【图论】P9661 [ICPC 2021 Macao R] Sandpile on Clique|普及+

本文涉及知识点

P9661 [ICPC 2021 Macao R] Sandpile on Clique

题目描述

阿贝尔沙堆模型（Abelian Sandpile Model）是一个著名的显示自组织临界性的动力学系统。自从它由 Per Bak、Chao Tang 和 Kurt Wiesenfeld 在 1987 年的一篇论文中引入以来，它已经被研究了数十年。沙堆模型的预测引起了物理学、计算机科学和数学的广泛关注，这不仅是因为它美丽的代数结构，还因为它与负载平衡和内部扩散有关的模型的应用，如去随机化。沙堆模型与许多其他模型和物理现象相关，如转子路由模型、雪崩模型。

在沙堆模型中，给定一个顶点编号从 1 1 1 到 n n n 的无向图 G G G。我们还给出了 n n n 个整数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1, a_2, \cdots, a_n a1,a2,⋯,an，其中 a i a_i ai 表示初始时放置在顶点 i i i 上的筹码数量。每个回合，我们将选择一个任意的顶点 v v v，使得 v v v 上的筹码数量不小于与 v v v 相连的边数，记为 d v d_v dv。对于 v v v 的每个邻居，它将从 v v v 接收一枚筹码。因此， v v v 将失去 d v d_v dv 枚筹码。这个过程被称为 firing 或 toppling。直到没有顶点 v v v 至少有 d v d_v dv 枚筹码时，firing 才会停止。

可以证明，firing 的顺序不会影响结果。同时，也可能 firing 永远不会终止。这种情况被描述为"recurrent"。现在给定一个团和初始筹码数量，请确定这个实例是否是一个 recurrent 实例。如果不是，请分别输出每个节点的最终筹码数量。

团（也称为完全图）是一个图，其中任意两个顶点都有边相连。

输入格式

每个测试文件中只有一个测试用例。

输入的第一行包含一个整数 n n n（ 2 ≤ n ≤ 5 × 10 5 2 \leq n \leq 5 \times 10^5 2≤n≤5×105），表示团的大小。

第二行包含 n n n 个整数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1, a_2, \cdots, a_n a1,a2,⋯,an（ 0 ≤ a i ≤ 10 9 0 \leq a_i \leq 10^9 0≤ai≤109），其中 a i a_i ai 表示放置在顶点 i i i 上的初始筹码数量。

输出格式

输出一行。如果给定的沙堆实例将终止，则输出由空格分隔的 n n n 个整数，其中第 i i i 个整数表示第 i i i 个顶点上的最终筹码数量。否则输出 Recurrent（不包括引号）。

请不要在每行末尾输出额外的空格，否则您的解决方案可能被认为是错误的！

【样例解释】

对于第一个样例测试用例：

我们只能在开始时选择顶点 1 1 1。筹码数量变为 { 1 , 1 , 4 , 1 , 4 } \{1, 1, 4, 1, 4\} {1,1,4,1,4}。
现在我们可以选择顶点 3 3 3 或 5 5 5，因为它们都至少有 4 4 4 枚筹码。我们选择顶点 3 3 3，筹码数量变为 { 2 , 2 , 0 , 2 , 5 } \{2, 2, 0, 2, 5\} {2,2,0,2,5}。选择顶点 5 5 5 会得到相同的结果。
现在我们选择顶点 5 5 5。筹码数量变为 { 3 , 3 , 1 , 3 , 1 } \{3, 3, 1, 3, 1\} {3,3,1,3,1}。没有顶点至少有 4 4 4 枚筹码，因此 firing 终止。

对于第二个样例测试用例，我们可以重复选择顶点 1 1 1 和 2 2 2。firing 永远不会终止。

翻译来自于：ChatGPT

输入输出样例 #1

输入 #1

复制代码

5
5 0 3 0 3

输出 #1

复制代码

3 3 1 3 1

输入输出样例 #2

输入 #2

复制代码

2
1 0

输出 #2

复制代码

Recurrent

图论

性质一 ：如果连续n-1个操作是不同的节点派发筹码。则可以无限循环。此是没有派发筹码的节点n1至少收到n-1个筹码。n1派发后，仍然符合性质一。
性质二 ：如果能派发筹码n-1次，则可以无限循环。假定x个节点能派发n-1次，调整派发顺序，让后x次没有相同的派发节点。余下的x-1个节点，都至少有n-1筹码。

依次派发符合性质一。

大根堆记录各节点筹码数量和下标，cnt+堆中数量才是真实数量。x = 堆顶元素，如果x <n-1结束，返回ans。否则出堆 x-=n，入堆.cnt++。

循环n-1次后，返回无限；否则，返回ans[堆中元素下标] = 堆中元素值+cnt。

代码

核心代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class Solution {
public:
	vector<int> Ans(vector<int>& a) {
		const int N = a.size();
		priority_queue<pair<int, int>> maxHeap;
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			maxHeap.emplace(a[i], i);
		}
		int cnt = 0;
		for (int i = 0; i < N - 1; i++) {
			if (maxHeap.top().first + cnt < N - 1) {
				vector<int> ans(N);
				while (maxHeap.size()) {
					ans[maxHeap.top().second] = cnt + maxHeap.top().first;
					maxHeap.pop();
				}
				return ans;
			}
			auto [c, inx] = maxHeap.top(); maxHeap.pop();
			c -= N;
			cnt++;
			maxHeap.emplace(c, inx);
		}
		return {};
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	auto a = Read<int>();
#ifdef _DEBUG	
		//printf("N=%d,K=%d", N,K);
		//Out(ws, ",ws=");
		Out(a, ",a=");
#endif // DEBUG	
		auto res = Solution().Ans(a);
		if (res.empty()) {
			cout << "Recurrent" << "\n";
		}
		else {
			for (const auto& i : res) {
				cout << i << " ";
			}
		}			
	return 0;
};

单元测试

cpp 复制代码

vector<int> a;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			a = { 5,0,3,0,3 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			AssertEx({ 3,3,1,3,1 },res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			a = { 1,0 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			AssertEx({ }, res);
		}

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。