AVL树实现

AVL树概念

AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查搜索树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：==它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。==AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。
AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个==平衡因⼦(balance factor)==的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1
AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在，那么增删查改的效率也可以控制在O（logN），相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

AVL树的结构

复制代码

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
		AVLTreeNode<K, V>* _parent;  //当前节点的父节点
	int _bf;	//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)	//新增的节点平衡因子为0,右子树高度 - 左子树高度
	{ }
};

AVL树插入一个值

大致过程

插⼊⼀个值，按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束

更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}

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  //找位置
  Node* parent = nullptr;
  Node* cur = _root;
  while (cur)
  {
  	if (cur->_kv.first < kv.first)
  	{
  		parent = cur;
  		cur = cur->_right;
  	}
  	else if (cur->_kv.first > kv.first)
  	{
  		parent = cur;
  		cur = cur->_left;
  	}
  	else
  	{
  		return false;
  	}
  }

  //插入
  cur = new Node(kv);
  if (parent->_kv.first < kv.first)
  {
  	parent->_right = cur;
  }
  else
  {
  	parent->_left = cur;
  }
  cur->_parent = parent;

  //更新平衡因子
  while (parent)
  {
  	if (cur == parent->_left)	//插入左边
  	{
  		parent->_bf--;
  	}
  	else
  	{
  		parent->_bf++;	
  	}

  	if (parent->_bf == 0)
  	{
  		break;
  	}
  	else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
  	{
  		//继续向上更新
  		cur = parent;
  		parent = cur->_parent;
  	}
  	else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
  	{
  		//不平衡了,旋转处理
  		if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
  		{
  			RotateR(parent);	//右单旋
  		}
  		else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
  		{
  			RotateL(parent);	//左单旋
  		}
  		else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
  		{
  			RotateLR(parent);
  		}
  		else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
  		{
  			RotateRL(parent);
  		}
  		break;
  	}
  	else
  	{
  		assert(false);
  	}
  }
  return true;

}

平衡因子更新

更新原则

平衡因⼦=右⼦树⾼度-左⼦树⾼度
只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
插⼊结点，会增加⾼度，所以==新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在 parent的左⼦树，parent平衡因⼦-- ==
parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件：

更新后parent的平衡因⼦等于0（更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0或者1->0），说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
更新后parent的平衡因⼦等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1或者0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
更新后parent的平衡因⼦等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2或者-1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，==parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把 parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。 ==
不断更新，更新到根，根的平衡因⼦是1或-1也停⽌了

旋转

旋转的原则

保持搜索树的规则
让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

右单旋

本图展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种。
在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核⼼步骤，因为5<b⼦树的值<10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

复制代码

  void RotateR(Node* parent)	//右单旋
  {
  	Node* subL = parent->_left;
  	Node* subLR = subL->_right;
  	Node* pParent = parent->_parent;

  	parent->_left = subLR;
  	if (subLR)
  	{
  		subLR->_parent = parent;
  	}

  	subL->_right = parent;
  	parent->_parent = subL;

  	if (parent == _root)
  	{
  		_root = subL;
  		subL->_parent = nullptr;
  	}
  	else
  	{
  		if (pParent->_left == parent)
  		{
  			pParent->_left = subL;
  		}
  		else
  		{
  			pParent->_right = subL;
  		}
  		subL->_parent = pParent;
  	}

  	parent->_bf = subL->_bf = 0;
  }

左单旋

本图展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类似。
在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
旋转核⼼步骤，因为10<b⼦树的值<15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

左右双旋

下⾯我们将 a/b/c ⼦树抽象为⾼度 h 的AVL ⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为 h-1 的 e 和 f ⼦树，因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动 b 树中的左⼦树。b ⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
先左旋再右旋，最后按情况更新平衡因子
场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。

场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

void RotateLR(Node* parent) //左右双旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;

复制代码

  RotateL(parent->_left);
  RotateR(parent);

  if (bf == 0)
  {
  	subL->_bf = 0;
  	subLR->_bf = 0;
  	parent->_bf = 0;
  }
  else if (bf == -1)
  {
  	subL->_bf = 0;
  	subLR->_bf = 0;
  	parent->_bf = 1;
  }
  else if (bf == 1)
  {
  	subL->_bf = -1;
  	subLR->_bf = 0;
  	parent->_bf = 0;
  }
  else
  {
  	assert(false);
  }

}

右左双旋

与左右双旋类似，要分三个场景讨论
场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。
先右旋再左旋，最后按情况更新平衡因子

void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}

AVL树查找

复制代码

Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}

	return nullptr;
}

AVL树平衡检测

使用左子树高度差来检验平衡因子是否有问题即可

复制代码

  int _Height(Node* root)
  {
  	if (root == nullptr)
  		return 0;
  	int leftHeight = _Height(root->_left);
  	int rightHeight = _Height(root->_right);
  	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
  }

  bool _IsBalanceTree(Node* root)
  {
  	// 空树也是AVL树
  	if (nullptr == root)
  		return true;
  	// 计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
  	int leftHeight = _Height(root->_left);
  	int rightHeight = _Height(root->_right);
  	int diff = rightHeight - leftHeight;

  	// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
  	// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
  	if (abs(diff) >= 2)
  	{
  		cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
  		return false;
  	}

  	if (root->_bf != diff)
  	{
  		cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
  		return false;
  	}

  	// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
  	return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
  }