1.随机微分方程
Stochastic Differential Equation，SDE。
1引言，2线性随机微分方程分类，
3线性随机微分方程求解（a齐次标量线性SDE的求解，b狭义线性SDE的求解）
a，几何布朗运动
b，均值回复模型，O-U过程，Vasicek模型
SDE例子：几何布朗运动
dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)dS(t) = \mu S(t) dt +\sigma S(t) dW(t)dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)
其中，S(t)S(t)S(t)是随机过程，μ\muμ和σ\sigmaσ是常数，W(t)W(t)W(t)是标准的布朗运动。该方程在金融领域可以用来刻画股票等金融资产的价格演化
SDE有无穷多个可能的解，为了对解加以限定，需要加入初值条件（initial value condition IV）比如S(0)=S0S(0)=S_0S(0)=S0
SDE类似于ODE有无穷多个解，需要有初值条件（IV初值）加以限定。
从普通的微分方程开始
dS(t)=μS(t)dt,S(0)=SdS(t) = \mu S(t) dt, \quad S(0)=SdS(t)=μS(t)dt,S(0)=S
求解的思路：
1.采取变量分离法（separation of variables），将公式右边的S(t)S(t)S(t)提取到左侧
dS(t)S(t)=μdt\frac{dS(t)}{S(t)} = \mu dtS(t)dS(t)=μdt。
2对公式两侧取积分，可得
∫0tdS(u)S(u)=∫0tμdu⇒lnS(t)−lnS(0)=μt \begin{equation*} \int_{0}^{t}\frac{dS(u)}{S(u)}=\int_{0}^{t}\mu du\Rightarrow \ln S(t)-\ln S(0)=\mu t \end{equation*} ∫0tS(u)dS(u)=∫0tμdu⇒lnS(t)−lnS(0)=μt
3将初值条件S(0)=SS(0)=SS(0)=S代入，最终可得
lnS(t)−lnS=μtS(t)=Seμt \begin{aligned} \ln S(t)-\ln S =&\mu t \\ S(t) =&Se^{\mu t} \end{aligned} lnS(t)−lnS=S(t)=μtSeμt
几何布朗运动SDE的求解
布朗运动W(t)W(t)W(t)是处处连续且处处不可微的，这一特征造成了我们不能使用通常求解微分方程的相关方法对SDE进行分析和求解。
dS(t)S(t)=μdt+σdW(t)⇏dln[S(t)]=μdt+σdW(t)\frac{dS(t)}{S(t)}=\mu dt+\sigma dW(t)\nRightarrow d\ln [S(t)]=\mu dt+\sigma dW(t)S(t)dS(t)=μdt+σdW(t)⇏dln[S(t)]=μdt+σdW(t)
这里不成立的原因也是因为布朗运动W(t)W(t)W(t)的二次变差不为0，需要使用Ito's lemma进行求解。
问题回顾：
几何布朗运动
dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)dS(t) = \mu S(t) dt +\sigma S(t) dW(t)dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)
其中，S(t)S(t)S(t)是随机过程，μ\muμ和σ\sigmaσ是常数，W(t)W(t)W(t)是标准的布朗运动。求f[S(t)]=lnS(t)f[S(t)]=\ln S(t)f[S(t)]=lnS(t)的对应SDE。
回顾一维的Ito's lemma。若Z(t)=f(t,X(t))Z(t)=f(t,X(t))Z(t)=f(t,X(t))，且dX(t)=F(t)dt+G(t)dW(t)dX(t)= F(t)dt + G(t)dW(t)dX(t)=F(t)dt+G(t)dW(t)。
则有结论：df(t,X)=[ft+F(t)fX+12G2(t)fXX]dt+G(t)fXdW(t)df(t,X)= [f_{t} +F(t)f_{X}+\frac{1}{2}G^{2}(t)f_{XX}]dt +G(t)f_{X}dW(t)df(t,X)=[ft+F(t)fX+21G2(t)fXX]dt+G(t)fXdW(t)
解1，还是利用泰勒公式，这里其实类似的是一元Ito's lemma的证明过程。
先写出整体的泰勒展开式，df=ftdt+fSdS+12ftt(dt)2+12fSS(dS)2+ftS(dt)(dS)df= f_{t}dt +f_{S}dS + \frac{1}{2}f_{tt}(dt)^2 +\frac{1}{2}f_{SS}(dS)^2 + f_{tS}(dt)(dS)df=ftdt+fSdS+21ftt(dt)2+21fSS(dS)2+ftS(dt)(dS)，然后先消去为0的几个项数(dt)2,(dt)(dS)(dt)^2,(dt)(dS)(dt)2,(dt)(dS)。
df=ftdt+fSdS+12fSS(dS)2df= f_{t}dt +f_{S}dS +\frac{1}{2}f_{SS}(dS)^2df=ftdt+fSdS+21fSS(dS)2
解2直接利用结论：dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)=F(t)dt+G(t)dW(t)dS(t) = \mu S(t) dt +\sigma S(t) dW(t)=F(t) dt +G(t) dW(t)dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)=F(t)dt+G(t)dW(t)，其中F(t)=μS(t)F(t)= \mu S(t)F(t)=μS(t)，G(t)=σS(t)G(t)= \sigma S(t)G(t)=σS(t)。
公式中的ft=0,fX=fS=1S,fXX=fSS=−1S2f_{t}=0,f_{X}=f_{S}=\frac{1}{S},f_{XX}=f_{SS}=-\frac{1}{S^2}ft=0,fX=fS=S1,fXX=fSS=−S21。
代入得到
df=[0+μS1S−12σ2S21S2]dt+σS21S2dW(t)df=[0+\mu S \frac{1}{S} -\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{1}{S^2}]dt + \sigma S^2 \frac{1}{S^2} dW(t)df=[0+μSS1−21σ2S2S21]dt+σS2S21dW(t)
df=[μ−12σ2]dt+σdW(t)df=[\mu - \frac{1}{2} \sigma^2]dt + \sigma dW(t)df=[μ−21σ2]dt+σdW(t)
GBM几何布朗运动SDE的解仍然是一个随机变量。可以求数字特征（均值，方差）
S(t)S(t)S(t)期望和方差
服从对数正态分布的S(t)S(t)S(t)期望和方差如下
E[S(t)]=exp[lnS0+μt]=S0⋅eμt\mathbb{E} [S(t)] = \exp [\ln S_0 + \mu t] = S_{0}\cdot e^{\mu t}E[S(t)]=exp[lnS0+μt]=S0⋅eμt
Var[S(t)]=exp[2lnS0+2μt][exp(σ2t)−1]=S02e2μt⋅(eσ2t−1)\mathrm{Var}[S(t)] =\exp[2 \ln S_{0} + 2 \mu t] [\exp(\sigma^2 t) -1]= S_{0}^{2} e^{2 \mu t} \cdot (e^{\sigma^2 t}-1)Var[S(t)]=exp[2lnS0+2μt][exp(σ2t)−1]=S02e2μt⋅(eσ2t−1)
本章只涉及线性随机微分方程的求解问题。