day157—回溯—括号生成（LeetCode-22）

题目描述

数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的括号组合。

示例 1：

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输入：n = 3
输出：["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]

示例 2：

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输入：n = 1
输出：["()"]

提示：

1 <= n <= 8

解决方案：

这段生成有效括号的代码，其核心逻辑完全契合数学归纳法 的证明思路 ------ 通过open（左括号数）和close（右括号数）的规则约束，既验证了最小规模问题的正确性，又能从 n=k 的有效解推导出 n=k+1 的有效解，最终证明代码可生成所有 n 对有效括号组合。

核心逻辑（数学归纳法视角）

基础步（n=1 时命题成立） ：当 n=1 时，代码通过open<1先添加左括号（open=1），再通过close<open添加右括号（close=1），最终生成唯一有效组合()，符合 n=1 时的所有解，命题成立。
归纳步（假设 n=k 成立，推导 n=k+1 成立）：
- 归纳假设：假设 n=k 时，代码能生成所有 k 对有效括号组合，且每个组合满足 "左括号总数 = 右括号总数 = k""任意前缀左括号数≥右括号数"（由close<open保证）；
- 推导 n=k+1：代码中open<k+1保证左括号总数最终为 k+1，close<open保证任意时刻右括号不超过左括号（维持有效前缀）。回溯过程本质是在 n=k 的有效组合基础上，通过 "先加左括号拓展规模，再加右括号补全" 的方式，构造出所有 k+1 对有效组合（比如 n=2 的(())/()()，均可由 n=1 的()推导而来），因此 n=k+1 时命题也成立。
归纳结论：基础步和归纳步均成立，说明对所有正整数 n，代码都能生成 n 对所有合法的有效括号组合。

关键变量的归纳法作用

open：控制左括号总数最终等于 n（基础步保证 n=1 时总数为 1，归纳步保证从 k 到 k+1 时总数递增）；
close：通过close<open约束，保证任意前缀的合法性（基础步避免 n=1 时出现)，归纳步避免 n=k+1 时出现无效前缀）。

总结

数学归纳法验证了代码的完整性：能覆盖所有 n≥1 的有效括号组合，无遗漏；
open和close的规则是归纳法的核心支撑：前者保证括号总数符合要求，后者保证组合的有效性；
回溯过程本质是归纳法的 "递推实现"，从最小规模解逐步推导到任意规模解。

函数源码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    void backtrack(vector<string>& ans, string& cur, int open, int close, int n) {
        int len=cur.size();
        if(len==n*2){
            ans.push_back(cur);
            return;
        }

        if(open<n){
            cur+='(';
            backtrack(ans,cur,open+1,close,n);
            cur.pop_back();
        }
        if(close<open){
            cur+=')';
            backtrack(ans,cur,open,close+1,n);
            cur.pop_back();
        }
    }

    vector<string> generateParenthesis(int n) {
        vector<string> ans={};
        string cur="";
        backtrack(ans,cur,0,0,n);
        return ans;
    }
};