前缀和算法：从一道 LeetCode 题看区间求和优化思想

文章目录

- [1. 引言：区间求和的性能困境](#1. 引言：区间求和的性能困境)
- [2. 什么是前缀和？](#2. 什么是前缀和？)
- [3. 示例代码解析](#3. 示例代码解析)
- [4. 前缀和数组的构建过程](#4. 前缀和数组的构建过程)
- - [4.1 为什么长度是 n+1？](#4.1 为什么长度是 n+1？)
  - [4.2 构造过程分析](#4.2 构造过程分析)
- [5. 区间求和公式推导](#5. 区间求和公式推导)
- - [5.1 数学推导](#5.1 数学推导)
  - [5.2 图形理解](#5.2 图形理解)
- [6. 时间复杂度分析](#6. 时间复杂度分析)
- [7. 为什么前缀和如此重要？](#7. 为什么前缀和如此重要？)
- [8. 常见扩展题型](#8. 常见扩展题型)
- - [8.1 区间和为 K 的子数组](#8.1 区间和为 K 的子数组)
  - [8.2 二维前缀和](#8.2 二维前缀和)
  - [8.3 差分数组（前缀和的逆运算）](#8.3 差分数组（前缀和的逆运算）)
- [9. 什么时候不适合用前缀和？](#9. 什么时候不适合用前缀和？)
- [10. 面试高频问题](#10. 面试高频问题)
- - [Q1：为什么 sums 多开一位？](#Q1：为什么 sums 多开一位？)
  - Q2：能不能不用额外空间？
  - Q3：前缀和和滑动窗口的区别？

1. 引言：区间求和的性能困境

给定一个数组，多次查询某个区间 [i, j] 的元素之和。

最直观的做法是：

java 复制代码

for (int k = i; k <= j; k++) {
    sum += nums[k];
}

时间复杂度：

❌ 每次查询 O(n)

当查询次数很多时，性能会急剧下降。

这类问题的本质是：

👉 重复计算大量相同区间数据

而前缀和，正是解决这一问题的利器。

2. 什么是前缀和？

前缀和（Prefix Sum）指的是：

一个数组中，从第 0 个元素到当前位置的累加和。

定义：

plain 复制代码

prefix[i] = nums[0] + nums[1] + ... + nums[i-1]

也就是说：

prefix[0] = 0
prefix[1] = nums[0]
prefix[2] = nums[0] + nums[1]

这种设计可以极大方便区间计算。

3. 示例代码解析

题目代码如下：

java 复制代码

class NumArray {
    int[] sums;

    public NumArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        sums = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sums[i + 1] = sums[i] + nums[i];
        }
    }
    
    public int sumRange(int i, int j) {
        return sums[j + 1] - sums[i];
    }
}

可参考灵神题解：前缀和，附扩展问题（Python/Java/C++/C/Go/JS/Rust）

这是 LeetCode 303：区域和检索的经典解法。

4. 前缀和数组的构建过程

4.1 为什么长度是 n+1？

java 复制代码

sums = new int[n + 1];

多开一个位置，是为了统一计算公式。

令：

plain 复制代码

sums[0] = 0

这样可以避免边界特判。

否则得判断边界：

java 复制代码

sumRange(i, j) = sums[j] - sums[i-1]  // 当 i > 0 时
sumRange(0, j) = sums[j]              // 当 i = 0 时

4.2 构造过程分析

核心代码：

java 复制代码

sums[i + 1] = sums[i] + nums[i];

假设：

plain 复制代码

nums = [2, 4, 6, 8]

构造过程：

i	nums[i]	sums[i]	sums[i+1]
0	2	0	2
1	4	2	6
2	6	6	12
3	8	12	20

最终：

plain 复制代码

sums = [0, 2, 6, 12, 20]

5. 区间求和公式推导

查询代码：

java 复制代码

return sums[j + 1] - sums[i];

为什么这样就能得到 [i, j] 的和？

5.1 数学推导

根据定义：

plain 复制代码

sums[j+1] = nums[0] + ... + nums[j]
sums[i]   = nums[0] + ... + nums[i-1]

相减：

plain 复制代码

sums[j+1] - sums[i]
= nums[i] + ... + nums[j]

刚好是目标区间。

5.2 图形理解

plain 复制代码

0 ---- i ---- j ---- n
|------|====|--------|
   去掉     保留

前面减掉，只留下中间。

6. 时间复杂度分析

操作	复杂度
构建	O(n)
查询	O(1)
空间	O(n)

对比暴力法：

方法	单次查询
暴力	O(n)
前缀和	O(1)

👉 以空间换时间的经典案例

7. 为什么前缀和如此重要？

前缀和是很多高级算法的基础，包括：

滑动窗口
差分数组
二维矩阵处理
哈希优化
动态规划

几乎是刷题必备技能。

8. 常见扩展题型

8.1 区间和为 K 的子数组

560. 和为 K 的子数组

思想：

前缀和 + HashMap

plain 复制代码

sum[i] - sum[j] = k

8.2 二维前缀和

用于矩阵求和：

plain 复制代码

sum[i][j] = 左 + 上 - 左上 + 当前

常见于图像处理、地图统计。

8.3 差分数组（前缀和的逆运算）

区间修改问题：

plain 复制代码

diff[l]++
diff[r+1]--

最后再前缀和还原。

9. 什么时候不适合用前缀和？

前缀和适用于：

✔ 静态数组

✔ 多次查询

✔ 无修改操作

不适合：

❌ 高频修改数组

❌ 动态插入删除

此时应该考虑：

线段树
树状数组

10. 面试高频问题

Q1：为什么 sums 多开一位？

统一公式，减少边界判断。

Q2：能不能不用额外空间？

理论上可以边算边存，但查询效率会下降。

Q3：前缀和和滑动窗口的区别？

技术	是否支持随机查询
前缀和	支持
滑动窗口	不支持