2025年数学建模美赛A题解读
问题背景：
- 石材象征着恒久稳固，因耐磨损常被用作建筑材料，但即便石材也无法完全抵御磨损。台阶所用的石材、木材等材料会受到长期持续的磨损，且磨损可能不均匀，例如年代久远的寺庙、教堂台阶中心的磨损程度会高于边缘，踏面不再平整呈现弧形。这类建筑往往长期有人活动，而人类在该地点的活动时间通常早于建筑建造时间，这使得精准确定建筑建造日期存在难度。若建筑分阶段长期施工、经过翻新或增建，情况会更加复杂，甚至难以从历史记录中明确不同阶段建造的是哪组台阶。考古学家除了关注台阶的建造年代，还对台阶的使用交通模式感兴趣，比如人们是否同时上下台阶、是否存在某一时间段的主要通行方向；也想了解台阶的使用频率，比如是短时间内大量使用还是长时间内少量使用。可以假设考古学家能够接触到目标建筑结构，且可以获取团队认为重要的测量数据，但测量需满足无损、低成本、可由小团队借助简易工具完成的要求。此外，可能存在台阶建造年代的估算值，但该值可能不够精准。
提取的各项问题：
- 问题一：
- 开发一个模型，基于一组台阶的磨损模式得出基础结论，针对特定台阶的磨损模式提供以下基础预测：1. 台阶的使用频率如何？2. 是否存在受使用者偏好的通行方向？3. 同时使用台阶的人数有多少？（例如，人们是并排还是单列上下台阶？）同时明确该模型所需的符合无损、低成本、小团队简易工具可完成要求的测量信息。
- 问题二：
- 在已知台阶建造年代估算值、台阶使用方式、建筑内日常活动模式估算值的前提下，针对以下问题提供指导：1. 磨损情况与现有信息是否一致？2. 台阶的建造年代是多少，该估算的可靠性如何？3. 台阶经历过哪些修缮或翻新？4. 能否确定台阶的材料来源？例如石材磨损是否与考古学家认为的原始采石场的材料相符，木材磨损是否与假设的树木种类和树龄相符？5. 可以确定哪些关于台阶日均使用人数的信息，以及台阶是短时间内被大量使用还是长时间内被少量使用？
问题一的输入输出分析
【问题输入】
1.1 数据文件
- 无
1.2 符号定义
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| i i i | 第 i i i 级台阶的索引 | - |
| b b b | 单级台阶的总宽度（沿横向方向） | m |
| l l l | 单级台阶踏面的进深（沿通行方向） | m |
| h h h | 单级台阶的高度 | m |
| x x x | 台阶沿宽度方向的横向坐标 | m |
| S S S | 被测台阶踏面的总面积 | m 2 ^2 2 |
| z ( i , x ) z(i,x) z(i,x) | 当前测得的第 i i i 级台阶在横向位置 x x x 处的踏面高度 | m |
| z 0 ( i , x ) z_0(i,x) z0(i,x) | 第 i i i 级台阶在横向位置 x x x 处的原始踏面高度 | m |
| w i ( x ) w_i(x) wi(x) | 第 i i i 级台阶在横向位置 x x x 处的磨损深度 | m |
| w max w_{\max} wmax | 全部台阶中观测到的最大磨损深度 | m |
| V loss V_{\text{loss}} Vloss | 全部台阶因磨损损失的材料总体积 | m 3 ^3 3 |
| T T T | 台阶投入使用的时间长度 | 年 |
| f f f | 台阶的平均使用频率（平均每年通过台阶的人次） | 人次/年 |
| N N N | 台阶整个使用期内的总通过人次 | 人次 |
| N i ( x ) N_i(x) Ni(x) | 第 i i i 级台阶横向位置 x x x 处的累计脚步次数 | 人次 |
| λ ↑ \lambda_{\uparrow} λ↑ | 向上通行的人次占总人次的比例 | - |
| λ ↓ \lambda_{\downarrow} λ↓ | 向下通行的人次占总人次的比例 | - |
| M M M | 同一时间横向并排行走的典型最大人数（并行通行列数） | - |
| w lane w_{\text{lane}} wlane | 单个人典型占用的横向有效通行宽度（一个磨损通道的宽度） | m |
| k k k | 台阶材料的磨损系数（单位脚步对磨损深度的贡献系数） | m/人次 |
| C meas C_{\text{meas}} Cmeas | 为获取磨损和几何数据所需的测量总成本 | 货币单位 |
| C max C_{\max} Cmax | 在"低成本"要求下允许的最大测量成本 | 货币单位 |
| D meas D_{\text{meas}} Dmeas | 测量过程对台阶本体造成的损伤程度指标 | - |
| L team L_{\text{team}} Lteam | 小团队完成全部测量所需的总人力投入 | 人·小时 |
| L max L_{\max} Lmax | 在"小团队可完成"要求下允许的最大人力投入 | 人·小时 |
| P team P_{\text{team}} Pteam | 测量时需要同时参与的工作人员人数 | 人 |
| P max P_{\max} Pmax | 小团队可接受的最大同时参与人数 | 人 |
| E tool E_{\text{tool}} Etool | 所需测量工具的复杂度指标 | - |
| E max E_{\max} Emax | "简易工具"可接受的最大复杂度指标 | - |
| F ( ⋅ ) F(\cdot) F(⋅) | 从磨损和几何参数到输出指标的模型映射函数 | - |
1.3 初始条件与参数赋值
- 台阶磨损形状 z ( i , x ) z(i,x) z(i,x) 与 w i ( x ) w_i(x) wi(x) ：数值为现场在踏面区域 S S S 上无损测得的函数 z ( i , x ) z(i,x) z(i,x)，据此由关系 w i ( x ) = z 0 ( i , x ) − z ( i , x ) w_i(x)=z_0(i,x)-z(i,x) wi(x)=z0(i,x)−z(i,x) 计算得到磨损深度分布 w i ( x ) w_i(x) wi(x)，作为刻画"台阶磨损模式"的基础输入。
- 台阶几何尺度 b , l , h b,l,h b,l,h 与面积 S S S ：数值为通过无损测量获得的台阶宽度 b b b、踏面进深 l l l、高度 h h h 以及总踏面面积 S S S，用于约束可通行宽度和磨损体积的计算。
- 测量资源上限 C max , L max , P max , E max C_{\max},L_{\max},P_{\max},E_{\max} Cmax,Lmax,Pmax,Emax：数值由考古团队根据"低成本、小团队、简易工具"的原则预先设定，用于限定允许的测量成本、人员数量与工具复杂度范围。
- 使用时长 T T T 与材料磨损系数 k k k ：数值为台阶投入使用的时间长度 T T T 及所用石材或木材的磨损系数 k k k，由外部估计或材料特性确定，用于把磨损深度与累计脚步次数建立联系。
1.4 约束条件
-
显式约束：
- 测量过程必须无损，不得对台阶本体造成新的损伤，数学表达为：
D meas = 0. D_{\text{meas}} = 0. Dmeas=0. - 测量成本需满足"低成本"要求，不超过预设上限，数学表达为：
C meas ≤ C max . C_{\text{meas}} \le C_{\max}. Cmeas≤Cmax. - 测量需由小团队完成，人力投入和同时参与人数均受上限约束，数学表达为：
P team ≤ P max , L team ≤ L max . P_{\text{team}} \le P_{\max},\quad L_{\text{team}} \le L_{\max}. Pteam≤Pmax,Lteam≤Lmax. - 所用测量工具需保持简易，其复杂度不超过可接受上限，数学表达为：
E tool ≤ E max . E_{\text{tool}} \le E_{\max}. Etool≤Emax. - 模型输出仅依赖台阶磨损模式和必要的几何与材料参数，不引入与磨损无关的外部信息，数学表达为：
( f , λ ↑ , λ ↓ , M ) = F ( { w i ( x ) } i , b , l , h , k , T ) . \bigl(f,\lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow},M\bigr) = F\bigl(\{w_i(x)\}_{i},\,b,\,l,\,h,\,k,\,T\bigr). (f,λ↑,λ↓,M)=F({wi(x)}i,b,l,h,k,T).
- 测量过程必须无损，不得对台阶本体造成新的损伤，数学表达为：
-
隐式约束：
- 磨损深度由原始踏面与当前踏面高度差得到，且不为负，数学表达为：
w i ( x ) = z 0 ( i , x ) − z ( i , x ) ≥ 0 , ∀ i , x . w_i(x) = z_0(i,x) - z(i,x) \ge 0,\quad \forall i,x. wi(x)=z0(i,x)−z(i,x)≥0,∀i,x. - 在同一位置，磨损深度随累计脚步次数单调不减，数学表达为：
∂ w i ( x ) ∂ N i ( x ) ≥ 0 , ∀ i , x . \frac{\partial w_i(x)}{\partial N_i(x)} \ge 0,\quad \forall i,x. ∂Ni(x)∂wi(x)≥0,∀i,x. - 总磨损体积等于局部磨损深度在全部踏面上的积分，数学表达为：
V loss = ∑ i ∫ 0 b w i ( x ) l d x . V_{\text{loss}} = \sum_i \int_0^{b} w_i(x)\,l\,\mathrm{d}x. Vloss=i∑∫0bwi(x)ldx. - 在给定材料磨损系数的近似下，局部磨损深度与该处累计脚步次数近似线性相关，数学表达为：
w i ( x ) ≈ k N i ( x ) , ∀ i , x . w_i(x) \approx k\,N_i(x),\quad \forall i,x. wi(x)≈kNi(x),∀i,x. - 台阶使用频率、使用时长与累计通过人次之间满足非负且线性的关系，数学表达为：
N = f T , f ≥ 0 , N ≥ 0. N = f\,T,\quad f \ge 0,\quad N \ge 0. N=fT,f≥0,N≥0. - 向上与向下通行的人次占比之和为 1 1 1，且各自位于 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 范围内，数学表达为：
λ ↑ + λ ↓ = 1 , 0 ≤ λ ↑ , λ ↓ ≤ 1. \lambda_{\uparrow} + \lambda_{\downarrow} = 1,\quad 0 \le \lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow} \le 1. λ↑+λ↓=1,0≤λ↑,λ↓≤1. - 同时并排行走人数受台阶宽度与单人通行宽度限制，数学表达为：
M w lane ≤ b , M ≥ 1 , w lane > 0. M\,w_{\text{lane}} \le b,\quad M \ge 1,\quad w_{\text{lane}} > 0. Mwlane≤b,M≥1,wlane>0.
- 磨损深度由原始踏面与当前踏面高度差得到，且不为负，数学表达为：
【问题输出】
本问题最终需要求解的结果如下：
-
- 台阶平均使用频率 f f f：反映该组台阶在单位时间（每年）内被使用的强度，用于判断台阶是被高频还是低频使用。
-
- 台阶累计通过人次 N N N：刻画台阶在整个使用期内承受的总通行量，为分析长期磨损程度与使用历史规模提供量化指标。
-
- 通行方向偏好指标 λ ↑ , λ ↓ \lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow} λ↑,λ↓：给出向上与向下通行人次所占比例，用于判断是否存在明显的主要通行方向及其偏好程度。
-
- 同时并排行走人数 M M M 及单人通行宽度 w lane w_{\text{lane}} wlane：用于表征人们是单列还是多列（并排）上下台阶，以及每列通行所需的典型横向空间，为还原台阶使用时的人群并行程度提供依据。
问题二的输入输出分析
【问题输入】
1.1 数据文件
无
1.2 符号定义
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| T build T_{\text{build}} Tbuild | 台阶真实建造年份（待估计） | 年 |
| T ^ build \hat{T}_{\text{build}} T^build | 台阶建造年份的先验估计值（题目给出的估算） | 年 |
| T build ∗ T_{\text{build}}^* Tbuild∗ | 由模型反推出的台阶建造年份估计 | 年 |
| T now T_{\text{now}} Tnow | 进行磨损测量与分析的当前年份 | 年 |
| t t t | 台阶真实累计服役时间， t = T now − T build t = T_{\text{now}} - T_{\text{build}} t=Tnow−Tbuild | 年 |
| t ^ \hat{t} t^ | 基于先验建造年代的服役时间估计， t ^ = T now − T ^ build \hat{t} = T_{\text{now}} - \hat{T}_{\text{build}} t^=Tnow−T^build | 年 |
| S S S | 台阶梯级总数 | - |
| i i i | 第 i i i 级台阶的索引， i = 1 , ... , S i = 1,\dots,S i=1,...,S | - |
| w i w_i wi | 第 i i i 级台阶当前测得的平均磨损深度 | mm |
| w i mod w_i^{\text{mod}} wimod | 在给定建造年代、使用方式和活动模式下模型预测的第 i i i 级磨损深度 | mm |
| Δ w i \Delta w_i Δwi | 第 i i i 级台阶观测与预测磨损差值， Δ w i = w i − w i mod \Delta w_i = w_i - w_i^{\text{mod}} Δwi=wi−wimod | mm |
| N d N_d Nd | 台阶真实平均日使用人次（待估计） | 人次/日 |
| N ^ d \hat{N}_d N^d | 由建筑内日常活动模式得到的平均日使用人次估计 | 人次/日 |
| N d ∗ N_{d}^{*} Nd∗ | 由磨损反推得到的平均日使用人次估计 | 人次/日 |
| λ ↑ \lambda_{\uparrow} λ↑ | 人员上行台阶所占比例（使用方式的一部分） | - |
| λ ↓ \lambda_{\downarrow} λ↓ | 人员下行台阶所占比例 | - |
| k k k | 台阶真实材料的单位人次磨损系数 | mm/人次 |
| k ^ \hat{k} k^ | 假定材料来源（采石场或木材来源）对应的磨损系数 | mm/人次 |
| I cons I_{\text{cons}} Icons | 磨损与先验信息的一致性指标（残差整体大小的度量） | - |
| K K K | 台阶经历的修缮/翻新次数（由模型推断） | - |
| τ k \tau_k τk | 第 k k k 次修缮自建造以来的发生时间（如距建造的年数） | 年 |
| I mat I_{\text{mat}} Imat | 台阶磨损特性与假定材料来源匹配度指标 | - |
| R T R_T RT | 建造年代估计结果的可靠性指标（如置信度） | - |
| R mat R_{\text{mat}} Rmat | 材料来源判定结果的可靠性指标 | - |
| R N R_{N} RN | 日均使用人次估计结果的可靠性指标 | - |
| I burst I_{\text{burst}} Iburst | 使用集中度指标，用于区分"短时间大量使用"与"长时间少量使用" | - |
| C meas C_{\text{meas}} Cmeas | 实地测量总成本 | 货币单位 |
| C max C_{\max} Cmax | 可接受的最大测量成本（低成本约束） | 货币单位 |
| P team P_{\text{team}} Pteam | 参与测量与记录的工作人员人数 | 人 |
| P max P_{\max} Pmax | 小团队规模的最大人数 | 人 |
| D meas D_{\text{meas}} Dmeas | 测量对台阶造成的损伤量（结构破坏程度的度量） | - |
1.3 初始条件与参数赋值
题目描述中仅给出"存在估算值/已知信息"，未提供具体数值，故在本分析中将其视为已知常数但不赋具体数值：
- 建造年代先验估计 T ^ build \hat{T}_{\text{build}} T^build ：数值为 T ^ build \hat{T}_{\text{build}} T^build，代表台阶建造年份的估算值，由考古学家或历史研究给出。
- 日常活动模式给出的日均使用人次估计 N ^ d \hat{N}_d N^d ：数值为 N ^ d \hat{N}_d N^d，由建筑内日常活动模式估算得到，用作台阶使用频率的先验信息。
- 台阶使用方式参数（如 λ ↑ , λ ↓ \lambda_{\uparrow}, \lambda_{\downarrow} λ↑,λ↓）：数值视为已知常数，描述人员上下行比例等使用方式信息。
- 当前观测时刻 T now T_{\text{now}} Tnow ：数值为 T now T_{\text{now}} Tnow，表示进行台阶磨损测量的年份。
- 台阶磨损测量值 { w i } i = 1 S \{w_i\}_{i=1}^S {wi}i=1S：各级台阶磨损深度通过无损、低成本测量获得，视为已知观测数据。
1.4 约束条件
-
显式约束：
-
测量必须无损，不得对台阶结构造成破坏，数学表达为：
D meas = 0 D_{\text{meas}} = 0 Dmeas=0 -
测量需满足低成本要求，总成本不超过预先可接受的上限 C max C_{\max} Cmax，数学表达为：
C meas ≤ C max C_{\text{meas}} \leq C_{\max} Cmeas≤Cmax -
测量工作由小团队使用简易工具完成，参与测量和记录的工作人员人数不超过上限 P max P_{\max} Pmax，数学表达为：
P team ≤ P max P_{\text{team}} \leq P_{\max} Pteam≤Pmax -
问题二建立在已有估计信息之上，模型必须以建造年代估计 T ^ build \hat{T}{\text{build}} T^build 和日均使用人次估计 N ^ d \hat{N}d N^d 作为输入之一，形式化为：
I cons = F ( { w i } i = 1 S , T ^ build , N ^ d , λ ↑ , λ ↓ , k ^ ) I{\text{cons}} = F\big(\{w_i\}{i=1}^S,\ \hat{T}{\text{build}},\ \hat{N}d,\ \lambda{\uparrow},\ \lambda{\downarrow},\ \hat{k}\big) Icons=F({wi}i=1S, T^build, N^d, λ↑, λ↓, k^)
-
-
隐式约束：
-
建造年份早于或等于观测年份，台阶服役时间为两者之差，数学表达为：
T build ≤ T now , t = T now − T build T_{\text{build}} \leq T_{\text{now}}, \qquad t = T_{\text{now}} - T_{\text{build}} Tbuild≤Tnow,t=Tnow−Tbuild -
磨损量物理上不能为负，各级台阶磨损深度非负，数学表达为：
w i ≥ 0 , i = 1 , 2 , ... , S w_i \geq 0,\quad i = 1,2,\dots,S wi≥0,i=1,2,...,S -
在每一段"建造---修缮"之间，磨损随时间和使用人次单调累积，即磨损对服役时间和使用强度的偏导不为负，数学表达为：
∂ w i mod ∂ t ≥ 0 , ∂ w i mod ∂ N d ≥ 0 , ∂ w i mod ∂ k ≥ 0 \frac{\partial w_i^{\text{mod}}}{\partial t} \geq 0,\quad \frac{\partial w_i^{\text{mod}}}{\partial N_d} \geq 0,\quad \frac{\partial w_i^{\text{mod}}}{\partial k} \geq 0 ∂t∂wimod≥0,∂Nd∂wimod≥0,∂k∂wimod≥0 -
修缮或翻新发生在建造之后、当前观测之前，且按时间先后顺序排列，数学表达为：
0 < τ 1 < τ 2 < ⋯ < τ K < t 0 < \tau_1 < \tau_2 < \cdots < \tau_K < t 0<τ1<τ2<⋯<τK<t -
上下行方向使用比例为概率，需非负且和为 1，数学表达为：
0 ≤ λ ↑ ≤ 1 , 0 ≤ λ ↓ ≤ 1 , λ ↑ + λ ↓ = 1 0 \leq \lambda_{\uparrow} \leq 1,\quad 0 \leq \lambda_{\downarrow} \leq 1,\quad \lambda_{\uparrow} + \lambda_{\downarrow} = 1 0≤λ↑≤1,0≤λ↓≤1,λ↑+λ↓=1 -
平均日使用人次不能为负，且估计的日均使用人次应与磨损和材料参数共同决定台阶磨损，数学表达为：
N d ≥ 0 , N d ∗ = G ( { w i } i = 1 S , T build ∗ , K , { τ k } , k ) N_d \geq 0,\quad N_d^* = G\bigl(\{w_i\}{i=1}^S,\ T{\text{build}}^*,\ K,\ \{\tau_k\},\ k\bigr) Nd≥0,Nd∗=G({wi}i=1S, Tbuild∗, K, {τk}, k) -
各类可靠性和匹配度指标为 [0,1] 区间内的无量纲数值，数学表达为：
0 ≤ R T ≤ 1 , 0 ≤ R mat ≤ 1 , 0 ≤ R N ≤ 1 , 0 ≤ I cons ≤ 1 , 0 ≤ I mat ≤ 1 , 0 ≤ I burst ≤ 1 0 \leq R_T \leq 1,\quad 0 \leq R_{\text{mat}} \leq 1,\quad 0 \leq R_{N} \leq 1,\quad 0 \leq I_{\text{cons}} \leq 1,\quad 0 \leq I_{\text{mat}} \leq 1,\quad 0 \leq I_{\text{burst}} \leq 1 0≤RT≤1,0≤Rmat≤1,0≤RN≤1,0≤Icons≤1,0≤Imat≤1,0≤Iburst≤1
-
【问题输出】
本问题最终需要求解的结果如下：
-
- 磨损与先验信息一致性评价 I cons I_{\text{cons}} Icons ：用于回答"磨损情况与现有信息是否一致？"对比观测磨损 { w i } \{w_i\} {wi} 与基于 T ^ build \hat{T}_{\text{build}} T^build、 N ^ d \hat{N}_d N^d、使用方式和材料假设得到的预测磨损 w i mod w_i^{\text{mod}} wimod，给出整体一致性的量化指标。
-
- 建造年代估计 T b u i l d ∗ T_{\mathrm{build}}^{*} Tbuild∗ 及其可靠性 R T R_T RT：用于回答"台阶的建造年代是多少，该估算的可靠性如何？"，在综合磨损数据、先验建造年代估计和使用模式后，给出建造年份的反推结果及相应可信度度量。
-
- 修缮/翻新历史 ( K , { τ k } k = 1 K ) (K,\ \{\tau_k\}_{k=1}^K) (K, {τk}k=1K) ：用于回答"台阶经历过哪些修缮或翻新？"，包括推断出的修缮次数 K K K 以及每次修缮相对于建造时刻的发生时间 τ k \tau_k τk，从而给出台阶服役过程的阶段划分。
-
- 材料磨损参数 k k k 及材料来源匹配度 I mat I_{\text{mat}} Imat 和可靠性 R mat R_{\text{mat}} Rmat ：用于回答"能否确定台阶的材料来源？"通过从磨损与使用强度反推材料磨损系数 k k k，并与假设材料参数 k ^ \hat{k} k^ 对比，得到材料来源匹配度指标 I mat I_{\text{mat}} Imat 及其可靠性 R mat R_{\text{mat}} Rmat，判断石材是否符合假定采石场来源、木材是否符合假定树种及树龄。
-
- 日均使用人次估计 N d ∗ N_d^{\ast} Nd∗ 及其可靠性 R N R_{N} RN：用于回答"可以确定哪些关于台阶日均使用人数的信息？"，通过磨损反推台阶在其服役期内的平均日使用人次，并给出该估计的可信程度。
-
- 使用集中度指标 I burst I_{\text{burst}} Iburst ：用于回答"台阶是短时间内被大量使用还是长时间内被少量使用？"，通过分析磨损强度与服役时间、修缮阶段的关系，给出使用是否高度集中于较短时期（高 I burst I_{\text{burst}} Iburst）或在较长时期内分散发生（低 I burst I_{\text{burst}} Iburst）的判别指标。
问题一的核心需求与实现关键
1. 核心需求
- 基于台阶踏面在空间上的磨损模式 w i ( x ) w_i(x) wi(x) 和几何、材料、服役时间等信息，在满足"无损、低成本、小团队、简易工具"的测量约束下，建立一个从磨损形态到使用特征的映射模型，用于反推：台阶的平均使用频率 f f f 与累计通过人次 N N N，上下行通行方向偏好比例 λ ↑ , λ ↓ \lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow} λ↑,λ↓，以及典型同时并排行走人数 M M M 和单人通行宽度 w lane w_{\text{lane}} wlane，并明确模型所需的最小测量信息集。
2. 实现关键
2.1 约束条件
-
无损测量约束：测量方案必须完全非破坏，不能对台阶本体引入新的物理损伤，用损伤指标 D meas D_{\text{meas}} Dmeas 表示为：
D meas = 0. D_{\text{meas}} = 0. Dmeas=0.该式表明测量过程在结构安全性上是零附加损伤的严格约束。
-
测量成本约束：测量总成本 C meas C_{\text{meas}} Cmeas 需控制在"低成本"预算上限 C max C_{\max} Cmax 之内：
C meas ≤ C max . C_{\text{meas}} \le C_{\max}. Cmeas≤Cmax.该式限制了可采用的测量精度、设备与工时规模，保证方法经济可行。
-
小团队与人力投入约束：参与测量的同时工作人员人数 P team P_{\text{team}} Pteam 和总人力投入 L team L_{\text{team}} Lteam 都必须满足"小团队可完成"的要求：
P team ≤ P max , L team ≤ L max . P_{\text{team}} \le P_{\max},\quad L_{\text{team}} \le L_{\max}. Pteam≤Pmax,Lteam≤Lmax.该式说明模型配套的测量流程不能依赖大规模人力或超长工时。
-
工具简易性约束：所需测量工具的复杂度指标 E tool E_{\text{tool}} Etool 必须不超过简易工具可接受的上限 E max E_{\max} Emax：
E tool ≤ E max . E_{\text{tool}} \le E_{\max}. Etool≤Emax.该式保证模型所需数据能通过便携、低技术门槛的工具获取。
-
模型依赖范围约束：模型输出仅基于磨损形态及必要的几何与材料参数，不引入与磨损无关的外部信息，其映射关系为：
( f , λ ↑ , λ ↓ , M ) = F ( { w i ( x ) } i , b , l , h , k , T ) . (f,\lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow},M) = F\bigl(\{w_i(x)\}_{i},\,b,\,l,\,h,\,k,\,T\bigr). (f,λ↑,λ↓,M)=F({wi(x)}i,b,l,h,k,T).该式强调所有目标输出都应由磨损模式和基础物理参数决定，避免主观假设。
-
磨损非负约束：磨损深度由原始高度与当前高度之差定义，且不能小于零：
w i ( x ) = z 0 ( i , x ) − z ( i , x ) ≥ 0 , ∀ i , x . w_i(x) = z_0(i,x) - z(i,x) \ge 0,\quad \forall i,x. wi(x)=z0(i,x)−z(i,x)≥0,∀i,x.该式反映磨损只会降低踏面高度，不存在"负磨损"的物理情况。
-
磨损随脚步次数单调累积：在同一位置，磨损深度随累计脚步次数 N i ( x ) N_i(x) Ni(x) 单调不减：
∂ w i ( x ) ∂ N i ( x ) ≥ 0 , ∀ i , x . \frac{\partial w_i(x)}{\partial N_i(x)} \ge 0,\quad \forall i,x. ∂Ni(x)∂wi(x)≥0,∀i,x.该式体现脚步行为只能增加磨损而不会在统计意义上"抛光增高"。
-
磨损体积守恒约束：总磨损体积 V loss V_{\text{loss}} Vloss 等于各级台阶磨损深度在踏面上的积分和：
V loss = ∑ i ∫ 0 b w i ( x ) l d x . V_{\text{loss}} = \sum_i \int_0^{b} w_i(x)\,l\,\mathrm{d}x. Vloss=i∑∫0bwi(x)ldx.该式将局部深度场 w i ( x ) w_i(x) wi(x) 与整体材料损失体积联系起来，用于校验测量与模型一致性。
-
局部线性磨损定律：在给定材料磨损系数 k k k 的近似下，局部磨损深度与该处累计脚步次数近似线性相关：
w i ( x ) ≈ k N i ( x ) , ∀ i , x . w_i(x) \approx k\,N_i(x),\quad \forall i,x. wi(x)≈kNi(x),∀i,x.该式给出从磨损形态反推出脚步次数的基本物理关系，是模型反演的核心假设。
-
使用频率与累计人次关系约束：平均使用频率 f f f、使用时长 T T T 与累计通过人次 N N N 之间满足线性关系：
N = f T , f ≥ 0 , N ≥ 0. N = f\,T,\quad f \ge 0,\quad N \ge 0. N=fT,f≥0,N≥0.该式将时间尺度与人流强度关联起来，使得磨损可转化为年均使用频率估计。
-
通行方向比例约束：上下行通行比例为概率量，和为 1 1 1 且各自处于 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]：
λ ↑ + λ ↓ = 1 , 0 ≤ λ ↑ , λ ↓ ≤ 1. \lambda_{\uparrow} + \lambda_{\downarrow} = 1,\quad 0 \le \lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow} \le 1. λ↑+λ↓=1,0≤λ↑,λ↓≤1.该式为通行方向偏好指标提供了归一化的概率约束。
-
并排行走几何约束：同时并排行走人数 M M M 与单人通行宽度 w lane w_{\text{lane}} wlane 必须受台阶总宽度 b b b 限制：
M w lane ≤ b , M ≥ 1 , w lane > 0. M\,w_{\text{lane}} \le b,\quad M \ge 1,\quad w_{\text{lane}} > 0. Mwlane≤b,M≥1,wlane>0.该式表达了横向人群排数不能超过几何可用宽度的基本空间约束。
2.2 数学模型核心公式框架
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步骤一：由磨损深度反推出局部脚步次数分布 ：根据局部线性磨损定律，将在第 i i i 级台阶横向位置 x x x 处的磨损深度 w i ( x ) w_i(x) wi(x) 转化为该处累计脚步次数 N i ( x ) N_i(x) Ni(x)：
N i ( x ) ≈ w i ( x ) k , ∀ i , x . N_i(x) \approx \frac{w_i(x)}{k},\quad \forall i,x. Ni(x)≈kwi(x),∀i,x.该式利用材料磨损系数 k k k 将空间连续的磨损场转化为对应的局部人流强度分布，是后续所有统计量的基础。
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步骤二：由局部脚步次数汇总到总通过人次与平均使用频率 ：通过对每级台阶沿宽度方向累加局部脚步次数，再对全梯级求和，得到总脚步数 N foot N_{\text{foot}} Nfoot，再用每人通过一次产生的平均脚步数系数 γ \gamma γ（视为已知经验常数）换算为累计通过人次 N N N：
N foot = ∑ i ∫ 0 b N i ( x ) d x , N = N foot γ . N_{\text{foot}} = \sum_i \int_0^{b} N_i(x)\,\mathrm{d}x,\qquad N = \frac{N_{\text{foot}}}{\gamma}. Nfoot=i∑∫0bNi(x)dx,N=γNfoot.该式将空间积分的脚步次数转化为通过人次；其中 γ \gamma γ 体现了单人完整上下或通过该段楼梯时的平均踏步次数。
利用时间关系约束进一步得到平均使用频率 f f f：
f = N T = 1 γ T ∑ i ∫ 0 b N i ( x ) d x . f = \frac{N}{T} = \frac{1}{\gamma T}\sum_i \int_0^{b} N_i(x)\,\mathrm{d}x. f=TN=γT1i∑∫0bNi(x)dx.该式给出从磨损分布直接计算年均使用频率 f f f 的显式表达。
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步骤三：由磨损空间分布识别通行"车道"并估计 M M M 与 w lane w_{\text{lane}} wlane ：先对每级台阶的横向脚步分布进行归一化，得到概率密度 p i ( x ) p_i(x) pi(x)，再据此识别高频通行带：
p i ( x ) = N i ( x ) ∫ 0 b N i ( ξ ) d ξ , ∫ 0 b p i ( x ) d x = 1. p_i(x) = \frac{N_i(x)}{\int_0^{b} N_i(\xi)\,\mathrm{d}\xi},\quad \int_0^{b} p_i(x)\,\mathrm{d}x = 1. pi(x)=∫0bNi(ξ)dξNi(x),∫0bpi(x)dx=1.该式将脚步次数标准化为横向使用概率分布，便于识别集中通行区域。
设定阈值 θ \theta θ（如 p i ( x ) ≥ θ p_i(x) \ge \theta pi(x)≥θ）定义"高使用区域"，每一段连续区间 [ x m , left , x m , right ] [x_{m,\text{left}},x_{m,\text{right}}] [xm,left,xm,right] 视为一条磨损通道，第 m m m 条通道的宽度为：
w lane , m = x m , right − x m , left , m = 1 , ... , M . w_{\text{lane},m} = x_{m,\text{right}} - x_{m,\text{left}},\quad m=1,\dots,M. wlane,m=xm,right−xm,left,m=1,...,M.该式从概率密度的连通高值区间提取每条通道的几何宽度。
典型单人通行宽度 w lane w_{\text{lane}} wlane 和并排行走人数 M M M 可定义为：
w lane = 1 M ∑ m = 1 M w lane , m , M = card { m : w lane , m > 0 } . w_{\text{lane}} = \frac{1}{M}\sum_{m=1}^{M} w_{\text{lane},m},\qquad M = \text{card}\bigl\{m : w_{\text{lane},m} > 0\bigr\}. wlane=M1m=1∑Mwlane,m,M=card{m:wlane,m>0}.该式将识别到的通行通道数视为典型并排行走人数，将各通道宽度的平均值作为单人有效横向占用宽度，并与几何约束 M w lane ≤ b M w_{\text{lane}} \le b Mwlane≤b 共同限定估计结果。
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步骤四：通行方向偏好指标的参数化与估计 ：为描述上下行通行比例，将局部脚步次数分解为上行与下行贡献：
N i ( x ) = N i , ↑ ( x ) + N i , ↓ ( x ) , N i , ↑ ( x ) = λ ↑ N i ( x ) , N i , ↓ ( x ) = λ ↓ N i ( x ) . N_i(x) = N_{i,\uparrow}(x) + N_{i,\downarrow}(x),\quad N_{i,\uparrow}(x) = \lambda_{\uparrow} N_i(x),\quad N_{i,\downarrow}(x) = \lambda_{\downarrow} N_i(x). Ni(x)=Ni,↑(x)+Ni,↓(x),Ni,↑(x)=λ↑Ni(x),Ni,↓(x)=λ↓Ni(x).该式假定在统计意义上上下行在同一横向位置共享相似的空间分布，只在总量上按比例 λ ↑ , λ ↓ \lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow} λ↑,λ↓ 区分。
在给定一组候选比例 ( λ ↑ , λ ↓ ) (\lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow}) (λ↑,λ↓) 时，可构造表征"模型预测磨损模式"与观测磨损模式在宏观形状上的差异指标 J dir ( λ ↑ , λ ↓ ) J_{\text{dir}}(\lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow}) Jdir(λ↑,λ↓)，例如基于上、下部梯级磨损梯度或边缘区域磨损差异，进而通过优化得到偏好估计：
( λ ↑ ∗ , λ ↓ ∗ ) = arg min λ ↑ + λ ↓ = 1 J dir ( λ ↑ , λ ↓ ) . (\lambda_{\uparrow}^{\ast},\lambda_{\downarrow}^{\ast}) = \arg\min_{\lambda_{\uparrow}+\lambda_{\downarrow}=1} J_{\text{dir}}(\lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow}). (λ↑∗,λ↓∗)=argλ↑+λ↓=1minJdir(λ↑,λ↓).该式给出在满足概率约束的条件下，通过最小化与观测磨损模式偏差的准则来估计通行方向偏好，从而回答是否存在明显上行或下行主通行方向。
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步骤五：测量信息需求与简化测量方案设计 ：在上述框架中，核心物理量包括几何参数 b , l , h b,l,h b,l,h、材料参数 k k k、服役时间 T T T 以及磨损场 w i ( x ) w_i(x) wi(x)。为满足无损、低成本、小团队、简易工具的约束，可将对连续函数 w i ( x ) w_i(x) wi(x) 的测量离散化为在有限采样点 { x j } \{x_j\} {xj} 上测得的高度 z ( i , x j ) z(i,x_j) z(i,xj)，并利用插值或拟合重建磨损形态：
w i ( x j ) = z 0 ( i , x j ) − z ( i , x j ) , j = 1 , ... , J . w_i(x_j) = z_0(i,x_j) - z(i,x_j),\quad j=1,\dots,J. wi(xj)=z0(i,xj)−z(i,xj),j=1,...,J.该式说明模型只需在有限网格上获取踏面高度差即可构造离散磨损深度，用简单量具或低成本三维扫描仪即可完成数据采集。
2.3 预期输出定义
- 台阶平均使用频率 f f f：根据磨损反推出的年均通过人次，表示为 f f f（单位：人次/年），用于刻画台阶长时间尺度上的使用强度。
- 台阶累计通过人次 N N N：通过 N = f T N=fT N=fT 由磨损推得的整个服役期总通过人次，反映该组台阶在使用历史上的总体人流规模。
- 通行方向偏好指标 λ ↑ , λ ↓ \lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow} λ↑,λ↓：在满足 λ ↑ + λ ↓ = 1 \lambda_{\uparrow}+\lambda_{\downarrow}=1 λ↑+λ↓=1 的条件下，上下行人次占比的估计值，用于判断是否存在明显的上行或下行主方向及其偏好程度。
- 同时并排行走人数 M M M：从横向磨损通道数反推得到的典型并排行走排数，刻画人群是单列还是多列通行。
- 单人通行宽度 w lane w_{\text{lane}} wlane：由各磨损通道宽度的平均值得到的典型横向占用宽度，用于描述每列人群在台阶踏面上所需的空间尺度。
问题二的核心需求与实现关键
1. 核心需求
- 在已拥有台阶建造年代估计 T ^ build \hat{T}{\text{build}} T^build、台阶使用方式（如上下行比例 λ ↑ , λ ↓ \lambda{\uparrow},\lambda_{\downarrow} λ↑,λ↓）、建筑内日常活动模式给出的日均使用人次估计 N ^ d \hat{N}d N^d 的前提下，利用当前测得的各级台阶平均磨损深度 { w i } \{w_i\} {wi} 建立评估与反演模型：一方面定量评价观测磨损是否与先验信息一致；另一方面反推台阶建造年代 T build ∗ T{\text{build}}^{\ast} Tbuild∗ 及其可靠性、修缮/翻新历史 ( K , { τ k } ) (K,\{\tau_k\}) (K,{τk})、材料磨损参数与材料来源匹配度 ( k , I mat , R mat ) (k,I_{\text{mat}},R_{\text{mat}}) (k,Imat,Rmat)、日均使用人次 N d ∗ N_d^{\ast} Nd∗ 及其可靠性 R N R_N RN，并构造使用集中度指标 I burst I_{\text{burst}} Iburst 以区分"短时间高强度使用"与"长时间低强度使用"。
2. 实现关键
2.1 约束条件
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无损测量约束：与问题一类似，磨损测量必须完全非破坏：
D meas = 0. D_{\text{meas}} = 0. Dmeas=0.该式保证用于年代和使用历史推断的数据采集不会改变台阶的现状。
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测量成本约束：测量总成本 C meas C_{\text{meas}} Cmeas 需不超过低成本上限 C max C_{\max} Cmax：
C meas ≤ C max . C_{\text{meas}} \leq C_{\max}. Cmeas≤Cmax.该式确保问题二中为获取 { w i } \{w_i\} {wi} 及相关信息的调查在经济上可行。
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小团队规模约束：参与测量与记录的工作人员人数 P team P_{\text{team}} Pteam 不得超过预设上限 P max P_{\max} Pmax：
P team ≤ P max . P_{\text{team}} \leq P_{\max}. Pteam≤Pmax.该式保证实地工作可以由小规模考古或测绘团队完成。
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先验信息利用约束：一致性评价指标 I cons I_{\text{cons}} Icons 必须显式依赖观测磨损、建造年代估计、日均使用人次估计、使用方式和假定材料参数等先验信息：
I cons = F ( { w i } i = 1 S , T ^ build , N ^ d , λ ↑ , λ ↓ , k ^ ) . I_{\text{cons}} = F\bigl(\{w_i\}{i=1}^S,\ \hat{T}{\text{build}},\ \hat{N}d,\ \lambda{\uparrow},\ \lambda_{\downarrow},\ \hat{k}\bigr). Icons=F({wi}i=1S, T^build, N^d, λ↑, λ↓, k^).该式表明一致性指标是在观测数据基础上，对先验年代与使用模式及材料假设的综合检验。
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建造时间与服役期约束：真实建造年份不得晚于观测年份，服役时间为两者差值：
T build ≤ T now , t = T now − T build . T_{\text{build}} \leq T_{\text{now}},\qquad t = T_{\text{now}} - T_{\text{build}}. Tbuild≤Tnow,t=Tnow−Tbuild.该式限定了可行的建造年代范围，并定义了磨损累积的时间尺度 t t t。
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磨损非负约束：各级台阶观测磨损深度不能为负：
w i ≥ 0 , i = 1 , 2 , ... , S . w_i \geq 0,\quad i = 1,2,\dots,S. wi≥0,i=1,2,...,S.该式体现磨损仅能导致材料损失，不存在"增厚"现象。
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磨损随时间与强度单调累积：在相邻的"建造---修缮"阶段内，模型预测的磨损深度 w i mod w_i^{\text{mod}} wimod 随服役时间、日均使用人次和材料磨损系数单调不减：
∂ w i mod ∂ t ≥ 0 , ∂ w i mod ∂ N d ≥ 0 , ∂ w i mod ∂ k ≥ 0. \frac{\partial w_i^{\text{mod}}}{\partial t} \geq 0,\quad \frac{\partial w_i^{\text{mod}}}{\partial N_d} \geq 0,\quad \frac{\partial w_i^{\text{mod}}}{\partial k} \geq 0. ∂t∂wimod≥0,∂Nd∂wimod≥0,∂k∂wimod≥0.该式保证前向磨损模型与物理直觉一致：时间越长、使用越频繁或材料越软，磨损不能减少。
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修缮/翻新时间序约束：修缮或翻新事件发生在建造之后、当前观测之前，且按时间先后严格递增：
0 < τ 1 < τ 2 < ⋯ < τ K < t . 0 < \tau_1 < \tau_2 < \cdots < \tau_K < t. 0<τ1<τ2<⋯<τK<t.该式为多阶段磨损累积过程提供时间轴划分，避免修缮时间重叠或越界。
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通行方向比例约束：上下行比例为概率量，与问题一保持一致：
0 ≤ λ ↑ ≤ 1 , 0 ≤ λ ↓ ≤ 1 , λ ↑ + λ ↓ = 1. 0 \leq \lambda_{\uparrow} \leq 1,\quad 0 \leq \lambda_{\downarrow} \leq 1,\quad \lambda_{\uparrow} + \lambda_{\downarrow} = 1. 0≤λ↑≤1,0≤λ↓≤1,λ↑+λ↓=1.该式确保所用使用方式参数在概率意义上合理。
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日均使用人次与磨损关系约束：平均日使用人次 N d N_d Nd 非负，且通过磨损反演得到的估计值 N d ∗ N_d^{\ast} Nd∗ 由磨损数据、建造年代估计、修缮历史与材料参数共同决定：
N d ≥ 0 , N d ∗ = G ( { w i } i = 1 S , T build ∗ , K , { τ k } , k ) . N_d \geq 0,\quad N_d^{\ast} = G\bigl(\{w_i\}{i=1}^S,\ T{\text{build}}^{\ast},\ K,\ \{\tau_k\},\ k\bigr). Nd≥0,Nd∗=G({wi}i=1S, Tbuild∗, K, {τk}, k).该式将日均使用人次的反演明确为磨损前向模型的逆问题。
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可靠性与匹配度指标约束：建造年代可靠性 R T R_T RT、材料匹配度 I mat I_{\text{mat}} Imat 与可靠性 R mat R_{\text{mat}} Rmat、日均使用人次可靠性 R N R_N RN 以及使用集中度指标 I burst I_{\text{burst}} Iburst 均为 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 区间的无量纲指标：
0 ≤ R T ≤ 1 , 0 ≤ R mat ≤ 1 , 0 ≤ R N ≤ 1 , 0 ≤ I cons ≤ 1 , 0 ≤ I mat ≤ 1 , 0 ≤ I burst ≤ 1. 0 \leq R_T \leq 1,\quad 0 \leq R_{\text{mat}} \leq 1,\quad 0 \leq R_{N} \leq 1,\quad 0 \leq I_{\text{cons}} \leq 1,\quad 0 \leq I_{\text{mat}} \leq 1,\quad 0 \leq I_{\text{burst}} \leq 1. 0≤RT≤1,0≤Rmat≤1,0≤RN≤1,0≤Icons≤1,0≤Imat≤1,0≤Iburst≤1.该式保证所有评价类输出具有统一的量纲和可比较的取值范围。
2.2 数学模型核心公式框架
（为避免与问题一中踏面面积符号 S S S 混淆，本问题中台阶级数记为 S step S_{\text{step}} Sstep，且有 S step = S S_{\text{step}} = S Sstep=S。）
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步骤一：建立考虑使用方式与修缮的前向磨损模型 ：在给定建造年份 T build T_{\text{build}} Tbuild、日均使用人次 N d N_d Nd、材料磨损系数 k k k、上下行比例 λ ↑ , λ ↓ \lambda_{\uparrow},\lambda_{\downarrow} λ↑,λ↓ 以及修缮历史 ( K , { τ k } ) (K,\{\tau_k\}) (K,{τk}) 的条件下，构建预测磨损深度 w i mod w_i^{\text{mod}} wimod 的模型。将总服役时间 t t t 按修缮事件划分为 K + 1 K+1 K+1 个阶段，记：
τ 0 = 0 , τ K + 1 = t , Δ t j = τ j + 1 − τ j , j = 0 , ... , K . \tau_0 = 0,\quad \tau_{K+1} = t,\quad \Delta t_j = \tau_{j+1} - \tau_j,\quad j=0,\dots,K. τ0=0,τK+1=t,Δtj=τj+1−τj,j=0,...,K.该式给出每个阶段的持续时间，用于分段累积磨损。
假设每阶段内日均使用人次为常数 N d N_d Nd，且第 j j j 阶段第 i i i 级台阶的相对使用权重为 ϕ i ( j ) \phi_i^{(j)} ϕi(j)（反映使用方式对不同梯级的影响），满足 1 S step ∑ i = 1 S step ϕ i ( j ) = 1 \frac{1}{S_{\text{step}}}\sum_{i=1}^{S_{\text{step}}} \phi_i^{(j)} = 1 Sstep1∑i=1Sstepϕi(j)=1，则总体预测磨损可写为：
w i mod = k N d ∑ j = 0 K ϕ i ( j ) Δ t j , i = 1 , ... , S step . w_i^{\text{mod}} = k\,N_d \sum_{j=0}^{K} \phi_i^{(j)}\,\Delta t_j,\quad i = 1,\dots,S_{\text{step}}. wimod=kNdj=0∑Kϕi(j)Δtj,i=1,...,Sstep.该式把材料参数、使用强度、修缮分段时间和梯级间使用差异整合为对观测磨损的前向预测。
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步骤二：构造观测与预测磨损差异及一致性指标 ：观测磨损与模型预测的差值定义为：
Δ w i = w i − w i mod , i = 1 , ... , S step . \Delta w_i = w_i - w_i^{\text{mod}},\quad i = 1,\dots,S_{\text{step}}. Δwi=wi−wimod,i=1,...,Sstep.该式量化了每级台阶在给定先验年代、使用强度和材料假设下的残差。
以均方残差构造整体偏差度量 J cons J_{\text{cons}} Jcons：
J cons = 1 S step ∑ i = 1 S step ( Δ w i ) 2 . J_{\text{cons}} = \frac{1}{S_{\text{step}}}\sum_{i=1}^{S_{\text{step}}} (\Delta w_i)^2. Jcons=Sstep1i=1∑Sstep(Δwi)2.该式将各级台阶的残差统一为一个非负标量，值越小代表拟合越好。
进一步采用尺度参数 σ w \sigma_w σw 将其映射为 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 区间的一致性指标：
I cons = exp ( − J cons σ w 2 ) . I_{\text{cons}} = \exp\!\left(-\frac{J_{\text{cons}}}{\sigma_w^2}\right). Icons=exp(−σw2Jcons).该式保证当模型与观测完全一致时 I cons ≈ 1 I_{\text{cons}}\approx 1 Icons≈1，残差增大时 I cons I_{\text{cons}} Icons 单调减小接近 0 0 0。
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步骤三：建造年代的反演与可靠性评价 ：将建造年份 T build T_{\text{build}} Tbuild 视为待估参数，构造同时考虑残差与先验年代接近度的目标函数：
J T ( T build ) = α J cons ( T build ) + ( 1 − α ) ( T build − T ^ build ) 2 σ T 2 , 0 < α < 1. J_T(T_{\text{build}}) = \alpha\,J_{\text{cons}}(T_{\text{build}}) + (1-\alpha)\,\frac{\bigl(T_{\text{build}} - \hat{T}_{\text{build}}\bigr)^2}{\sigma_T^2},\quad 0<\alpha<1. JT(Tbuild)=αJcons(Tbuild)+(1−α)σT2(Tbuild−T^build)2,0<α<1.该式在惩罚磨损残差的同时，也惩罚偏离先验建造年代的解， σ T \sigma_T σT 为年代先验的不确定性尺度。
建造年代估计值定义为使 J T J_T JT 最小的年份：
T build ∗ = arg min T build ≤ T now J T ( T build ) . T_{\text{build}}^{\ast} = \arg\min_{T_{\text{build}} \le T_{\text{now}}} J_T(T_{\text{build}}). Tbuild∗=argTbuild≤TnowminJT(Tbuild).该式在物理可行域内选择与观测磨损和历史估计最一致的建造时间。
可靠性指标 R T R_T RT 可以通过归一化后的目标函数值定义，例如：
R T = exp ( − J T ( T build ∗ ) J T ref ) , R_T = \exp\!\left(-\frac{J_T\bigl(T_{\text{build}}^{\ast}\bigr)}{J_T^{\text{ref}}}\right), RT=exp(−JTrefJT(Tbuild∗)),其中 J T ref J_T^{\text{ref}} JTref 为参考尺度常数，该式保证拟合越好（目标函数越小），建造年代估计的可靠性越接近 1 1 1。
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步骤四：修缮次数与修缮时间的推断 ：对每一候选修缮次数 K K K 和时间序列 { τ k } \{\tau_k\} {τk}，通过前向模型计算 J cons ( K , { τ k } ) J_{\text{cons}}(K,\{\tau_k\}) Jcons(K,{τk})，并引入对复杂度的惩罚项构造目标函数：
J repair ( K , { τ k } ) = J cons ( K , { τ k } ) + β K , β > 0. J_{\text{repair}}(K,\{\tau_k\}) = J_{\text{cons}}(K,\{\tau_k\}) + \beta K,\quad \beta > 0. Jrepair(K,{τk})=Jcons(K,{τk})+βK,β>0.该式在保证拟合质量的同时避免过多修缮事件导致的过拟合。
修缮/翻新历史估计为：
( K ∗ , { τ k ∗ } ) = arg min K , { τ k } J repair ( K , { τ k } ) . (K^{\ast},\{\tau_k^{\ast}\}) = \arg\min_{K,\{\tau_k\}} J_{\text{repair}}(K,\{\tau_k\}). (K∗,{τk∗})=argK,{τk}minJrepair(K,{τk}).该式给出最能解释磨损观测且复杂度适中的修缮次数及时间分布，用于回答台阶的修缮/翻新历史。
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步骤五：材料磨损系数的估计与材料来源匹配度构造 ：在给定 T build ∗ T_{\text{build}}^{\ast} Tbuild∗、 N d N_d Nd、 K ∗ K^{\ast} K∗ 和 { τ k ∗ } \{\tau_k^{\ast}\} {τk∗} 的条件下，前向模型中 w i mod w_i^{\text{mod}} wimod 对 k k k 线性，记：
w i mod ( k ) = k u i , u i = N d ∑ j = 0 K ∗ ϕ i ( j ) Δ t j . w_i^{\text{mod}}(k) = k\,u_i,\quad u_i = N_d \sum_{j=0}^{K^{\ast}} \phi_i^{(j)}\,\Delta t_j. wimod(k)=kui,ui=Ndj=0∑K∗ϕi(j)Δtj.该式将材料参数 k k k 与其他已知因素分离，使得磨损对 k k k 呈线性依赖。
采用最小二乘准则估计 k k k：
k ∗ = ∑ i = 1 S step w i u i ∑ i = 1 S step u i 2 . k^{\ast} = \frac{\sum_{i=1}^{S_{\text{step}}} w_i\,u_i}{\sum_{i=1}^{S_{\text{step}}} u_i^2}. k∗=∑i=1Sstepui2∑i=1Sstepwiui.该式在整体意义上使预测磨损最接近观测磨损。
与假定材料参数 k ^ \hat{k} k^ 比较，构造材料来源匹配度指标：
I mat = exp ( − ( k ∗ − k ^ ) 2 σ k 2 ) . I_{\text{mat}} = \exp\!\left(-\frac{\bigl(k^{\ast} - \hat{k}\bigr)^2}{\sigma_k^2}\right). Imat=exp(−σk2(k∗−k^)2).该式保证当估计磨损系数与先验材料假设吻合时 I mat I_{\text{mat}} Imat 接近 1 1 1，差异增大时 I mat I_{\text{mat}} Imat 减小。
材料来源可靠性指标可通过基于 k ∗ k^{\ast} k∗ 的残差构造，例如：
R mat = exp ( − 1 S step σ w 2 ∑ i = 1 S step ( w i − k ∗ u i ) 2 ) . R_{\text{mat}} = \exp\!\left(-\frac{1}{S_{\text{step}}\sigma_w^2}\sum_{i=1}^{S_{\text{step}}}\bigl(w_i - k^{\ast}u_i\bigr)^2\right). Rmat=exp −Sstepσw21i=1∑Sstep(wi−k∗ui)2 .该式说明在采用估计材料参数后，整体拟合越好，材料来源判定越可靠。
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步骤六：日均使用人次的反演及可靠性评价 ：在给定 T build ∗ T_{\text{build}}^{\ast} Tbuild∗、 k ∗ k^{\ast} k∗ 和修缮历史 ( K ∗ , { τ k ∗ } ) (K^{\ast},\{\tau_k^{\ast}\}) (K∗,{τk∗}) 后，前向模型对 N d N_d Nd 同样线性，记：
w i mod ( N d ) = N d v i , v i = k ∗ ∑ j = 0 K ∗ ϕ i ( j ) Δ t j . w_i^{\text{mod}}(N_d) = N_d\,v_i,\quad v_i = k^{\ast} \sum_{j=0}^{K^{\ast}} \phi_i^{(j)}\,\Delta t_j. wimod(Nd)=Ndvi,vi=k∗j=0∑K∗ϕi(j)Δtj.该式把日均使用人次 N d N_d Nd 与其他未知分离。
对所有梯级采用最小二乘估计日均使用人次：
N d ∗ = ∑ i = 1 S step w i v i ∑ i = 1 S step v i 2 . N_d^{\ast} = \frac{\sum_{i=1}^{S_{\text{step}}} w_i\,v_i}{\sum_{i=1}^{S_{\text{step}}} v_i^2}. Nd∗=∑i=1Sstepvi2∑i=1Sstepwivi.该式在整体上使预测磨损最接近观测磨损，从而反推出日均使用强度。
日均使用人次估计的可靠性指标可定义为：
R N = exp ( − 1 S step σ w 2 ∑ i = 1 S step ( w i − N d ∗ v i ) 2 ) . R_N = \exp\!\left(-\frac{1}{S_{\text{step}}\sigma_w^2}\sum_{i=1}^{S_{\text{step}}}\bigl(w_i - N_d^{\ast}v_i\bigr)^2\right). RN=exp −Sstepσw21i=1∑Sstep(wi−Nd∗vi)2 .该式说明当基于 N d ∗ N_d^{\ast} Nd∗ 的预测磨损与观测高度吻合时， R N R_N RN 接近 1 1 1，否则趋向较小值。
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步骤七：使用集中度指标的构造 ：为区分"短时间大量使用"与"长时间少量使用"，可在修缮阶段上引入分段日均使用人次 N d ( j ) N_d^{(j)} Nd(j)（允许不同阶段使用强度不同），并定义整体平均日均使用人次：
N ˉ d = ∑ j = 0 K ∗ N d ( j ) Δ t j ∑ j = 0 K ∗ Δ t j . \bar{N}d = \frac{\sum{j=0}^{K^{\ast}} N_d^{(j)}\,\Delta t_j}{\sum_{j=0}^{K^{\ast}} \Delta t_j}. Nˉd=∑j=0K∗Δtj∑j=0K∗Nd(j)Δtj.该式给出整个服役期的时间加权平均使用强度。
设各阶段最大日均使用人次为 N d , max = max j N d ( j ) N_{d,\max} = \max_j N_d^{(j)} Nd,max=maxjNd(j)，则可定义使用集中度指标：
I burst = 1 − exp ( − N d , max N ˉ d ) . I_{\text{burst}} = 1 - \exp\!\left(-\frac{N_{d,\max}}{\bar{N}_d}\right). Iburst=1−exp(−NˉdNd,max).该式保证当某一阶段使用强度远高于平均水平时 I burst I_{\text{burst}} Iburst 接近 1 1 1（使用高度集中），而各阶段使用强度接近时 I burst I_{\text{burst}} Iburst 较小，表示使用较为均匀分布。
2.3 预期输出定义
- 磨损与先验信息一致性评价 I cons I_{\text{cons}} Icons：由观测磨损 { w i } \{w_i\} {wi} 与在 ( T ^ build , N ^ d , λ ↑ , λ ↓ , k ^ ) (\hat{T}{\text{build}},\hat{N}d,\lambda{\uparrow},\lambda{\downarrow},\hat{k}) (T^build,N^d,λ↑,λ↓,k^) 下预测磨损 w i mod w_i^{\text{mod}} wimod 的残差构造的 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 指标，用于回答"磨损情况与现有信息是否一致"这一问题。
- 建造年代估计 T build ∗ T_{\text{build}}^{\ast} Tbuild∗ 及可靠性 R T R_T RT：通过最小化目标函数 J T J_T JT 反推出的建造年份估计，以及由拟合优度归一化得到的可靠性指标，刻画"台阶建造年代是多少"及该估计可信程度。
- 修缮/翻新历史 ( K ∗ , { τ k ∗ } ) (K^{\ast},\{\tau_k^{\ast}\}) (K∗,{τk∗})：由目标函数 J repair J_{\text{repair}} Jrepair 优化得到的修缮次数和各次修缮发生时间，用于重建台阶服役过程中经历的修缮与翻新阶段。
- 材料磨损参数 k ∗ k^{\ast} k∗、材料来源匹配度 I mat I_{\text{mat}} Imat 与可靠性 R mat R_{\text{mat}} Rmat：由磨损与使用强度数据反推的单位人次磨损系数及其与假设材料参数 k ^ \hat{k} k^ 的匹配度和可信度，用于判断台阶石材或木材是否符合考古学家推测的来源。
- 日均使用人次估计 N d ∗ N_d^{\ast} Nd∗ 及其可靠性 R N R_N RN：在综合磨损数据、建造年代和修缮历史后反推出的台阶服役期平均日使用人次，以及基于残差的估计可靠性，用于回答"可以确定哪些关于台阶日均使用人数的信息"。
- 使用集中度指标 I burst I_{\text{burst}} Iburst：基于各阶段日均使用人次差异构造的 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 指标，用于判断台阶是短时间内被大量使用（高 I burst I_{\text{burst}} Iburst）还是在长时间尺度上被较为均匀地使用（低 I burst I_{\text{burst}} Iburst）。