2026-01-21-牛客每日一题-静态区间和（前缀和）

title: 2026-01-21-牛客每日一题-静态区间和（前缀和）

date: 2026-01-21

tags:

算法学习
牛客
前缀和

题目信息

平台：牛客
题目：【模板】静态区间和（前缀和）
难度：简单（模板）
题目链接

题目描述

给定长度为 n 的数组和 q 次查询，每次给出区间 [l, r]，输出该区间元素之和。数组不修改。

初步思路

1. 朴素做法

如果每次查询都直接遍历区间 [l, r] 求和，时间复杂度为 O(n)。对于 q 次查询，总时间复杂度为 O(nq)。

2. 前缀和优化

我们需要快速求出区间和，利用前缀和 可以将区间查询优化到 O(1)。

定义：

令 pre[i] 表示数组前 i 个元素的和，即：
p r e [ i ] = a [ 1 ] + a [ 2 ] + ⋯ + a [ i ] pre[i] = a[1] + a[2] + \dots + a[i] pre[i]=a[1]+a[2]+⋯+a[i]

特别地，定义 pre[0] = 0。

推导区间和 ：

我们需要求区间 [l, r] 的和：
s u m ( l , r ) = a [ l ] + a [ l + 1 ] + ⋯ + a [ r ] sum(l, r) = a[l] + a[l+1] + \dots + a[r] sum(l,r)=a[l]+a[l+1]+⋯+a[r]

我们可以用 pre[r] 减去 pre[l-1] 来得到：

pre[r] 包含了 a[1]...a[r]
pre[l-1] 包含了 a[1]...a[l-1]
相减后，1 到 l-1 部分着消，剩下 l 到 r 部分。

公式：
s u m ( l , r ) = p r e [ r ] − p r e [ l − 1 ] sum(l, r) = pre[r] - pre[l-1] sum(l,r)=pre[r]−pre[l−1]

3. 一个例子

以数组 a = [1, 2, 3, 4, 5] 为例：

pre[3] = 1 + 2 + 3 = 6
pre[1] = 1

我们要求区间 [2, 3] 的和，即 a[2] + a[3] = 2 + 3 = 5。

根据公式 sum(2, 3) = pre[3] - pre[1]：
pre [ 3 ] = 1 + 2 + 3 pre [ 1 ] = 1 pre [ 3 ] − pre [ 1 ] = ( 1 + 2 + 3 ) − ( 1 ) = 2 + 3 = 5 \begin{aligned} \text{pre}[3] &= 1 + 2 + 3 \\ \text{pre}[1] &= 1 \\ \text{pre}[3] - \text{pre}[1] &= (1 + 2 + 3) - (1) \\ &= 2 + 3 \\ &= 5 \end{aligned} pre[3]pre[1]pre[3]−pre[1]=1+2+3=1=(1+2+3)−(1)=2+3=5

4. 复杂度

预处理：O(n)
每次查询：O(1)
总时间复杂度：O(n + q)

算法分析

核心：前缀和转化区间求和
技巧：pre[0] = 0，使用 long long 防止溢出
时间复杂度：O(n + q)
空间复杂度：O(n)

代码实现（C++）

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, q;
    cin >> n >> q;

    vector<long long> pre(n + 1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        long long x;
        cin >> x;
        pre[i] = pre[i - 1] + x;
    }
    while (q--) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << pre[r] - pre[l - 1] << '\n';
    }
    return 0;
}

总结与反思

静态区间和用前缀和是最直接且高效的模板解法。
注意区间下标从 1 开始时，pre 的边界处理。