迈向超高效计算：深度解析 LLM 1-bit 量子化中的 QEP 与 QQA 技术
前言：当量子退火遇上大模型压缩
一直在关注量子退火和大模型的结合点，富士通近期发布的"Takane"模型引起了我极大的兴趣。该模型通过 1-bit 量子化技术实现了显存占用减少 94% ，同时保持了 89% 的精度。
这不仅仅是工程上的胜利，更是算法层面的突破。特别是其核心技术栈中引入的 准量子退火（Quasi-Quantum Annealing, QQA），巧妙地将原本属于 NP-hard 的离散组合优化问题，转化为 GPU 上可并行的连续优化问题。
本文将基于富士通的技术报告，按照其 6 步走（Steps 1-6） 的工作流，深入剖析 1-bit 量子化的实现细节，重点推导 QEP（量子化误差传播） 的数学原理，并提供 QQA 的核心实现代码。
核心背景：1-bit 量子化的挑战
训练后量子化（PTQ）是目前的主流。将 FP16 压到 INT4 相对容易，但压到 1-bit（即权重仅有 ± 1 \pm 1 ±1 或 { 0 , 1 } \{0, 1\} {0,1}）则面临两大核心难题：
- 误差累积：层级量子化（Layer-wise）通常假设层间独立，但在极低比特下，微小的误差会被层层放大（指数级增长）。
- 优化困难：1-bit 权重的选择本质上是一个大规模的离散组合优化问题。
富士通的方案正是为了解决这两个问题。
1-bit 量子化完整工作流 (Step 1 ~ Step 6)
STEP 1：模型探查 (Model Inspection)
在手术开始前，必须先进行"体检"。
- 离群值分析：通过计算权重的尖度（Kurtosis），我们发现 LLM 中存在显著的"系统性离群值"（Systematic Outliers）。
- 影响：这些离群值虽然稀疏，但承载了巨大的信息量。如果直接对其进行粗暴的截断或量化，模型性能会瞬间崩塌。
STEP 2：模型分解与 QEP (Quantization Error Propagation)
这是解决"误差累积"的关键一步。
传统 Layer-wise PTQ 的局限
传统的做法是逐层最小化输出误差：
min W ^ l ∥ W l X l − W ^ l X l ∥ F 2 \min_{\hat{W}_l} \| W_l X_l - \hat{W}_l X_l \|_F^2 W^lmin∥WlXl−W^lXl∥F2
其中 X l X_l Xl 是未量化 的输入。这忽略了一个事实：在实际推理中，第 l l l 层的输入是上一层量化后 的输出 X ^ l \hat{X}_l X^l。这种不匹配导致了误差的指数级扩散。
QEP 的数学原理
QEP（Quantization Error Propagation）的核心思想是：在优化当前层时，必须考虑到前一层已经产生的量化误差。
新的目标函数定义为：
min W ^ l ∥ W l X l − W ^ l X ^ l ∥ F 2 \min_{\hat{W}_l} \| W_l X_l - \hat{W}_l \hat{X}_l \|_F^2 W^lmin∥WlXl−W^lX^l∥F2
注意这里：目标仍是逼近原始输出 W l X l W_l X_l WlXl，但操作数变成了量化后的输入 X ^ l \hat{X}_l X^l。
为了高效求解，我们引入修正后的目标权重 W l ∗ W_l^* Wl∗。如果假设 W ^ l \hat{W}_l W^l 是连续的，上述问题的解析解为：
W l ∗ = W l + W l ( X l − X ^ l ) X ^ l ⊤ ( X ^ l X ^ l ⊤ ) − 1 W_l^* = W_l + W_l (X_l - \hat{X}_l) \hat{X}_l^\top (\hat{X}_l \hat{X}_l^\top)^{-1} Wl∗=Wl+Wl(Xl−X^l)X^l⊤(X^lX^l⊤)−1
令残差 δ l = X l − X ^ l \delta_l = X_l - \hat{X}_l δl=Xl−X^l，Hessian 逆近似 H ^ l − 1 = ( X ^ l X ^ l ⊤ ) − 1 \hat{H}_l^{-1} = (\hat{X}_l \hat{X}_l^\top)^{-1} H^l−1=(X^lX^l⊤)−1，则有：
W l ∗ = W l + α ⋅ W l δ l X ^ l ⊤ H ^ l − 1 W_l^* = W_l + \alpha \cdot W_l \delta_l \hat{X}_l^\top \hat{H}_l^{-1} Wl∗=Wl+α⋅WlδlX^l⊤H^l−1
(注： α \alpha α 是为了防止对校准数据过拟合而引入的系数)
结论 ：在 Step 2 中，我们不再逼近原始权重 W l W_l Wl，而是逼近修正后的权重 W l ∗ W_l^* Wl∗。这样，优化问题转化为：
min W ^ l ∥ W l ∗ X ^ l − W ^ l X ^ l ∥ F 2 \min_{\hat{W}_l} \| W_l^* \hat{X}_l - \hat{W}_l \hat{X}_l \|_F^2 W^lmin∥Wl∗X^l−W^lX^l∥F2
这使得左右两边都使用了 X ^ l \hat{X}_l X^l，大大简化了计算并补偿了前序误差。
STEP 3：前处理 (Pre-processing)
为了让权重更容易被量化，需要进行数学变换：
- 平滑与旋转 ：使用由 W l ∗ W_l^* Wl∗ 指导的变换矩阵（如正交变换），将"尖锐"的离群值能量分散到其他维度，使分布更均匀（Flattens the distribution）。
STEP 4：确定量化格式 (Quantization Format)
1-bit 量化并非简单的 sign ( w ) \text{sign}(w) sign(w)。为了保持表达能力，通常采用 DBF (Factorized Binary) 或类似格式：
W ^ = D a ⋅ Q binary ⋅ D b \hat{W} = D_a \cdot Q_{\text{binary}} \cdot D_b W^=Da⋅Qbinary⋅Db
其中 Q binary Q_{\text{binary}} Qbinary 是 ± 1 \pm 1 ±1 矩阵， D a , D b D_a, D_b Da,Db 是浮点缩放因子。
STEP 5：执行量子化与 QQA (Quasi-Quantum Annealing)
这是作为量子退火研究者最关注的部分。Step 4 确定了格式，Step 5 则需要找到最优的 Q binary Q_{\text{binary}} Qbinary。这是一个 NP-hard 的组合优化问题。
富士通提出了 QQA，将量子退火思想引入基于梯度的优化中。
QQA 的核心机制
- 连续松弛 ：将离散变量 x ∈ { 0 , 1 } x \in \{0, 1\} x∈{0,1} 松弛为连续变量 x r e l a x e d ∈ R x_{relaxed} \in \mathbb{R} xrelaxed∈R，并通过 Sigmoid 或类似的激活函数 σ ( ⋅ ) \sigma(\cdot) σ(⋅) 映射到 ( 0 , 1 ) (0, 1) (0,1)。
- 能量函数设计 ：
L = L target + γ ( t ) ⋅ L entropy + α ⋅ L diversity \mathcal{L} = \mathcal{L}{\text{target}} + \gamma(t) \cdot \mathcal{L}{\text{entropy}} + \alpha \cdot \mathcal{L}_{\text{diversity}} L=Ltarget+γ(t)⋅Lentropy+α⋅Ldiversity- L target \mathcal{L}_{\text{target}} Ltarget: 原始 MSE 损失。
- L entropy \mathcal{L}_{\text{entropy}} Lentropy: 推动解向 0 或 1 收敛的惩罚项。
- γ ( t ) \gamma(t) γ(t): 类似退火调度的参数，从负值（鼓励平滑探索）逐渐变为正值（强制二值化）。
PyTorch 实现示例 (Concept Code)
以下代码展示了 QQA 的核心逻辑，利用 GPU 的并行能力同时搜索数千个解（Parallel QQA）：
python
import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
def qqa_optimize(target_func, n_vars, parallel=128, steps=5000):
"""
QQA 优化器核心逻辑演示
Args:
target_func: 目标函数 (计算 loss)
n_vars: 优化变量的维度
parallel: 并行搜索的粒子数量 (利用 GPU 优势)
steps: 优化步数
"""
# 1. 初始化连续松弛变量 (Batch size = parallel)
# x_relaxed 不受限，通过后续处理映射到 0-1
x_relaxed = nn.Parameter(torch.rand(parallel, n_vars).cuda())
# 使用 AdamW 优化器
optimizer = optim.AdamW([x_relaxed], lr=0.1)
# 2. 退火参数设置
gamma_min = -2.0 # 初始阶段：负值鼓励处于 0.5 附近 (探索)
gamma_max = 0.1 # 结束阶段：正值强迫推向 0 或 1 (利用/固化)
alpha = 0.3 # 多样性惩罚系数
for t in range(steps):
# 线性调度 gamma
gamma = gamma_min + (gamma_max - gamma_min) * (t / steps)
optimizer.zero_grad()
# --- 计算各项 Loss ---
# A. 目标函数 Loss (MSE 等)
# 在计算前通常会通过 sigmoid 将 x_relaxed 映射到 (0,1)
x_prob = torch.sigmoid(x_relaxed)
loss_target = target_func(x_prob).mean()
# B. 熵/二值化惩罚 (Annealing Term)
# 当 gamma > 0 时，惩罚 x 接近 0.5 的情况，推动 x -> 0 或 1
# 公式形式： (1 - (2x - 1)^4) * gamma
# 形状像是一个倒扣的碗 (gamma>0) 或 正碗 (gamma<0)
entropy_term = (1.0 - (2.0 * x_prob - 1.0) ** 4).mean()
# C. 多样性惩罚 (Diversity Term)
# 防止所有 parallel 粒子收敛到同一个局部最优
diversity_term = x_relaxed.std(dim=0).mean()
# 总 Loss
# 注意：多样性是希望越大越好，所以减去 (或者在 loss 中加负号，此处假设 alpha 为正且希望 std 大)
# 实际实现通常是: loss - alpha * diversity
loss = loss_target + gamma * entropy_term - alpha * diversity_term
loss.backward()
optimizer.step()
# 3. 最终二值化与择优
with torch.no_grad():
x_final = (x_relaxed >= 0).float() # 简单的阈值处理
scores = target_func(x_final)
best_score, best_idx = scores.min(0)
best_solution = x_final[best_idx]
return best_solution, best_score
通过这种方式，QQA 避免了传统启发式算法（如模拟退火 SA、遗传算法 GA）在 GPU 上难以并行化的弱点，利用梯度下降高效地在巨大的解空间中"退火"。
STEP 6：推理加速 (Inference Speedup)
完成了极其困难的优化后，最后一步是工程实现。
-
Kernel Fusion：将反量化（Dequantization）和矩阵乘法（GEMM）融合。
-
Bit-packing：将 1-bit 权重紧凑存储，利用专用 CUDA Kernel（如 MARLIN
的变体）实现极高的内存带宽利用率。
总结
富士通的 1-bit 量子化技术路线图给我们带来了深刻的启示：
- QEP (Step 2) 告诉我们：在深层网络中，"纠偏"（基于前层误差调整目标）比单纯的"逼近"（Layer-wise 独立优化）重要得多。
- QQA (Step 5) 展示了：深度学习优化器（如 AdamW）配合物理启发的退火策略，可以极其高效地解决大规模离散组合优化问题。
这种将信息论（误差传播）、组合优化（QQA）与深度学习结合的跨学科方法，正是未来超高效 AI 计算的必经之路。