匀速圆周运动正电荷相关场方程的求导证明与验证

推导的基石是张祥前ZUFT中连接变化电磁场的两个核心关系：

一、核心基础方程

1.1 磁场运动学定义

B ⃗ = 1 c 2 ( V ⃗ × E ⃗ ) (公式 M.1) \vec{B} = \frac{1}{c^2} (\vec{V} \times \vec{E}) \quad \text{(公式 M.1)} B =c21(V ×E )(公式 M.1)

其中 V ⃗ \vec{V} V 是场源（电荷）的运动速度， c c c 为光速， E ⃗ \vec{E} E 为电场强度。

1.2 变化磁场相关动力学方程

∂ B ⃗ ∂ t = − 1 c 2 ( A ⃗ × E ⃗ ) (公式 D.1) \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{1}{c^2} (\vec{A} \times \vec{E}) \quad \text{(公式 D.1)} ∂t∂B =−c21(A ×E )(公式 D.1)

此方程是理论预言"变化的电磁场产生相关场"的微分形式，其中 A ⃗ \vec{A} A 为待求场量， ∂ B ⃗ ∂ t \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} ∂t∂B 为磁场的时间变化率。

1.3 点电荷静电场方程

对于点电荷 q q q（ q > 0 q>0 q>0），其激发的静电场遵循库仑定律形式：

E ⃗ = q 4 π ε 0 r ^ R 2 (公式 C.1) \vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\hat{r}}{R^2} \quad \text{(公式 C.1)} E =4πε0qR2r^(公式 C.1)

其中 ε 0 \varepsilon_0 ε0 为真空介电常数， r ^ \hat{r} r^ 为从电荷指向场点的单位矢量， R R R 为电荷到场点的距离。

1.4 常数体系关联关系

在ZUFT理论中，库仑常数 1 4 π ε 0 \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} 4πε01 与内禀几何常数 Z ′ Z' Z′ 通过以下关系关联，确保体系自洽性：

1 4 π ε 0 = 2 Z ′ c \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{2Z'}{c} 4πε01=c2Z′

二、逐步详细求导过程

我们考虑一个电量为 q q q（ q > 0 q>0 q>0）的点电荷，在 x y xy xy 平面内以角速度 ω \omega ω 绕原点做匀速圆周运动，轨道半径为 r 0 r_0 r0，以此为模型展开求导推导。

2.1 步骤1：电荷运动学描述

设电荷在 t ′ t' t′ 时刻的位置矢量为 r ⃗ q ( t ′ ) \vec{r}_q(t') r q(t′)，速度为 V ⃗ ( t ′ ) \vec{V}(t') V (t′)，加速度为 a ⃗ ( t ′ ) \vec{a}(t') a (t′)，根据匀速圆周运动的运动学规律，各物理量表达式如下：

r ⃗ q ( t ′ ) = r 0 ( cos ⁡ ( ω t ′ ) x ^ + sin ⁡ ( ω t ′ ) y ^ ) v e c V ( t ′ ) = d r ⃗ q d t ′ = ω r 0 ( − sin ⁡ ( ω t ′ ) x ^ + cos ⁡ ( ω t ′ ) y ^ ) a ⃗ ( t ′ ) = d V ⃗ d t ′ = − ω 2 r 0 ( cos ⁡ ( ω t ′ ) x ^ + sin ⁡ ( ω t ′ ) y ^ ) = − ω 2 r ⃗ q ( t ′ ) \begin{aligned}\vec{r}_q(t') &= r_0 \left( \cos(\omega t')\hat{x} + \sin(\omega t')\hat{y} \right) \\vec{V}(t') &= \frac{d\vec{r}_q}{dt'} = \omega r_0 \left( -\sin(\omega t')\hat{x} + \cos(\omega t')\hat{y} \right) \\\vec{a}(t') &= \frac{d\vec{V}}{dt'} = -\omega^2 r_0 \left( \cos(\omega t')\hat{x} + \sin(\omega t')\hat{y} \right) = -\omega^2 \vec{r}_q(t')\end{aligned} r q(t′)vecV(t′)a (t′)=r0(cos(ωt′)x^+sin(ωt′)y^)=dt′dr q=ωr0(−sin(ωt′)x^+cos(ωt′)y^)=dt′dV =−ω2r0(cos(ωt′)x^+sin(ωt′)y^)=−ω2r q(t′)

其中 x ^ \hat{x} x^、 y ^ \hat{y} y^ 分别为 x x x 轴、 y y y 轴的单位矢量。加速度 a ⃗ ( t ′ ) \vec{a}(t') a (t′) 为向心加速度，大小 a = ω 2 r 0 a = \omega^2 r_0 a=ω2r0，方向始终指向圆周轨道圆心。

2.2 步骤2：场点的推迟时间与几何关系

由于场的传播速度为光速 c c c，在场点 P P P（位置矢量 r ⃗ \vec{r} r ）观察到的场，并非由同一时刻 t t t 的电荷状态决定，而是由推迟时间 t r t_r tr 时刻的电荷状态决定，以满足光速传播条件。推迟时间及相关几何关系定义如下：

t r = t − R c , 其中 R ⃗ = r ⃗ − r ⃗ q ( t r ) , R = ∣ R ⃗ ∣ , r ^ = R ⃗ R . t_r = t - \frac{R}{c}, \quad \text{其中} \quad \vec{R} = \vec{r} - \vec{r}_q(t_r), \quad R = |\vec{R}|, \quad \hat{r} = \frac{\vec{R}}{R}. tr=t−cR,其中R =r −r q(tr),R=∣R ∣,r^=RR .

式中， R ⃗ \vec{R} R 是从推迟时刻 t r t_r tr 的电荷位置指向场点 P P P 的矢量， R R R 为该矢量的模（即推迟时刻电荷到场点的距离）， r ^ \hat{r} r^ 为其单位矢量。

2.3 步骤3：对磁场定义求时间偏导数

为建立 A ⃗ \vec{A} A 与电荷运动状态的关联，对磁场运动学定义式（公式 M.1）两端，在固定场点 P P P 处求时间偏导数 ∂ ∂ t \frac{\partial}{\partial t} ∂t∂，利用矢量叉乘的求导法则（乘积法则）展开：

∂ B ⃗ ∂ t = 1 c 2 ∂ ∂ t ( V ⃗ × E ⃗ ) = 1 c 2 [ ( ∂ V ⃗ ∂ t × E ⃗ ) + ( V ⃗ × ∂ E ⃗ ∂ t ) ] . \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} (\vec{V} \times \vec{E}) = \frac{1}{c^2} \left[ \left( \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} \times \vec{E} \right) + \left( \vec{V} \times \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) \right]. ∂t∂B =c21∂t∂(V ×E )=c21[(∂t∂V ×E )+(V ×∂t∂E )].

根据电荷运动学规律， ∂ V ⃗ ∂ t = a ⃗ ( t r ) \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = \vec{a}(t_r) ∂t∂V =a (tr)（加速度为速度的时间导数，且需在推迟时间 t r t_r tr 时刻评估，与场的传播延迟一致）。将此结果与变化磁场相关动力学方程（公式 D.1）联立，代入上式：

− 1 c 2 ( A ⃗ × E ⃗ ) = 1 c 2 [ ( a ⃗ × E ⃗ ) + ( V ⃗ × ∂ E ⃗ ∂ t ) ] . -\frac{1}{c^2} (\vec{A} \times \vec{E}) = \frac{1}{c^2} \left[ \left( \vec{a} \times \vec{E} \right) + \left( \vec{V} \times \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) \right]. −c21(A ×E )=c21[(a ×E )+(V ×∂t∂E )].

将上式两边同时乘以 c 2 c^2 c2，消去分母，得到后续推导的关键方程：

A ⃗ × E ⃗ = − ( a ⃗ × E ⃗ ) − ( V ⃗ × ∂ E ⃗ ∂ t ) . (公式 3.1) \vec{A} \times \vec{E} = -\left( \vec{a} \times \vec{E} \right) - \left( \vec{V} \times \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right). \quad \text{(公式 3.1)} A ×E =−(a ×E )−(V ×∂t∂E ).(公式 3.1)

2.4 步骤4：聚焦加速度驱动项并引入近似

公式（3.1）右侧包含两项，分别对应不同的物理贡献：

第一项 − ( a ⃗ × E ⃗ ) -(\vec{a} \times \vec{E}) −(a ×E )：直接由电荷的加速度 a ⃗ \vec{a} a 驱动，是揭示"加速度与待求场 A ⃗ \vec{A} A 关联"的核心项；
第二项 − ( V ⃗ × ∂ E ⃗ ∂ t ) -(\vec{V} \times \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) −(V ×∂t∂E )：与电荷速度 V ⃗ \vec{V} V 和电场的时间变化率 ∂ E ⃗ ∂ t \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} ∂t∂E 相关，在远场区域（ R ≫ r 0 R \gg r_0 R≫r0，即场点远离电荷圆周轨道）且对于匀速圆周运动，此项主要对应经典的位移电流效应，其贡献在辐射场中与第一项同量级，但方向特征不同。

为清晰揭示加速度与待求场 A ⃗ \vec{A} A 的核心关联，我们首先聚焦由加速度直接驱动的部分，引入远场近似，暂时忽略第二项的影响，令 ∂ B ⃗ ∂ t ≈ 1 c 2 ( a ⃗ × E ⃗ ) \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \approx \frac{1}{c^2} (\vec{a} \times \vec{E}) ∂t∂B ≈c21(a ×E )，代入方程（D.1）后得到简化关系：

A ⃗ × E ⃗ ≈ − ( a ⃗ × E ⃗ ) . (公式 3.2) \vec{A} \times \vec{E} \approx -(\vec{a} \times \vec{E}). \quad \text{(公式 3.2)} A ×E ≈−(a ×E ).(公式 3.2)

此简化方程是后续矢量求解、确定 A ⃗ \vec{A} A 方向与形式的核心基础。

2.5 步骤5：解矢量方程，确定 A ⃗ \vec{A} A 的方向与形式

公式（3.2）是矢量叉乘方程，其几何意义可初步分析：方程左边为 A ⃗ × E ⃗ \vec{A} \times \vec{E} A ×E ，右边为 − ( a ⃗ × E ⃗ ) -(\vec{a} \times \vec{E}) −(a ×E )，这暗示 A ⃗ \vec{A} A 与 a ⃗ \vec{a} a 之间存在明确的方向关联。

首先将公式（3.2）改写为 A ⃗ × E ⃗ + a ⃗ × E ⃗ = 0 \vec{A} \times \vec{E} + \vec{a} \times \vec{E} = 0 A ×E +a ×E =0，利用矢量叉乘的分配律，合并为：

( A ⃗ + a ⃗ ) × E ⃗ = 0. (\vec{A} + \vec{a}) \times \vec{E} = 0. (A +a )×E =0.

根据矢量叉乘的性质，若两个矢量的叉乘为零矢量，则这两个矢量相互平行。因此，上式表明 A ⃗ + a ⃗ \vec{A} + \vec{a} A +a 与 E ⃗ \vec{E} E 平行。结合点电荷静电场的方向特征（ E ⃗ \vec{E} E 沿径向 r ^ \hat{r} r^ 方向），以及匀速圆周运动加速度 a ⃗ \vec{a} a 的方向特征（位于横向平面内，垂直于径向 r ^ \hat{r} r^），可推断 A ⃗ \vec{A} A 必然也位于横向平面内，才能满足" A ⃗ + a ⃗ \vec{A} + \vec{a} A +a 与 E ⃗ \vec{E} E 平行"的条件。

为精确解出 A ⃗ \vec{A} A 的表达式，我们对方程（3.2）两边从右侧叉乘 E ⃗ \vec{E} E ，利用矢量三重积恒等式 ( X ⃗ × E ⃗ ) × E ⃗ = ( X ⃗ ⋅ E ⃗ ) E ⃗ − ( E ⃗ ⋅ E ⃗ ) X ⃗ (\vec{X} \times \vec{E}) \times \vec{E} = (\vec{X} \cdot \vec{E})\vec{E} - (\vec{E} \cdot \vec{E})\vec{X} (X ×E )×E =(X ⋅E )E −(E ⋅E )X （令 X ⃗ = A ⃗ \vec{X} = \vec{A} X =A 和 X ⃗ = a ⃗ \vec{X} = \vec{a} X =a 分别代入），得到：