叉积的标准介绍
这里以讨论点积相同的方式来讨论叉积，它既有着标准介绍方法，又可从线性变换的角度深刻理解。我们从二维空间说起，假如你有两个向量V和W，考虑他们所张成的平行四边形。这句话的意思是，你取一份V的副本，
将它的起点移动到W的终点，再取一份W的副本，将它的起点已到V的终点，屏幕上显示的这四个向量围成了一个平行四边形。V和W的叉积，就是这个平行四边形的面积。差不多是这样，我们还要考虑定向问题，
大致来讲，如果V在W的右侧，那么V叉乘W为正，并且值等于平行四边形的面积。但是如果V在W的左侧，那么V叉乘W为负，即平行四边形的面积的相反数。注意，这就是说顺序会对叉积有影响。如果你不计算W叉乘V，而是交互二者位置
计算那么叉积就是之前计算结果的相反数。我用来记住顺序的方法是，当你按序求两个基向量的叉积，即i冒叉乘j冒，结果应该是正的。实际上，基向量的顺序就是定向的基础。因为i冒在j冒的右侧，所以我记得V
在W的右侧时，V叉乘W为正。以现在所示的向量为例，我直接告诉你这个平行四边形的面积为7。又因为V在W的左侧，他们的叉积应该是负的，所以V叉乘W等于-7。不过，你当然想不依赖别人给出的答案，直接计算出它的面积。
行列式就在这里起了作用。
对于二维向量的叉积，V叉乘W。你需要将V的坐标作为矩阵的第一列，W的坐标作为矩阵的第二列。然后直接计算行列式，这是因为，由V和W的坐标为列所构成的矩阵，与一个将i冒和j冒分别移至V和W的线性变换相对于。
行列式就是变换前后面积变化比例的度量。而我们关注的，就是以i冒和j冒为边的单位正方形在变换之后，这个单位正方形变成我们关心的平行四边形。所以说，通常用来度量面积变化比例的行列式，在这里给出了平行四边形
的面积，因为这个平行四边形来源于面积为1的正方形。更重要的是，如果V在W的左侧，也就是说变换后定向发生了改变，那么行列式就为负。举个例子，比如说V的坐标(-3,1),W的坐标为(2,1)，以他们的坐标为列构成的矩阵
行列式为(-3)x1-2x1，也就是-5。所以很显然，他们构成的平行四边形的面积为5.而且因为V在W的左侧，结果自然为负。对于你所学到的任何新的运算，我建议你在脑海里好好想象。只是为了能让李对它有一些直观感受。
比如说，你可能注意到一点，当两个向量垂直或至少是接近垂直时，和他们指向接近时相比，此时的叉积更大。因为当两条边接近垂直时，平行四边形的面积会更大。你可能还注意到了其他东西，比如你放大其中一个向量，比如将
V放大为3倍，那么平行四边形的面积也同时放大为3倍。也就是说3V叉乘W正好是V叉乘W的3倍。
即便上面这种数学运算看上去非常好，但是严格来讲，刚才描述的东西并不是叉积。真正的叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量。和之前一样，我们还是要考虑这两个向量围成的平行四边形，而这个
平行四边形的面积依然会发挥重要的作用。说的具体一些，比如这两个向量围成的平行四边形的面积为2.5,但是我之前提到，叉积的结果不是一个数，而是一个向量，这个向量的长度就是平行四边形的面积，在这里
也就是2.5，而这个向量的方向与平行四边形(所在的面)垂直。不过是哪个边呢？因为长度为2.5并且垂直于给定面的向量有两个，这里就需要用到右手定则。比如说，假设向量V的长度为2，指向Z轴正方向，
向量W的长度为2，指向y轴的正方向，在这个简单的例子里，他们围成的图形实际上是正方形。因为他们相互垂直且长度相同，又因为正方形的面积为4。所以他们的叉积的一个长度为4的向量。根据右手定则
他们的叉积应该指向x轴负方向。因此V和W的叉积是-4乘以i冒。对于更一般的情况，如果你愿意的话，这里有个公司可以让你记忆。但是他可以由一个三阶行列式代替，使这种运算记忆起来更加简便。这一过程，
咋一看非常奇怪，你写下一个三阶矩阵，第二列和第三列分别为V和W的坐标，第一列却是基向量i冒、j冒和k冒。然后计算这个矩阵的行列式。很明显，令人糊涂的是，让向量作为一个矩阵元究竟是什么意思？
老师经常告诉学生，这只是符号上的技巧，假装i冒、j冒和K冒都是数，当你进行计算时，最终得到的是这三个基向量的线性组合。学生也只是相信，这个线性组合所决定的向量，是唯一一个与V和W垂直，长度为
V和W围成平行四边形的面积，并且遵循右手定则的向量。当然从某种意义上说，这就是符号上的技巧，但是这么做是有原因的。行列式重要性的体现并非完全巧合。基向量作为矩阵元也不是信手而为。要理解这一切的源头，
需要用到上期视频中介绍的对偶性的思想。下一节将介绍。