动态规划-------- dp数组套路学习

yzp-2026-01-31 9:31

求两个数组或者字符串的子序列问题，要用动态规划的时候：

当单个数组或者字符串要用动态规划时，可以把动态规划 dp[i] 定义为 nums[0:i] 中想要求的结果；当两个数组或者字符串要用动态规划时，可以把动态规划定义成两维的 dp[i][j] ，其含义是在 A[0:i−1] 与 B[0:j−1] 之间匹配得到的想要的结果。 https://leetcode.cn/problems/is-subsequence/solutions/1361126/by-nehzil-ixw6/

看别人的动态规划解法的时候，对 dp[i][j] 代表了什么一无所知就看不懂代码。要是把 dp[i][j] 理解为 s 字符串出现在 t[i:j] 中，即 t 中以 i 下标开始，j 下标结束的子字符串包含了 s，那要是不包含呢？岂不是解不出来。所以 dp[i][j] 就代表 s[0:i] 和 t[0:j] 的公共字符串长度，如果最后它等于 s.length ，那么s 字符串就被 t 字符串所包含。

所以 dp[i][j] 就是 s[0:i] 和 t[0:j] 在做比较，如果它们的最末尾字符 s[i-1]==t[j-1] ，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-1] +1；dp[i-1][j-1] 代表 s[0:i-1] 和 t[0:j-1] 在做比较。

如果 s[i-1] !=t[j-1]，那么就 j 前进一位，让 s[0:i] 和 t[j+1] 做比较，其实此时的比较结果和 s[0:i] 和 t[0:j-1] 的比较结果一样，即 dp[i][j]=dp[i][j-1] 。

这就是状态转移公式，在推导状态转移公式时，就像我们使用数学归纳法一样，因为它有最优子结构，dp[i][j] 要怎么得到？它的上一步是什么？这就是转态转移公式。然后考虑边界情况和初始情况，但最开始我们必须明确 dp[i][j] 的含义是什么。

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func isSubsequence(s string, t string) bool {
	m, n := len(s), len(t)
	dp := make([][]int, m+1)
	for i := 0; i < m+1; i++ {
		dp[i] = make([]int, n+1)
	}
	for i := 1; i <= m; i++ {
		for j := 1; j <= n; j++ {
			if s[i-1] == t[j-1] {
				dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
			} else {
				dp[i][j] = dp[i][j-1]
			}
		}
	}
	return dp[m][n] == m
}