视觉矩阵 之 单应矩阵

一、什么是单应矩阵（Homography）

一句话定义（最重要）

单应矩阵是一个 3×3 矩阵，用来描述"同一平面"在两幅图像之间的射影变换关系。

记作：

二、 特征是什么？

1. 矩阵形式：是一个 3×3 的矩阵，有 9 个元素。

   H=h11h12h13h21h22h23h31h32h33H=h11h21h31h12h22h32h13h23h33

2. 齐次坐标与尺度不变性：

   • 它工作在齐次坐标 下。对于一个点 p₁ = (x₁, y₁, 1)ᵀ（齐次坐标），变换后得到 p₂' = H * p₁。

   • 得到的 p₂' = (x₂', y₂', w)ᵀ 不是直接的像素坐标，需要转换为非齐次坐标 ： p₂ = (x₂'/w, y₂'/w, 1)。

   • 由于齐次坐标的尺度等价性，单应矩阵 H 本身也具有尺度不变性 。即，H 和 kH（k为非零标量）表示的是同一个几何变换。因此，H 只有 8 个自由度 （通常通过令 h₃₃ = 1 或其他约束来固定尺度）。

3. 点对应关系 ：

   给定一对匹配点 p₁ <-> p₂，其关系为：

   

   符号 ~ 表示"在尺度意义上相等"。

4. 可逆性 ：如果 H 是从图像1到图像2的单应，那么 H⁻¹ 就是从图像2到图像1的单应。

5. 保线性 ：单应变换是一种射影变换，它保持直线的"直线性"（直线变换后仍是直线），但不一定保持平行性和长度比例。

三、单应矩阵的数学推导（从相机模型出发）

1️⃣ 针孔成像模型

空间点 X 投影到图像：

2️⃣ 点在平面上

设平面：

代入投影关系，可消去深度自由度。

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3️⃣ 两个视角之间的关系

两幅图像的点满足：

四、单应矩阵是如何"算出来的"？

https://zhuanlan.zhihu.com/p/138266214

1️⃣ 基本关系

这是一个 线性约束

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2️⃣ 对每一对点，得到 2 条独立方程

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3️⃣ 堆叠成齐次线性系统

• 至少 4 对点

• 这是你熟悉的 DLT

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4️⃣ 用 SVD 求解

最小奇异值对应的向量

五、matlab : DLT + SVD 手写单应矩阵

% 四对平面点
pts1 = [0 0;
        1 0;
        1 1;
        0 1];

pts2 = [100 100;
        300 80;
        320 300;
        80 280];

A = [];
for i = 1:4
    x = pts1(i,1); y = pts1(i,2);
    xp = pts2(i,1); yp = pts2(i,2);

    A = [A;
        -x -y -1  0  0  0  x*xp y*xp xp;
         0  0  0 -x -y -1  x*yp y*yp yp];
end

[~,~,V] = svd(A);
h = V(:,end);
H = reshape(h,3,3)';
H = H / H(3,3)

% 验证映射效果
p = [0.5; 0.5; 1];
p2 = H * p;
p2 = p2 / p2(3)

disp(p2(1:2))

% MATLAB 内置函数（工程推荐）
tform = fitgeotrans(pts1, pts2, 'projective');
H_matlab = tform.T

应矩阵是描述"同一平面"在两幅图像之间射影映射关系的 3×3 矩阵， 它用线性方法（DLT + SVD）求解，却表达了相机运动 + 平面几何