda(\lambda-2) = 0∣A−λE∣= 1−λ111−λ =λ(λ−2)=0，得λ1=0\lambda_1=0λ1=0，λ2=2\lambda_2=2λ2=2；
求特征向量：
- λ1=0\lambda_1=0λ1=0：解(A−0E)x=0(A-0E)\boldsymbol{x}=0(A−0E)x=0，得基础解系α1=[−11]\boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}α1=[−11]；
- λ2=2\lambda_2=2λ2=2：解(A−2E)x=0(A-2E)\boldsymbol{x}=0(A−2E)x=0，得基础解系α2=[11]\boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}α2=[11]；
正交化：α1\boldsymbol{\alpha}_1α1与α2\boldsymbol{\alpha}_2α2已正交，无需处理；
单位化：η1=12[−11]\boldsymbol{\eta}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}η1=2 1[−11]，η2=12[11]\boldsymbol{\eta}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}η2=2 1[11]；
构造正交矩阵：Q=[−12121212]Q = \begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}Q=[−2 12 12 12 1]，则QTAQ=[0002]Q^TAQ = \begin{bmatrix}0&0\\0&2\end{bmatrix}QTAQ=[0002]。