day156—回溯—组合总和（LeetCode-216）

题目描述

找出所有相加之和为 n的 k个数的组合，且满足下列条件：

只使用数字1到9
每个数字 最多使用一次

返回 所有可能的有效组合的列表 。该列表不能包含相同的组合两次，组合可以以任何顺序返回。

示例 1:

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输入: k = 3, n = 7
输出: [[1,2,4]]
解释:
1 + 2 + 4 = 7
没有其他符合的组合了。

示例 2:

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输入: k = 3, n = 9
输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]
解释:
1 + 2 + 6 = 9
1 + 3 + 5 = 9
2 + 3 + 4 = 9
没有其他符合的组合了。

示例 3:

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输入: k = 4, n = 1
输出: []
解释: 不存在有效的组合。
在[1,9]范围内使用4个不同的数字，我们可以得到的最小和是1+2+3+4 = 10，因为10 > 1，没有有效的组合。

提示:

2 <= k <= 9
1 <= n <= 60

解决方案：

这段代码的核心功能是找出所有由 k 个不同的 1~9 数字组成、和为 n 的组合（combinationSum3 问题），采用「类成员变量 + 倒序枚举 + 精准剪枝」的回溯思路实现，既保留了你习惯的代码风格，又复用了高效的剪枝逻辑，是该问题的最优解法之一。

核心逻辑

成员变量作用：
- path：临时数组，存储当前正在构造的数字组合（比如选了 9、2 后，path 为 [9,2]）；
- ans：最终结果数组，存储所有符合 "k 个数、和为 n、1~9 不重复" 的组合。
递归函数 dfs 逻辑：
- 参数说明：
  - i：当前可选数字的上界（只能从 1~i 中选数，初始为 9，符合 1~9 的范围限制）；
  - k：需要选取的数字总个数（全程不变）；
  - n：剩余需要凑的和（每选一个数 j，就减去 j）。
- 核心剪枝（提前终止无效递归）：if (n < 0 || n > (i * 2 - d + 1) * d / 2)：
  - n < 0：剩余和为负，不可能凑出合法组合；
  - n > (i*2 -d +1)*d/2：剩余 d 个数的最大可能和（从 i 倒着选 d 个不同数的和，如 i=9、d=2 时最大和 = 9+8=17），超过则直接剪枝，避免无效枚举。
- 终止条件：if (k == path.size())：当前组合的长度等于 k，说明已选够 k 个数（剪枝已保证剩余和为 0），将path加入ans后返回。
- 核心流程（倒序枚举 + 回溯）：① 遍历从i到d的所有数字 j（倒序选数避免重复组合，j≥d 保证能凑够 d 个数，比如 d=2 时 j 最小为 2，因为 2+1=3 能凑 2 个数）；② 选数字 j：将 j 加入path，递归调用dfs(j-1, k, n-j)（下一轮只能选更小的数，保证数字不重复）；③ 回溯：递归返回后执行path.pop_back()，删掉刚加入的数字，尝试下一个可选数字。
主函数 combinationSum3：
- 从数字上界 9 开始调用dfs（初始可选数字为 1~9），启动组合构造过程；
- 最终返回存储所有合法组合的ans。

关键特点

高效剪枝：通过 "剩余和的最大 / 最小范围" 判断，大幅减少递归次数，效率远高于无剪枝的暴力枚举；
天然去重：倒序枚举 + 下一轮选更小的数，保证组合内数字递减（如 [9,2] 而非 [2,9]），避免重复组合（组合不考虑顺序）；
范围合规：初始 i=9，限制了数字只能是 1~9，符合题目要求。

总结

核心思路：递归倒序枚举 1~9 的数字，通过精准剪枝提前终止无效递归，回溯遍历所有 "k 个数、和为 n" 的合法组合；
关键操作：剪枝公式是效率核心，倒序枚举 + j≥d 是去重和避免无效枚举的关键，push_back/pop_back实现回溯；
功能效果：能输出所有符合条件的组合，无重复、无遗漏，且时间效率最优。

以输入k=3, n=9为例，最终会生成[[6,2,1],[5,3,1],[4,3,2]]（倒序枚举生成的组合为降序，和正序结果等价），完全符合题目要求。

函数源码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<int>path={};
    vector<vector<int>>ans={};
    
    void dfs(int i, int k, int n) {
        int d = k - path.size(); // 还需要选d个数
       
        if (n < 0 || n > (i * 2 - d + 1) * d / 2) {
            return;
        }
        // 终止条件：选够k个数（d=0），且剩余和为0（隐含在剪枝里）
        if (k == path.size()) {
            ans.emplace_back(path);
            return;
        }
        // 从i倒着枚举到d（保证有足够数可选）
        for (int j = i; j >= d; j--) {
            path.push_back(j);          // 选当前数j
            dfs(j - 1, k, n - j);       // 下一轮从j-1开始选，剩余和减j
            path.pop_back();        
        }
    }

    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        dfs(9, k, n);
        return ans;
    }

};