弗洛伊德·沃肖算法 Floyd Warshall Algorithm

给定大小为的矩阵，其中表示从节点到节点的边权重。如果没有直接边，则设为一个较大的值（例如10⁸）以表示无穷大。对角线元素为，因为节点到自身的距离为零。该图可能包含负边权重，但不包含任何负权重环。dist\[\]\[\]n x ndist $i$ $j$ ijdist $i$ $j$ dist $i$ $i$ 0

你的任务是确定图中所有节点对i 和j之间的最短路径距离。

示例：

输入：dist\[\]\[\] = $\[0， 4， 10⁸， 5， 10⁸$ ，

$10⁸， 0， 1， 10⁸， 6$ ，

$2， 10⁸， 0， 3， 10⁸$ ，

$10⁸， 10⁸， 1， 0， 2$ ，

1， 10⁸， 10⁸， 4， 0\]

输出： $\[0， 4， 5， 5， 7$ ，

$3， 0， 1， 4， 6$ ，

$2， 6， 0， 3， 5$ ，

$3， 7， 1， 0， 2$ ，

1， 5， 5， 4， 0\]

解释：

输出中的每个单元显示了节点到节点的最短距离，该距离是通过考虑所有可能的中间节点，使用Floyd-Warshall算法计算得出的。dist $i$ $j$ ij

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弗洛伊德·沃沙尔算法：

Floyd--Warshall 算法通过维护一个表示节点间距离的二维数组来工作。最初，该数组仅使用节点之间的直接边填充。然后，算法通过检查中间节点是否有更短路径，逐步更新这些距离。

该算法适用于有向和无向加权图，并且可以处理具有正权和负权边的图。

注意：对于循环为负的图（环中边的和为负）则不适用。

弗洛伊德·沃肖尔算法的理念：

假设我们有一个图的 dist\[\]\[\]，顶点从 0 到 V-1 有 V 个。现在我们需要评估一个距离\[\]\[\]，其中dist $i$ $j$ 代表顶点i到j的最短路径。

假设顶点 i 到 j 之间有中间节点。Floyd Warshall 算法背后的理念是将从 0 到 V-1 的每个顶点 k 逐一视为中间节点。当我们考虑顶点k时，必定已经考虑过0到k-1的顶点。因此，我们使用前顶点构建的最短路径，以构建包含顶点k的较短路径。

下图展示了上述弗洛伊德·沃沙尔算法中最优子结构性质：

为什么弗洛伊德·沃肖尔作品（正确性证明）？

该算法依赖于最优子结构原理，即：

如果从 i 到 j 的最短路径经过某个顶点 k，那么从 i 到 k 和从 k 到 j 的路径也必须是最短路径。

迭代方法确保在考虑顶点k时，所有仅使用顶点0到k-1的最短路径都已计算完成。

算法结束时，所有最短路径都被最优计算，因为每个可能的中间顶点都被考虑过。

为什么弗洛伊德-沃歇尔算法更适合密集图，而稀疏图则不然？

稠密图：边数远多于顶点数的图。

稀疏图：边数极少的图。

无论图中有多少条边，Floyd Warshall 算法运行的 O（V）3因此它最适合稠密图。对于稀疏图，约翰逊算法更为适用。

逐步实现

首先，将每个顶点视为所有顶点对之间的可能中间节点，更新距离矩阵。

逐个遍历每个顶点。对于每个选中的顶点，尝试改进通过该顶点的最短路径。k

当我们选择顶点数 k 作为中间顶点时，我们已经将顶点 {0， 1， 2， .. k-1} 视为中间顶点。

对于源顶点和目的顶点的每一对（i， j），有两种可能的情况。

k 不是从 i 到 j 的最短路径中的中间顶点。我们保持 dist $i$ $j$ 的值不变。

k 是从 i 到 j 的最短路径中的中间顶点。如果 dist $i$ $j$ > dist $i$ $k$ + dist $k$ $j$ 的值更新为 dist $i$ $k$ + dist $k$ $j$

对每个顶点重复此过程，直到考虑所有中间可能性。k

复制代码

import java.util.*;

class GfG {

    // Solves the all-pairs shortest path
    // problem using Floyd Warshall algorithm
    static void floydWarshall(int[][] dist){
        int V = dist.length;

        // Add all vertices one by one to
        // the set of intermediate vertices.
        for (int k = 0; k < V; k++) {

            // Pick all vertices as source one by one
            for (int i = 0; i < V; i++) {

                // Pick all vertices as destination
                // for the above picked source
                for (int j = 0; j < V; j++) {

                    // shortest path from
                    // i to j 
                    if(dist[i][k] != 1e8 && dist[k][j]!= 1e8)
                    dist[i][j] = Math.min(dist[i][j],dist[i][k] + dist[k][j]);
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args)
    {
        int INF = 100000000;

        int[][] dist = { { 0, 4, INF, 5, INF },
                         { INF, 0, 1, INF, 6 },
                         { 2, INF, 0, 3, INF },
                         { INF, INF, 1, 0, 2 },
                         { 1, INF, INF, 4, 0 } };

        floydWarshall(dist);
        for (int i = 0; i < dist.length; i++) {
            for (int j = 0; j < dist.length; j++) {
                System.out.print(dist[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

输出

0 4 5 5 7

3 0 1 4 6

2 6 0 3 5

3 7 1 0 2

1 5 5 4 0

时间复杂度：O（V3），其中V是图中的顶点数，我们运行三个大小为V的嵌套循环。

辅助空间：O（1）。

点击这里了解详细分析：弗洛伊德·沃沙尔算法的复杂度分析

注意：上述程序只打印最短距离。我们也可以通过将前驱信息存储在单独的二维矩阵中来修改解法，打印最短路径。

弗洛伊德-沃歇尔算法的实际应用

在计算机网络中，该算法可用于寻找网络中所有节点对之间的最短路径。这被称为网络路由。

航空业中，航班连接性旨在寻找机场之间的最短航线。

地理信息系统（GIS）应用通常涉及分析空间数据，如道路网络，以寻找地点之间的最短路径。

Kleene算法是Floyd Warshall的推广，可用于为正则语言寻找正则表达式。

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编程资源
https://pan.quark.cn/s/7f7c83756948
更多资源
https://pan.quark.cn/s/bda57957c548