自由学习记录（113）

λ（lambda）不是一个"新物理量"，而是 Smith 遮蔽模型里的一个中间统计函数 。

它的意义可以一句话概括：

λ(v) 表示：在给定观察/光照方向 v 下，一个微表面法线被其它微表面遮挡的"期望遮挡程度"。

λ 的物理含义（直观层）

在微表面模型里，你假设表面是由大量微小镜面（microfacets）组成的。

当你从方向 v 看过去，并不是所有"朝向合适"的微表面都能被看到：

• 有些被旁边更高的微表面挡住（masking）

• 有些在入射方向上被挡住（shadowing）

λ(v) 表示：沿方向 v，平均有多少"潜在可见微表面"被挡掉了。

• λ = 0：几乎无遮挡（法线接近正对）

• λ 大：遮挡严重（grazing 视角）

它不是概率本身，而是一个用于构造概率的统计量。

"从方向 v 看过去，微表面坡度在该方向上的平均陡峭程度是多少。"

λ 是连接"法线统计 (D)"与"可见性 (G)"的桥梁。

各向异性粗糙度在切线平面上本质是一个椭圆尺度张量，而它的两个主轴参数自然就记为 αx、αy。

为什么是 x/y？

因为在推导里，切线空间通常写成局部坐标：

• x 轴：tangent（T）

• y 轴：bitangent（B）

• z 轴：normal（N）

所以各向异性参数写成：

• αx：沿 x（切线）方向

• αy：沿 y（副切线）方向

这是局部坐标系约定，不是世界坐标。

历史来源：Walter / Heitz / Disney 统一命名

从各向异性 GGX 的经典文献开始，符号就是：

• αx, αy：椭圆分布尺度

• Λ(v)：Smith 遮蔽统计

• D(h)：NDF

例如：

• Walter et al. 2007（GGX/Trowbridge-Reitz）

• Heitz 2014（Smith Joint / VNDF）

• Disney BRDF 2012（anisotropic roughness）

这些论文都采用 αx、αy 作为主轴参数。

所以引擎代码沿用：

• Unreal：AlphaX / AlphaY

• Unity HDRP：roughnessT / roughnessB → alphaT / alphaB

• Filament：at, ab

ax/ay 是最短的工程写法。

椭圆度量（anisotropic metric）

切线平面变成椭圆缩放：

所以 denom 就是：把 h 在切线平面按 αx/αy 拉伸后，再计算它的平方长度

物理意义：它控制"这种法线出现的概率"

NDF 的作用是：

给定一个半程向量 h，这种微表面法线出现的概率密度是多少？

• 如果 h 落在椭圆主轴方向上，并且对应粗糙度大 → denom 小 → D 大

• 如果 h 落在细轴方向上 → denom 大 → D 小

因此：

• denom 越小，高光越集中（概率密度越高）

• denom 越大，高光越弱（概率密度越低）

平方让分布衰减更慢，比 Beckmann 更"长尾"，这就是 GGX 更真实的原因（尤其 grazing）。

为什么还要加 NoH²？

很多人第一次看会疑惑：

为什么切线项除以 α²，而法线项不除？

denom 是"半程向量在各向异性粗糙度椭圆下的距离平方"，决定 D(h) 的衰减。

denom 和 Lambda 里的 tan2

同一个椭圆度量在 h-space 与 v-space 的两个投影版本--->GGX D 和 Smith G 能闭合

1. "h-space 投影"（半程向量 H 在 T/B/N 上的投影）

   这是给 D(h) 用的，也就是你 D_GGX_Aniso() 的这段：

• ToH = dot(T,H), BoH = dot(B,H), NoH = dot(N,H)

• denom = (ToH²)/αx² + (BoH²)/αy² + NoH²

• D = 1 / (π αx αy denom²)

直观含义：把 H 看成一个方向，问"这个 H 在椭圆分布下出现的概率密度是多少"。所以它天然是 "h-space"。

1. "v-space 投影"（视线 V / 光线 L 在 T/B/N 上的投影）

   这是给 Smith 的遮蔽/阴影（Λ(v)、Λ(l)）用的，你 Lambda_GGX_Aniso() 里是：

• ToV = dot(T,V), BoV = dot(B,V), NoV = dot(N,V)

• tan²θ_v(aniso) = (ToV²)/αx² + (BoV²)/αy² 然后再除以 NoV²

• Λ(v) = ( -1 + sqrt(1 + tan²θ_v) ) / 2

直观含义：Smith G 描述的是"沿着某个出射方向 v，微表面自遮蔽的统计"，所以它必须以 v 为自变量（v-space）。同理对 l 也做一次，然后 joint 组合。

同一个数学对象（各向异性 GGX）在代码层面有两种等价写法/投影写法

各向异性--[ggx，ggx是一种数学对象

d项和光照和视角无关

但 H 是由 L 和 V 共同决定的 ，因此从"复合依赖"角度讲，D 会随光照和视角变化------不是因为它"看 L/V"，而是因为 H 变了。

1.0 / (PI * ax * ay * denom * denom)为什么可以精准的表示一种离散样本的统计情况？

D在描述"无限多微表面法线样本的概率密度极限"。

(1) "统计模型/分布"指的是我们用一个连续概率密度去描述微表面法线的随机性；

(2) "蒙特卡洛采样"指的是用有限样本去数值估计积分。

D(h)=1/(π ax ay denom²) 属于第 (1) 类，不是"积分后的结果"，也不依赖"样本无限"这个前提；它本身就是连续分布的解析表达（概率密度/面积密度）。

真正"需要积分"的地方在哪里

需要积分的是最终的镜面反射能量（渲染方程）：

积分等于 1，而不是 D(m) 的取值在 [0,1]

概率密度函数（PDF）一样：PDF 在某些点的值完全可以大于 1，只要整体积分为 1 就行。

因此 D(h) 可以远大于 1，尤其在粗糙度很小（α 很小）且 h 接近法线时，会出现尖峰（这也是你要 clamp roughness/α 的原因之一）。

你可以把它直观地理解成：

"同一个全局 H，在切线平面里投影到 T/B 方向后，分别按 αx、αy 缩放，最后形成一个'椭圆度量'下的长度平方；GGX 用这个椭圆度量的长度来决定该方向出现的概率密度。"

ax，ay并不是离开了ggx 就完全没有意义，离开 microfacet 分布族与其配套的 G/采样/IBL 处理，才算的是失去可比性

一个椭圆度量下的"长度平方"。这类结构不仅 GGX 用，Beckmann/Gaussian、Phong 的某些各向异性形式也有类似"两个轴尺度"的参数。换句话说：

• ax/ay 的可解释性来自"这是一个各向异性 NDF 的主轴尺度参数"

改用 Beckmann，各向异性的 D 仍会用 αx、αy（但公式不同）；它们仍然是"切线平面两个主轴的 roughness 参数"，只是对应的尾部行为不同。

"GGX"并不是一个单独的 BRDF，而是一个微表面统计族里的一种 NDF（D 项）选择。

你完全可以在 Cook--Torrance 框架里替换 D 项，只要你同时保证 G（Smith）与之匹配，或者明确接受近似。

Cook--Torrance 的结构允许替换 D

"用 GGX"严格来说是：

• D = GGX (Trowbridge--Reitz)

• G = Smith-GGX（与 GGX 分布一致）

• 采样与 LUT 也通常围绕 GGX

但你可以换掉 D。

新艺术时期

维梅尔 Johannes Vermeer (楊·維梅爾)

黑键提供"天然的手指弧度"。

例子：

Db 大调：大量黑键，手型自然贴合

F# 大调：拇指更容易落白键支撑

C 大调：全白键，反而容易手塌

所以 Chopin 才会说：

"最自然的音阶是 B 大调。"

这不是玄学，是人体工学。

Smith Joint 的几何项 G（以及 Vis）是"方向相关的遮蔽函数"，它定义在入射方向 L 和视线方向 V 上，而不是定义在半角向量 H 上。

几何项的物理意义是：

• 从方向 V 看进去，微表面有多少被遮挡（masking）

• 从方向 L 打进来，微表面有多少投影被阴影遮住（shadowing）

这两件事只与 入射方向和出射方向有关，不与 H 有直接定义关系。

如果你用 H 代替 V 或 L，会导致：

• grazing 区域遮蔽不正确

• 能量不守恒

• 高光边缘会异常亮或异常暗

Λ 的意义可以理解成：从某个方向 w 看过去，由微表面统计导致的"额外遮挡程度"的量化。角度越 grazing（NoW 越小），Λ 越大，G 越小。

为什么是这个开方形式

这是 GGX（Trowbridge-Reitz）分布下，Smith masking-shadowing 函数的一个常用闭式近似/闭式形式。对于 GGX，几何衰减随角度的变化不像 Beckmann 那样指数衰减，而是具有更重尾（heavy tail），于是会出现这种 的结构。

"避免显式算 tan"

在各向异性 GGX 中，切线平面不是欧式长度，而是椭圆度量：

实际 profiling 怎么验证？

你如果想要"具体高多少"在你的 pipeline 上成立，唯一可靠方法是：

microbenchmark shader

• baseline：纯 FMA loop

• variant：插入 tan()

• 用 Nsight / Radeon GPU Profiler / RenderDoc capture

观察：

• SFU utilization

• instruction latency

• warp occupancy stall

这才是精确答案。

• GPU 上 tan 消耗高的原因是：它不是基本指令，需要 range reduction + sin/cos + division，并且在 π/2 附近数值病态导致 slow path。

• 定量上：tan 通常比 mul/add 贵 20--60×，比 sin/cos 贵 2--4×，移动端可能达到 100×。

• 是否"真的贵"取决于调用频率：每像素、每光源循环里使用会非常明显。

Range Reduction 是什么？

三角函数是周期函数：sin(x) 周期 2π

tan(x) 周期 π

tan(x)=tan(x+kπ)

这意味着：

对任意输入角度 xxx，我们都可以先把它"折叠"回一个小区间，再去做近似计算。

这个"折叠回主区间"的过程就是 range reduction。

实现会拆成：2/π​=C1​+C2​+C3​

用多次 FMA 减去，保证余数 rrr 精度够。

这叫 Payne--Hanek reduction 或 Cody--Waite reduction。

这一步不是简单 mod，而是高精度浮点算法。

GPU Shader 中的实际情况

HLSL/GLSL 的 tan()

一般会调用硬件 SFU 或 microcode：

• 内部必定包含 reduction

• 输入越大 reduction 越慢

• 某些架构在大输入时走 slow path

这就是为什么 shader 编程里常见经验：

Avoid transcendental functions unless you know input range.

正入射附近（NoV≈1, NoL≈1）

此时 ToV、BoV 很小，tan2/cos2 很小：

λV ≈ 0，λL ≈ 0

=> G ≈ 1/(1+0+0)=1

=> Vis ≈ 1/(4 NoV NoL) ≈ 1/4

"Vis ≤ 1/4"只在一个很特殊的点成立：NoV=NoL=1 且 λ≈0（也就是 V、L 都正对法线、遮蔽近乎没有）：

G≈1，Vis≈1/(4*/*1)=1/4。

roughness → α → D 与 G 的形状

AO 与 DV 的关系：理论无关，工程上通常只作用于 IBL

AO（ambient occlusion）不是 BRDF 参数，它不属于 Cook--Torrance。

DV 是微表面统计模型，AO 是宏观遮蔽近似。

因此：

• AO 不应直接乘在 direct specular 上

• AO 常用于环境光项（IBL）

常见做法：

indirectDiffuse *= ao; indirectSpecular *= SpecularAO(ao, roughness, NoV);

其中 SpecularAO 通常是启发式：

float specAO = saturate(pow(NoV + ao, roughness));

目的：

• 避免凹槽里反射环境光过亮

• 但 direct lighting 不受影响

• DV_SmithJointGGX_Aniso 定义的是 specular BRDF 的微表面统计结构（D+G/Vis）

• roughness 决定 DV 的输入 αx/αy（高光宽度与遮蔽）

• metallic 不改变 DV，只决定 Fresnel F0 与 diffuse/specular 能量分配

• AO 与 DV 理论无关，工程上只用于环境光遮蔽，不应直接影响 direct specular

c_diff = (1 - metallic) * albedo

这对应标准 metallic workflow：

metallic 控制 diffuse/specular 的能量分裂

metallic	diffuse	specular F0
0	有漫反射	F0≈0.04
1	无漫反射	F0=albedo

正确应是：

float3 kd = (1.0 - F) * (1.0 - metallic);

float3 diffuse = kd * albedo / PI;

否则会发生什么？

• 正视角：F≈0.04，diffuse 基本没问题

• grazing：F→1，但 diffuse 仍然保持全强

• 结果就是 grazing 会过亮，不守恒

所以 diffuse 这一行目前是"不完整 PBR"。

                float3 f0 = lerp(0.04, albedo.rgb, saturate(_Metallic));
                float3 F = F_Schlick_local(f0, VoH);
                float3 specular = D * Vis * F;
                float3 kd = (1.0 - F) * (1.0 - _Metallic);

                float3 diffuse = kd * albedo.rgb * (1.0 / PI);
                if (_TEST < 0.5)
                    diffuse = (1.0 - _Metallic) * albedo.rgb * (1.0 / PI);

其实差别不大，一个是为了能量守恒把漫反射的能量额外消减了，看上去可能会保守一点，更加的"温顺"，如果没有额外的要求的情况下，我还是更喜欢狂野一点的数值暴力。

所以我选择还是遵守Diffuse能量的消减

float3 radiance = mainLight.color * mainLight.distanceAttenuation * mainLight.shadowAttenuation;
float3 color = (diffuse + specular) * radiance * NoL;

* NoL，本质上不是"材质能量守恒项"，而是渲染方程里的几何投影项（cosine law / Lambert 余弦定律）。它描述的是：同样的入射辐亮度 Li 打到一个倾斜表面时，单位表面面积接收到的辐照度（irradiance）会按 cos⁡θ 变小。这跟 BRDF 自身是否能量守恒是两件不同层级的事，但它们在同一条公式里同时出现，所以很容易混在一起。

• radiance ≈ Li​（包含距离衰减、阴影、光色等）

• (diffuse + specular) ≈ fr

• NoL ≈ (n⋅l)

NoL 是"入射几何项"，把 radiance 转成 irradiance（接受能量随倾角减少）

渲染方程（反射）：

这里的(n⋅l) 就是你代码里的 NoL。

"Tashika datta kke" (確かだったっけ) in Japanese means "If I remember correctly, was it [X]?" or "Was it true/certain?".

Breakdown of the Phrase

• Tashika (確か): Certain, sure, reliable, or if I remember correctly.
• Datta (だった): Was (past tense of da / desu).
• Kke (っけ): A sentence-ending particle used for retrieving or recollecting previously shared information.

Based on the Japanese phrasing, "Ikiteta desho" (生きてたでしょ) most commonly means "They/he/she were/was alive, right?" or "It was still alive, wasn't it?".

Here is a breakdown of the phrase:

• Ikiteta (生きてた): A colloquial, casual past tense form of ikiteiru (to be living/alive). It means "was alive" or "was living".
• Desho (でしょ): A conversational, shortened form of deshou. It acts as a tag question, meaning "isn't it?", "right?", or "don't you agree?".

"Haka made itte" could roughly be interpreted in Japanese as "Going to the grave" or "Saying [something] until the grave" (often implying keeping a secret forever or doing something until death).

• Haka made (墓まで): Means "Until the grave" or "To the grave".
• Itte (行って/言って): Means "Going" (from iku ) or "Saying" (from iu).

"Kaeshite hoshii" (返してほしい / かえしてほしい) in Japanese means " I want [you] to return it " or "I want [it] back".

The Shader decides "how to interpret the material", while the texture decides "what the material actually is".

最常见的最小集合（游戏量产默认）

• BaseColor (sRGB)

• Normal (切线空间，通常BC5/ATI2，线性)

• ORM 或分离的：Occlusion、Roughness、Metallic（线性；经常打包到一张纹理 RGB）

你大概率能拿到这些，但细节不一定规范（例如 roughness 是否是 perceptual，normal 是否是 DirectX/GL 约定）。

经常"拿不到但很想要"的

• Height/Displacement（很多项目不做）

• Bent Normal、Thickness、Curvature（烘焙成本高、工具链不统一）

• Anisotropy/Aniso direction（更少，尤其在非高端管线）

典型从高模到引擎的链条：

1. 高模/低模 + UV

2. Bake：Normal/AO/Curvature/Thickness 等（MikkTSpace 一致性是重点）

3. 在 Substance Painter / Designer 里用 PBR 模板绘制

4. 导出预设（Unreal/Unity/自定义）→ 贴图命名与通道打包

5. 引擎导入：色域、压缩、通道语义、法线翻转、金属度约定

你应重点盯住三件事：

• 切线空间一致性（MikkTSpace + 正确的 tangent sign）

• 色域/线性空间（baseColor sRGB，其他一律线性）

• 粗糙度/光滑度约定（roughness vs smoothness；是否 perceptual；是否要平方到 alpha）

输入契约（你向美术/外包明确写清楚的规范）

至少要在文档里明确：

• BaseColor：sRGB，禁止含光照/阴影/高光；++金属 baseColor 允许带色（导体反射色）++

• Metallic：++0/1 为主++ ，允许++少量过渡++；线性

• Roughness：线性（perceptual roughness），范围[0,1]，禁止反相；引擎内部 alpha = roughness²

• Normal：MikkTSpace；DirectX 还是 OpenGL 绿通道约定（必须定死）

• ORM 打包顺序：例如 R=AO, G=Roughness, B=Metallic（或你项目的顺序）

• 强制贴图命名/后缀（便于导入器识别）

MikkTSpace 解决的是"切线基(TBN)怎么定义"

MikkTSpace规定了如何从 UV/几何计算 tangent、bitangent（以及 tangent.w 的 handedness）。这保证你在 bake（Substance/xNormal/Marmoset 等）和引擎运行时使用同一个 tangent 生成规则时，normal map 的细节方向一致，接缝和镜像 UV 处理一致。

• 只要 bake 端和引擎端都用 MikkTSpace（或兼容实现），就不会出现"同一张 normal 在接缝处左右不一致"的大问题。

• Unity（尤其 URP/HDRP）常见工作流默认就是 MikkTSpace（依赖模型导入 tangent），但你仍要确保 DCC 导出的 tangents 与引擎计算方式一致（或干脆让引擎重算，且 bake 端按同样方式）。

1. DirectX vs OpenGL 绿通道约定解决的是"normal map 编码的坐标系方向"

   切线空间 normal 通常存的是 (x,y,z) = (T方向，B方向，N方向) 的分量，贴图里一般：

• R = x

• G = y

• B = z（或由 x,y 重建）

差异只在 y（绿通道）的符号：

• "DirectX normal"：y 向上（常见理解：+Y 指向 bitangent 的某一方向）

• "OpenGL normal"：y 取反（相当于把 B 轴反过来）

很多工具链把它描述成：OpenGL 相对 DirectX 需要 flip green（G = 1 - G 或 y = -y）。本质就是切线空间的 handedness/轴向约定不同导致的编码差异。